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重难点突破 02 奔驰定理与四心问题
奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0.
△PBC △PAC △PAB
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理
对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题
有着决定性的基石作用．
三角形的内心
1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P
注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等
常见内心的向量表示：
（1） （或 ）
其中 分别是 的三边 的长（2） ，则 点的轨迹一定经过三角形的内心
（注：向量 ( )所在直线过 内心(是 角平分线所在直线)）
3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即
两个单位向量的和向量。
拓展： O是平面上一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点，动点 P满足
AB AC
OPOAt( )
|AB| |AC| ，证明P的轨迹一定通过ABC 的内心．
三角形的外心
外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）
注：外心到三角形各顶点的距离相等.
常用外心的向量表示：
（1）（2）
变 形 ： P 为 平 面 ABC 内 一 动 点 ， 若
，则 为
三角形的外心
3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从
而得到三角形的外心。
三角形的“重心”
1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G
注：重心将中线长度分成
2、常见重心的向量表示：
设 是 的重心， 为平面内任意一点.
（1）
（ 2 ） ， ， ，（3）若 ，则 点的轨迹一定经过三角形的重心.
注：若 、 、 ，重心坐标为 .
若 ，则点 经过 的重心；
3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义
三角形的“垂心”
1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O
注：高线与对应边垂直
2、常见垂心的向量表示
证明：因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得 ， ，所以O为 垂心
（2）
一．选择题（共22小题）
1．（2023春•叙州区校级期中）若点 是 的重心，则下列向量中与 共线的是
A． B． C． D．
2．（2023•西安模拟）在 中，设 ， ， 为 的重心，则用向量
和 为基底表示向量
A． B． C． D．
3．（2022•昌吉州模拟）如图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ，
两边交于 ， 两点（点 ， 与点 ， 不重合），设 ， ，
则 的最小值为
A．2 B． C．4 D．4．（2022•大武口区校级四模）在等边 中， 为重心， 是 的中点，则
A． B． C． D．
5．（2023•普陀区校级模拟）已知点 为 的外心，且 ，则
为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6．（2020•青秀区校级模拟）已知 是三角形 所在平面内一定点，动点 满足
， ．则 点的轨迹一定通过三角形 的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
7．（2022•安徽模拟）平面上有 及其内一点 ，构成如图所示图形，若将 ，
， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．
因图形和奔驰车的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角 ，
， 的对边分别为 ， ， ，若满足 ，则 为 的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．（2020•重庆模拟）奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的
面积分别为 ， ， ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车 的 很
相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 是锐角 内的一点， ， ， 是
的三个内角，且点 满足 ，则必有
A．
B．
C．
D．
9．（2023•河北区二模）在 中，角 ， 的对边长分别为 ， ，点 为 的
外心，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2023•重庆模拟）已知点 是 的外心， ， ， ，若
，则
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2023•海淀区校级模拟）已知 是 的外心，外接圆半径为 2，且满足
，若 在 上的投影向量为 ，则
A． B． C．0 D．2
12．（2021•聊城三模）在 中， ， ， ， 为 中点，为 的内心，且 ，则
A． B． C． D．1
13．（2021•迎江区校级三模）等边 的面积为 ，且 的内心为 ，若平面
内的点 满足 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
14．（2022•新华区校级模拟）数学家欧拉于 1765年在他的著作《三角形的几何学》中首
次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是
重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 ， ， 分别为任意
的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是
A． B． C． D．
15．（2021•吉林模拟）下列关于平面向量的说法正确的是
A．若 共线，则点 ， ， ， 必在同一直线上
B．若 且 ，则
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的垂心，则
16．（2020•安徽模拟）设 是 所在平面上一点，点 是 的垂心，满足
，且 ，则角 的大小是
A． B． C． D．
17．（2023•浑南区校级模拟）在 中， ， 是 的外心，若 ，则A． B．3 C．6 D．
18．（2021•碑林区校级模拟）在 中，若 ，则下列说法正
确的是
A． 是 的外心 B． 是 的内心
C． 是 的重心 D． 是 的垂心
19．（2021•綦江区校级模拟）在 中， ， ， ， 是 的
内心，若 ，其中 ， ，动点 的轨迹所覆盖的面积为
A． B． C． D．
20．（2023•毕节市模拟）已知点 为三角形 的重心，且 ，当
取最大值时，
A． B． C． D．
21．（2021•全国Ⅲ卷模拟）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．
内一点 满足： ，则 一定为 的
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
22．（2023•河南模拟）在锐角 中， ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对
的边，点 是 的重心，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
23．（2023•潍坊模拟）已知点 为 内的一点， ， 分别是 ， 的中点，则A．若 为 中点，则
B．若 为 中点，则
C．若 为 的重心，则
D．若 为 的外心，且 ，则
24．（2023•五华区校级模拟）已知 ， 是两个非零向量，则下列说法正确的是
A．若 ， ， ，则
B． 为锐角的充要条件是
C．若 为 所在平面内一点，且 ，则 为 的重
心
D．若 ，且 ，则 为等边三角形
25．（2023•黄冈模拟）点 ， 分别是 的外心、垂心，则下列选项正确的是
A．若 且 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ， ，则 的取值范围为 ，
D．若 ，则
26．（2023•湖北模拟）下列关于平面向量的说法中正确的是A．已知 ， ，点 在直线 上，且 ，则 的坐标为
B．若 是 的外接圆圆心，则
C．若 ，且 ，则
D．若点 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的
垂心
27．（2021•香洲区校级模拟）若点 在 所在的平面内，则以下说法正确的是
A．若 ，则点 为 的重心
B．若 ，则点 为 的垂心
C．若 ，则点 为 的外心
D．若 ，则点 为 的内心
三．填空题（共10小题）
28．（2023•河北模拟）已知 为 的外心，若 ，且 ，则
．
29．（2020•江苏四模）设 为 的垂心（三角形三条高的交点），且
，则 的值为 ．
30．（2023•新城区校级模拟）在平行四边形 中， 为 的重心，
，则 ．31．（2021•商丘模拟）在 中， ， ， 为 的垂心，且满足
，则 ．
32．（2023•浦东新区模拟）已知 是 的外心，且 ，则
．
33．（2022•陕西模拟）已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且
， ， ，设 为 的内心，则 的面积为 ．
34．（2022•宁波模拟）在 中，点 、点 分别为 的外心和垂心， ，
，则 ．
35．（2023•北辰区三模）在 中， ， ，若 为其重心，试用 ， 表
示 为 ；若 为其外心，满足 ，
且 ，则 的最大值为 ．
36．（2023•黄埔区校级模拟）已知 是三角形 的外心， ， ，若
，且 ，则三角形 的面积为 ．
37．（2022•浙江模拟）在 中，已知 ， ， ， 为 的内心，
的延长线交 于点 ，则 的外接圆的面积为 ， ．
四．解答题（共3小题）
38．（2022•齐齐哈尔二模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作
答．
① 为 的内心；② 为 的外心．
（1）求 ；
（2）若 ， ，_______，求 的面积．39．（2022•福建模拟） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
（1）求 的大小；
（2） 为 内一点， 的延长线交 于点 ，______，求 的面积．
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
① 为 的外心， ；
② 为 的垂心， ；
③ 为 的内心， ．40．（2022•广东模拟） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并
作答．
① 为 的内心；② 为 的外心；③ 为 的重心．
（1）求 ；
（2）若 ， ，________，求 的面积．
