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第五章 平面向量及解三角形（中档卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·山西太原·三模（理））设非零向量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由 ，平方得 ，
即 ，则 .
故选：B.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文）） 中， 是边 上靠近 的三等分点，则向量
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为点 是 边上靠近 的三等分点，所以 ，
所以 ；
故选：C.
3．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））在 ABC中，“ ”是“ ABC是锐角三角形”
的（ ） △ △
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由正弦定理可知， ，
不能得到 是锐角三角形,但 是锐角三角形,则 .
故“ ”是“ 是锐角三角形”的必要不充分条件，
故选:B．
4．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永
徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为 ，在它们的地面上的点M（B，M，D
三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为 和 ，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为 ，
则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到 ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意得，在 中， ，
在 中， ， ，
所以 ，由正弦定理 ，
得 ，
又 ，
在 中， .
故选：D.
5．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形 中， ，点 ， 在线段 上，且
，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题可得 ， ，
则 ，又 ，所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：D.
6．（2022·上海·模拟预测）如图，在 中，已知 ，D是 边上的一点，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得： ，即 ，
解得：
故选：D
7．（2022·重庆·三模）在 中，已知 ， ， 在 方向上的投影为 ，
P为线段 上的一点，且 .则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
因为 ， 在 方向上的投影为 ，所以 ，解得： .
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，解得： .
因为P为线段 上的一点，且 ，所以 ，即 .
所以 （当且仅当 时取等号）.
所以 的最小值为4.
故选：B
8．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
(当且仅当 时取等号)
由 ，可得
， 其中 ，当且仅当 时取得等号,
所以
故选：C
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量 ，则下列命题正确的是（ ）
A．存在 ，使得 B．当 时， 与 垂直
C．对任意 ，都有 D．当 时，
【答案】BD对于选项A：若 ，则 ，即 ，
所以不存在这样的 ，故A错误；
对于选项B：若 ，则 ，即 ，得 ，故B正确；
对于选项C： ，当 时， ，
此时 ，故C错误；
对于选项D： ，两边同时平方得
，化简得 ，等式两边同
除以 得 ，
即 ，所以 ，故D正确.
故选：BD.
10．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，
能使 的形状唯一确定的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
对于A，由余弦定理可得 ，解得 ，故A正确；
对于B，根据正弦定理： ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 或 ，故B不正确；
对于C，由三角形的内角和可知 ，又 ，利用正弦定理 ，可知 均有唯一
值，故C正确；
对于D，根据正弦定理： ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 只能是锐角，故D正确；
故选：ACD
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出
相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有
阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正
八边形 ，其中 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABC
由题意，分别以 所在的直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形 ，所以
，
作 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得其余各点坐标， ， ， ， ， ，
对于A中， ，故A正确；
对于B中， ，故B正确；
对于C中， ， ， ，
所以 ，故C正确；
对于D中， ， ， ，
，故D不正确.
故选：ABC.
12．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a
＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（ ）A．sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5 B． 是锐角三角形
C． 的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则 外接圆半径为
【答案】BCD
解：因为在 中，(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，
所以 ，解得 ，
所以sin A∶sin B∶sin C＝ ，故A错误；
易角C为最大角，则 ，所以角C为锐角，故 是锐角三角形，
故B正确；
易角A为最小角，则 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故C正确；
设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得 ，故正确；
故选：BCD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知向量 ， 不共线，若向量 与向量 共线，
则 的值为____________.
【答案】
解：因为 与 共线，可设 ，
即 ，因为 ， 不共线，所以 ，所以 .
故答案为：
14．（2022·四川·成都实外高一阶段练习）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若向量 与
的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．【答案】
解： 与 夹角为锐角时，
；
解得 ；
当 时， 与 分别为 与 同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15．（2022·河北武强中学高一期中）在 中，若 ，则 是
__________．
【答案】直角三角形
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 .
所以 为直角三角形.
故答案为：为直角三角形.
16．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
，则 的最大值为_________；设D是 上一点，且
，则 的最大值为_________．
【答案】
（1）由余弦定理知：
又由正弦定理化简得： ，即
，即 ，又 ，
化简得 ，则又 ， ，故当 时， 取最大值为 .
（2）由题意得 ，
在 与 中，分别有 ，
又 ，化简得
整理得：
令 ，结合辅助角公式有 ，所以 的最大值
为
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知向量 和向量 ，且 .
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）已知 的三个内角分别为 ，若有 ， ， ，求 的长度.
【答案】（1）最小正周期为 ，最大值为2；（2）2.
由 得：
则：
（1） 最小正周期为：当 时，
（2）由 得： ，则
由正弦定理可知： ，即
18．（2022·湖南邵阳·一模）在 中，若边 对应的角分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，由正弦定理可得
在 ， ，∴
∴ ，即
又 ，∴
∴ ，∴
(2)解：∵ 且 ，
∴ ，
∴
∴
19．（2022·山西太原·二模（理））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设
．
(1)求角C；
(2)若D为AB中点， ， ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
(1)∵ ，
∴ ，即 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
∵ ，∴ ．
(2)由于D为AB中点，所以 ,
而
所以 ，
∴ ，
∴ ．
20．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且 .
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1) (2)6或
(1)∵ ，则
∵
∴ ，即
∵ ，则
∴
(2)∵△ABC的面积为 ，则
∴
根据题意得 ，则 或
若 ，则△ABC为等边三角形， 的周长为6；
若 ，则 ，即 ， 的周长为∴ 的周长为6或
21．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数 ，其中 ，
．
(1)求 的单调增区间；
(2)在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ， (2)
(1)
令 ，得 ，
所以 的单调增区间为 ， ．
(2)∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴
∵ ，∴ ．
∴
22．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在① ，② 两个条件中任
选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且
________.
(1)求角 ；
(2)若 ，点 是 的中点，求线段 的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析， (2)
(1)解：选①，由 及正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 、 ，所以， ，则 ，
所以， ， ；
选②，由 及正弦定理可得 ，
所以， ，
、 ， ，所以， ，则 .
(2)解：因为 ，所以， ，
由已知 ，即 ，所以， ，
所以， ，
即
，
所以， .
