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第一次月考难点特训（一）
与全等综合有关的压轴题
1．已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC上任意一点，过点 C作
CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN
（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；
（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
【解答】（1）证明：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD于O．
∵AM⊥CD，BG⊥BC，
∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBG，
∴CM＝BG，∠AMC＝∠G，
∵CN＝BM，
∴CM＝BN＝BG，
∵BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，
∴△DBN≌△DBG，∴∠G＝∠BND，
∴∠AMC＝∠DNB；
（2）解：（1）中的结论成立．
理由：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD的延长线于O．
∵AM⊥CD，BG⊥BC，
∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBG，
∴CM＝BG，∠M＝∠G，
∵CN＝BN，
∴CN＝BM＝BG，
∵BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，
∴△DBN≌△DBG，
∴∠G＝∠M，
∴∠M＝∠N；
2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q
从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理
由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为
M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝ ；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝ ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3．如图1，△ACB为等腰直角三角形，即∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°．点P在
线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，即∠PAQ＝90°，AQ＝AP，
∠AQP＝∠APQ＝45°，且QE⊥AB于E．
（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求 的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接
DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子 的值会变化吗？若不变，求
出该值；若变化，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重
合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠QAE＝∠APB，
在△PAB和△AQE中，
，
∴△PAB≌△AQE（AAS）；
（2）解：∵△PAB≌△AQE，
∴AE＝PB，
∵AB＝CB，
∴QE＝CB．
在△QEM和△CBM中，
，∴△QEM≌△CBM（AAS），
∴ME＝MB，
∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，
∴BE＝PC，
又∵BE＝2MB，PC＝2MB，
∴ ＝2；
（3）式子 的值不会变化．
如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，
∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，
∴∠QAH＝∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，
在△AQH和△APD中，
，
∴△AQH≌△APD（ASA），
∴AH＝AD，QH＝PD，
∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠HAF＝∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
，
∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，
∴ ＝ ＝ ＝1．
4．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观
察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．
（1）如图1，当l经过BC中点时，此时BD ＝ CE；
（2）如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 DE ＝ BD + CE ， ，
并证明你的结论．
（3）如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 CE ﹣
BD ＝ DE ．证明你的结论，并画图直接写出交点靠近 C点时，BD，CE，DE三者的数量关系
为 BD ﹣ CE ＝ DE ．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，l经过BC中点
∴直线l⊥BC，
∴点D，点E与BC的中点重合，
∴BD＝CD
故答案为：＝
（2）如图2：DE＝BD+CE，
理由如下：
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠DBA＝90°
∴∠CAE＝∠DBA，且AB＝AC，∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD＝CE，AE＝BD
∴DE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE，
（3）如图3：CE﹣BD＝DE
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠DBA＝90°
∴∠CAE＝∠DBA，且AB＝AC，∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD＝CE，AE＝BD
∴DE＝AD﹣AE＝CE﹣BD
如图4，若交点靠近C点时，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠DBA＝90°
∴∠CAE＝∠DBA，且AB＝AC，∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD＝CE，AE＝BD
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
故答案为：CE﹣BD＝DE，BD﹣CE＝DE
5．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE
为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝ ，其中0＜ ＜180°．
α α（1）如图2，当 ＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；
（2）在△DBE旋α转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点
为点F，AD交BC于点P，CE交αBD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，
求出 ，如果不是，请说明理由；
（3）α在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）不存在，
理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，
∵△ABC，△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，S△ABD ＝S△CBE ，∠BAD＝∠BCE，
∴ ×AD×BN＝ ×CE×BH，
∴BN＝BH，
又∵BF＝BF，
∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），
∴∠AFB＝∠EFB，
∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，
∴∠AFC＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝∠EFB＝60°，
∴∠CFB＝∠DFB＝120°，
当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，
∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB，与题干DB＝ BC＝ AB相矛盾，
∴BF不会平分∠CBD；
