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重难点 4-2 奔驰定理及三角形“四心”向量式
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔
驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有
着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【题型1 三角形“重心”及应用】
满分技巧
常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若 或 ， ，则P一定经过三角形的重心
λ∈[0,+∞)
（4）若 或 ， ，
则P一定经过三角形的重心
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点
满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面
内一动点，若 ， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，
则点 是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知 是三角形 所在平面内一定
点，动点 满足 ，则 点轨迹一定通过三角形 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若 是 的垂心， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角形“内心”及应用】
满分技巧
常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）|⃗AB|⃗PC+|⃗BC|⃗PA+|⃗CA|⃗PB=0⃗（或a⃗PA+b⃗PB+c⃗PC=0⃗）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
( ⃗AB ⃗AC )
（2） ⃗AP=λ + ，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
|⃗AB| |⃗AC|
【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在 中， ，点D，E分别在线段 ， 上，且D
为 中点， ，若 ，则直线 经过 的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为
，若 ，则点 是 的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，
动点P满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在 中， ， ， ，且 ，若
为 的内心，则 ．
【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知 ， 是其内心，内角 所对的边分别
，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 三角形“外心”及应用】
满分技巧
常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
（1）
（2）(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OA+⃗OC)∙⃗AC=0
⃗OB+⃗OC ( ⃗AB ⃗AC )
（3）动点P满足 ⃗OP= +λ + ，λ∈(0,+∞)，
2 |⃗AB|cosB |⃗AC|cosC
则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.
（4）若(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OC+⃗OA)∙⃗CA=0，则O是∆ABC的外心.
【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在 中，动点P满足
，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在 中，设 ，那么动
点 的轨迹必通过 的（ ）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足
， ，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末） 中， 为 边上的高且 ，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点 是 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足
，则点 一定是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【题型4 三角形“垂心”及应用】
满分技巧
常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
（1）⃗OA∙⃗OB=⃗OB∙⃗OC=⃗OC∙⃗OA
2 2 2 2 2 2
（2）|⃗OA| +|⃗BC| =|⃗OB| +|⃗CA| =|⃗OC| +|⃗AB|
P λ∈(0,+∞) P ∆ABC
（3）动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定过 的垂心
（4）奔驰定理推论：S :S :S =tanA:tanB:tanC，tanA∙⃗OA+tanB∙⃗OB+tanC∙⃗OC=0⃗.
∆BOC ∆COA ∆AOB
【例4】（2023·全国·高三专题练习）设 为 的外心，若 ，则点 是 的（
）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习） 是 所在平面上一点，若
，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若 为 所在平面内一点，且则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体 中，已知 ，若
不是等边三角形，且点 在平面 上的投影 位于 内，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是 的垂心，且 ，则
．
【题型5 奔驰定理及应用】
满分技巧
奔驰定理及其推论
O ABC
1、奔驰定理： 是 内的一点，且 ，则
2、奔驰定理推论： ，则
** 错误的表达式 **
** 错误的表达式 ** ， ， .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向
量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
【例5】（2022·全国·高三专题练习）点 为 内一点，若 ，设
，则实数 和 的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将
， ， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和
奔驰车的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若满足 ，则O为 的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，
是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定
理：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标
志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘
的关联.它的具体内容是：已知 是 内一点， 的面积分别为 ，且
.以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
（建议用时：60分钟）
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知 是平面内一点， ， ， 是平面内不共线
的三点，若 ， 一定是 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点 在 所在平面内，满 ，
，则点 依次是 的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
3．（2022·全国·高三专题练习）在△ 中， ， ， ，O为△ 的内心，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知 中，点 为 所在平面内一点，则“
”是“点 为 重心”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·全国·高三专题练习）已知 为 所在平面内一点， 是 的中点，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D． 边的中点
6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知 中，点 为边 中点，点 为 所在平面内一点，则“ ”为“点 为 重心”（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满
足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
8．（2022·全国·高三专题练习）若 在 所在的平面内，且满足以下条件
，则 是 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中， ， ，H为 的垂心，
，O为 的外心，且 ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次
指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距
离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》
中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距
离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式
一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是 的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的
面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是
的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在 所在的平面内，则以下
说法正确的有（ ）
A．若 ，则点O是 的重心
B．若 ，则点O是 的内心
C．若 ，则点O是 的外心
D．若 ，则点O是 的垂心
16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知 为 所在的平面内一
点，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为 的垂心， ，则
B．若 为锐角 的外心， 且 ，则
C．若 ，则点 的轨迹经过 的重心
D．若 ，则点 的轨迹经过 的内心
17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在 所在的平面上存在一点 ，
，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的重心
D．若 ， ，则点 的轨迹一定过 的外心
18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在 所在平面内有三点 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．满足 ，则点 是 的外心
B．满足 ，则点 是 的重心C．满足 ，则点 是 的垂心
D．满足 ，且 ，则 为等边三角形
19．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若 是 的垂心，且 ，则 的值为
．
20．（2023·全国·高三专题练习）在 中，给出如下命题:
① 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定过
的重心．
② 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一
定过 的内心．
③ 是 所在平面内一定点，且 ，则 ．
④若 ，且 ，则 是等边三角形．
其中正确的命题有 个．
