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重难点突破03 直线与圆的综合应用
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题型一：距离的创新定义
例1．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角
形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三
边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知 ，P为 内一点，记
，则 的最小值为 ，此时 .
【答案】
【解析】设 为坐标原点，由 ，知 ，
且 为锐角三角形，因此，费马点F在线段 上，设 ，则 为顶角是120°的等腰三角形，故 ，
所以 ；
在 中，由正弦定理，得 ，即 ，
解得 ，即此时 .
故答案为： ；
例2．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（ ）是衡量数值点之间距离的一种非常常
见的方法，设点 、 坐标分别为 ， ，则闵氏距离
.若点 、 分别在 和 的图像上，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，设 ，
因为点A、B分别在函数 和 的图象上，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
设 ， ，则 ，
令 ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的
有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在
中，若三个内角均小于 ，则当点 满足 时，点 到三角形三个顶点的
距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两
个互相垂直的向量，且 ，则 的最小值是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ，
则 ，
即为点 到 和点 三个点的距离之和，
则△ABC为等腰三角形，如图，
由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°，则∠APO＝60°，
因为|OA|＝|OB|＝2，则 ，所以点 坐标为 时，距离之和最小，
最小距离之和为 .
故选：B.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组
数据分别为 和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，
其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①： ，故①正确.对于②： ，故②错误.
对于③： ，不妨设 ，
，且 均为非负数，所以 故③正确.
对于④：构造函数 ，则 ， 的最小值即两曲线动点
间的最小距离，设 与直线 平行的切线方程为 ，联立 得：
，令 得， ，所以切线方程为 ： 与 之间的距离
，所以最小值为 ，故④正确.
故选C.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形
三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边
的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得： 的几何意义为点 到点 的距离之和的最小值，
因为 ， ，
，
所以 ，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取 的中点 ，连接 ，与 交于点 ，连接 ，故 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，则 ，
故点 到三角形三个顶点距离之和最小，即 取得最小值，
因为 ，所以 ，同理得： ， ，
，故 的最小值为 .
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）点 是 内部或边界上的点，若 到 三个顶点距离之和
最小，则称点 是 的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若 ， ，
时，点 是 的费马点，且已知 在 轴上，则 的大小等于 .
【答案】
【解析】先证明：若 到 三个顶点距离之和最小，则
如图将 绕点B逆时针旋转60°得到 ，则 ≌ ，
，所以 是等边三角形， ，
，当 四点共线时取得最小值，
此时 ，
同理可得
所以命题得证.
点 是 的费马点，且已知 在 轴上，
，
，所以 ，
所以 = .
故答案为：
变式4．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点
M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ 的几何意
义为点 到两定点 与 的距离之和，设点 关于 轴的对称点为 ，则 为
，要求 的最小值，可转化为 的最小值，利用对称思想可知
，即 的最小值为 ,故答
案为 .
题型二：切比雪夫距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点
， 的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直
线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有
；②已知点P（3，1）和直线 ，则 ；③到原点的“切比
雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
【答案】①②③
【解析】其中①③的讨论见后文．
②设点Q是直线 上一点，且 ，则 ．由
，解得 ，即有 ，当 时，取得最小值 ；由 ，解
得 或 ，即有 ，此时 的范围是 ，无最值．故P，Q两点的“切比
雪夫距离”的最小值为 ．
综上，①②③正确．
例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点
、 的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为 ．
【答案】16
【解析】由前文知点P的轨迹是边长为4的正方形，则轨迹长度之和为16．
例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,定义 为两点
的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ,称 的最小值为点 到直线 的
“切比雪夫距离”记作 给出下列四个命题:
①对任意三点 ，都有
②已知点 和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点 、 、 ，若它们共线，设 ， 、 ， ， ， ，如图，结合三角
形的相似可得 ， ， 为 ， ， ，或 ， ， ，则
；
若 ， 或 ， 对调，可得 ；
若 ， ， 不共线，且三角形中 为锐角或钝角，如图，
由矩形 或矩形 ， ；
则对任意的三点 ， ， ，都有 ，故①正确；
②设点 是直线 上一点，且 ，
可得 ， ，
由 ，解得 ，即有 ，
当 时，取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ，无最值；综上可得， ， 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ；故②正确；
③由题，到原点 的“切比雪夫距离”的距离为1的点 满足 ，即
或 ，显然点 的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
变式5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点
、 的“切比雪夫距离”，又设点 及直线 上任一点 ，称 的最小值为点 到直线
的“切比雪夫距离”，记作 .
（1）求证：对任意三点 、 、 ，都有 ；
（2）已知点 和直线 ，求 ；
（3）定点 ，动点 满足 （ ），请求出点 所在的曲线所围成图形的面积.