（3）AF＝CF+BF，
理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，
∵∠AFB＝60°，MF＝FB，
∴△MFB是等边三角形，
∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，
∴∠ABM＝∠CBF，
在△ABM和△CBF中，，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴AM＝CF，
∵AF＝AM+MF，
∴AF＝CF+BF．
6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF＝ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段
EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
【解答】证明：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中， ，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝ ∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠2+∠4＝ ∠BAD＝∠EAF．
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM．
∴EF＝BE+DF．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
7．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点 C．
（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M是
AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点
M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为 C．点N从点F出发，以每秒
3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F．点M、N同时开始运动，各自达到相应的
终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．
理由如下：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，
则CM＝8﹣t，
由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，
∴CN＝6﹣3t，
点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，
综上所述，当t＝3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；
②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，
∴∠NCE＝∠CMD，
∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，
当点F沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，
解得，t＝﹣1（不合题意），
当点F沿C→B路径运动时，8﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝3.5，
当点F沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，
解得，t＝5，
当点F沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，
解得，t＝6.5，
综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．
8．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右
侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 9 0 度；
（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝ 12 0 度；
（3）设∠BAC＝ ，∠BCE＝
①如图3，当点Dα在线段BC上β 移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，请直接写出α ，β 之间的数量关系，不用证明．
α β
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
由（1）得，∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，
故答案为：120°；
（3）① + ＝180°，
理由如下：α ∵β ∠BAC＝ ，
α
∴∠B＝∠ACB＝ ，
由（1）得，∠ACE＝∠B＝ ，
∴ ＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝180°﹣ ，
∴β+ ＝180°； α
②α如β图4，当点D在BC的延长线上时， + ＝180°，
α β
证明方法同①；如图5，当点D在CB的延长线上时， ＝ ，
理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAαE，β
∴∠AEC＝∠ADB，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠BCE＝∠DAE＝∠BAC，即 ＝ ．
α β
9．阅读下面材料，完成（1）﹣﹣（2）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上一点，E是BD的中点，G为BC上一点，过点E作
EF⊥AE交DG的延长线于F，连接CF，且FD＝FC．求证DF⊥BC．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“延长AE到点H，使EH＝AE，连接DH，可以得到阴影两个三角形全等．”
小伟：“继续连接FA、FH，经过进一步推理，可以得到∠HDF与∠ACF的数量关系．”
小强：“根据等腰三角形的两个底角相等，继续添加适当的辅助线，可以得出结论……”
（1）求证：△DEH≌△BEA；
（2）探究∠HDF与∠ACF的数量关系，并证明；
（3）求证：DF⊥BC．
【解答】证明：（1）如图1，延长AE到点H，使EH＝AE，连接DH，∵E是BD中点，
∴BE＝ED，
∵∠DEH＝∠BEA，
∴△DEH≌△BEA（SAS）；
（2）∠HDF＝∠ACF；
理由是：如图2，连接AF、FH，
∵EF⊥AE，
∴∠HEF＝∠AEF＝90°，
∵AE＝EH，FE＝FE，
∴△HEF≌△AEF（SAS），
∴AF＝HF，
∵△DEH≌△BEA，
∴DH＝AB＝AC，
∵DF＝FC，
∴△FHD≌△FAC（SSS），
∴∠HDF＝∠ACF；
（3）如图3，延长CB、DH交于点Q，∵∠HDF＝∠ACF，FD＝FC，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠HDF＝∠FDC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AB∥DH，
∴∠Q＝∠ABC，
∴∠Q＝∠ACB，
∴△DQG≌△DCG（AAS），
∴∠DGQ＝∠DGC＝90°，
∴DF⊥BC．
10．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF
上的点．
（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM＝PN，求证：BM＝
CN；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，CN与AC之间的数量关系 AM + CN ＝ AC ；
（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，且∠MAN+∠MPN＝180°，
若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
【解答】（1）证明：∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，
∴PB＝PC，在Rt△PBM和Rt△PCN中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN，
∴BM＝CN；
（2）AM+CN＝AC，
理由如下：在Rt△PBA和Rt△PCA中，
，
∴Rt△PBA≌Rt△PCA，
∴AB＝AC，
∴AM+CN＝AM+BM＝AB＝AC，
故答案为：AM+CN＝AC；
（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，
∴AC＝8，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°，
∴∠MAN+∠BPC＝180°，又∵∠MAN+∠MPN＝180°，
∴∠MPB＝∠NPC，
在△PBM和△PCN中，
，
∴△PBM≌△PCN，
∴四边形ANPM的面积＝四边形ABPC的面积＝ ×8×4×2＝32．
11．△ADE中，AE＝AD且∠AED＝∠ADE，∠EAD＝90°．
（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请
你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、
BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD＝6，试求四边形CEDB的面积．【解答】解：（1）AB＝AC．
理由如下：
∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC＝ ∠AED，∠ADB＝ ∠ADE
∵∠AED＝∠ADE
∴∠AEC＝∠ADB
在△AEC和△ADB中，
∠AEC＝∠ADB，AE＝AD，∠A＝∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB＝AC；
（2）BE＝CD且BE⊥CD．
理由如下：
∵∠EAD＝∠BAC
∴∠EAB＝∠DAC
在△AEB和△ADC中，AB＝AC，∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴EB＝CD
∴∠AEB＝∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE＝90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE＝90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE＝180°
∴∠DOE＝90°
∴BE⊥CD；（3）四边形CEDB的面积＝ ×BE×CD＝ ＝18．
12．如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠PCQ＝45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋
转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为 AD ＝ BE + DE ；
（3）在（1）的条件下，若CD＝6，S△BCE ＝2S△ACD ，求AE的长．
【解答】（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF＝DE，
∵CD⊥AE，
∴CE＝CF，
∴∠DCE＝∠DCF＝∠PCQ＝45°，
∴∠ACD+∠ACF＝∠DCF＝45°，
又∵∠ACB＝90°，∠PCQ＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴AD+BE＝AD+AF＝DF＝DE，
即AD+BE＝DE；
（2）解：如图②，在AD上截取DF＝DE，
∵CD⊥AE，
∴CE＝CF，
∴∠DCE＝∠DCF＝∠PCQ＝45°，∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝90°，
∴∠BCE+∠BCF＝∠ECF＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝BE+DE，
即AD＝BE+DE；
故答案为：AD＝BE+DE．
（3）∵∠DCE＝∠DCF＝∠PCQ＝45°，
∴∠ECF＝45°+45°＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴CD＝DF＝DE＝6，
∵S△BCE ＝2S△ACD ，
∴AF＝2AD，
∴AD＝ ×6＝2，
∴AE＝AD+DE＝2+6＝8．
13．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析
∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC
与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC
与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则
∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．
（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、
DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A＝140°，∠B＝120°，∠E＝90°，则∠CPD
＝ 9 5 度．
【解答】解：（1）∠BOC＝90°+ ∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠1+∠2＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣ ∠A）＝90°+ ∠A；
（2）探究2结论：∠BOC＝ ∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2＝ ∠ACD＝ （∠A+∠ABC）＝ ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝ ∠A+∠1﹣∠1＝ ∠A，
即∠BOC＝ ∠A；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝ （∠A+∠ACB），∠OCB＝
（∠A+∠ABC），
在 △ BOC 中 ， ∠ BOC ＝ 180°﹣ ∠ OBC﹣ ∠ OCB ＝ 180°﹣ （ ∠ A+∠ ACB ） ﹣
（∠A+∠ABC），
＝180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
＝180°﹣ （180°+∠A），
＝90°﹣ ∠A；
（4）∠OBC+∠OCB＝ （360°﹣∠A﹣∠D），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B）＝ （∠A+∠D）；
（5）∵∠A＝140°，∠B＝120°，∠E＝90°，
∴∠BCD+∠CDE＝（5﹣2）•180°﹣140°﹣120°﹣90°＝190°，
∴∠PCD+∠PDC＝ （180°×2﹣190°）＝85°，
在△PCD中，∠CPD＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣85°＝95°．
14．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC
作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系
吗？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BC＝AG＝24，请直接写出S△AEF ＝ 28 8 ．【解答】（1）EP＝FQ，
证明：∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，
∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，
∴∠PEA＝∠BAG，
在△EPA和△AGB中，
，
∴△EPA≌△AGB（AAS），
∴EP＝AG，
同理△FQA≌△AGC，
则AG＝FQ，
∴EP＝FQ；
（2）解：EH＝FH，
理由是：∵EP⊥AG，FQ⊥AG，
∴∠EPH＝∠FQH＝90°，
在△EPH和△FQH中，
，
∴△EPH≌△FQH（AAS），∴EH＝FH；
（3）∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，
∴S△FQA S△AGC ，S△FQH ＝S△EPH ，S△EPA ＝S△AGB ，
∴S△AEF ＝S△EPA +S△FQA
＝S△AGB +S△AGC
＝S△ABC
＝ ×BC×AG
＝ ×24×24
＝288．
故答案为：288．
15．如图，AB＝12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度，
由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t＝1（s），△ACP与△BPQ是否
全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与
点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等．
（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BD中点，若点Q以（2）
中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求
出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
【解答】解：（1）由题意：t＝1（s）时，PA＝BQ＝3（cm），
∵AB＝12cm，
∴PB＝AB﹣AP＝12﹣3＝9（cm），
∵AC＝9cm，
∴AC＝BP，∵∠CAP＝∠PBQ＝90°，PA＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠CPA＝∠BQP，
∵∠BQP+∠BPQ＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ．
（2）①由（1）可知，Q的速度为3cm/s时，△ACP≌△BPQ，此时t＝1，符合题意．
②当PA＝PB，AC＝BQ时，△APC≌△BPQ（SAS），
∵t＝ ＝2（s），
∴点Q的运动速度为 cm/s．
∴满足条件的点Q的速度为 cm/s．
（3）∵C，D分别是AE，BD中点，
∴AE＝2AC＝18（cm），BE＝2BD＝18（cm），
由题意： t﹣3t＝36，
解得t＝24（s），
答：经过24s点P与点Q第一次相遇．