【解析】（1）证明：设 ，则
，同理可得
，
所以 ，
（2）设 为直线 上一点，则 ，
由 ，解得 ，即有 ，当 时，取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ，无最大值，
综上可得， 两点的最小值为 ，
所以 ；
（3）设轨迹上动点为 ，则 ，
等价于 或 ，
所以点 的轨迹是以 为中心，边长为 的正方形，
所以点 所在的曲线所围成图形的面积为变式6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点 、
的“切比雪夫距离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 到直线 的“切
比雪夫距离”，记作 ，给出下列三个命题：
①对任意三点 、 、 ，都有 ；
②已知点 和直线 ，则 ；
③定义 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由新定义表示出三点 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，
由新定义计算出 ，判断②，
根据新定义求出 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．①设
，则 ，
，
显然 ，同理 ，
∴ ，①正确；
②设 是直线 上任一点，则 ，
，易知 在 上是增函数，在 上是减
函数，∴ 时， ，②错；
③由 得 ，易知此曲线关于 轴， 轴，原点都对称，它是以 为
顶点的正方形，其转成图形面积为 ，③错．
故选：B．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义 为两点A
B 的“切比雪夫距离”，又设点P及 上任意一点Q,称 的最小值为点P到直线
的“切比雪夫距离”，记作 ,给出下列三个命题：
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(2,1)和直线 ,则③定点 动点P 满足 则点P的轨迹与直线
( 为常数)有且仅有2个公共点.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①对任意三点 、 、 ，
若它们共线，设 ， 、 ， 、 ， ，如图，
结合三角形的相似可得 , , 分别为 , , 或 , , ，
则 ；
若 , 或 , 对调，可得 ；
若它们不共线，且三角形中 为锐角或钝角，如图，
由矩形 或矩形 ，
；
则对任意的三点 ， ， ，都有 ；
故①正确；
②设点 直线 一点，且 ，可得 ，
由 ，解得 ，即有 ，
当 时，取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，的范围是 ，无最值，
综上可得， ， 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ，
故②错误；
③定点 、 ，动点 满足 ，
可得 不 轴上， 在线段 间成立，
可得 ，解得 ，
由对称性可得 也成立，即有两点 满足条件；
若 在第一象限内，满足 即为 ，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点 的轨迹与直线 为常数）有且仅有2个公共点，
故③正确；
真命题的个数是2，
故选：C．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）在平面直线坐标系中,定义 为两点
的“切比雪夫距离”，又设点P及 上任意一点Q,称 的最小值为点P到直线
的“切比雪夫距离”记作 给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
④定点 动点 满足 则点P的轨迹与直线
( 为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】①对任意三点 、 、 ，若它们共线，设 ， 、 ， ，
， ，如右图，结合三角形的相似可得 ， ，为 ， ， ，或 ， ， ，则 ， ， ， ；
若 ， 或 ， 对调，可得 ， ， ， ；
若 ， ， 不共线，且三角形中 为锐角或钝角，由矩形 或矩形 ，
， ， ， ；
则对任意的三点 ， ， ，都有 ， ， ， ；故①正确；
设点 是直线 上一点，且 ，
可得 ， ，
由 ，解得 ，即有 ，
当 时，取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ， ， ， ．无最值，
综上可得， ， 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ．
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于 的点设为 ，则 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点 、 ，动点
满足 ， ， ，
可得 不 轴上， 在线段 间成立，
可得 ，解得 ，
由对称性可得 也成立，即有两点 满足条件；
若 在第一象限内，满足 ， ， ，即为 ，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点 的轨迹与直线 为常数）有且仅有2个公共点．
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
故选: .
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
例7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别
技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余
弦距离．设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离
，其中 （O为坐标原点）．已知 ， ，则
的最大值近似等于（ ）
（参考数据： ， ．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
【答案】B
【解析】设 ，
由题意可得： ，即 ，
可知 表示正方形 ，其中 ，
即点 在正方形 的边上运动，
因为 ，由图可知：
当 取到最小值，即 最大，点 有如下两种可能：
①点 为点A，则 ，可得 ；
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，不妨取 ，
则 ；因为 ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
例8．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系 中，定义 两点间的折线距离
，该距离也称曼哈顿距离．已知点 ，若 ，则
的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得， ．令 ，
作出 所表示的平面区域如图中实线所示，
则 ，而 表示点 到原点 的距离的平方，
结合图形可知 的最小值为2，最大值为4，故 的最小值与最大值之和为
，
故选：B．
例9．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点 ，
的曼哈顿距离为 .我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫
“好点”，已知三角形 的三个顶点坐标为 ， ， ，则 的“好点”的坐标
为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】对于A，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”；
对于B，设 ，
则 ，
，
所以 ，
所以点 是 的“好点”；
对于C，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”；
对于D，设 ，
则 ，
所以点 不是 的“好点”.
故选：B.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家
赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平
面内，若 ， ，则 ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，下列直角梯形中的虚
线可以作为 ， 两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】根据题意： ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，再结合四个选项可以判断只有C选
项符合题意.
故选：C．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如
下：在直角坐标平面上任意两点 ， 的曼哈顿距离为： .在此定
义下，已知点 ，满足 的点M轨迹围成的图形面积为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【解析】设 ，
因为 ，所以 ，
当 时，则
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 ， ，
所以点M的轨迹如图所示，是一个边长为 的正方形，
所以点M轨迹围成的图形面积为 ，
故选：A
题型四：圆的包络线问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）设直线系M： ，则下列命题中是真
命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 ，存在正n
边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B
【解析】根据直线系M： ，
可得 到直线M的距离 ，
所以所有直线都为圆心为 ，半径为1的圆的切线，
对于①：因为直线系为圆的任意切线，所以不存在一个直线与所有直线相交，故①错误；
对于②：因为直线系为圆的任意切线，所以该直线系不过定点，故②错误；
对于③：对于任意实数 ，作圆 的外切正n边形，其所有边都为圆的切线，即为直线
系中的直线，故③正确；
对于④：如图所示：
正 和正 面积不相等，故④错误；
故选：B
例11．（2023·全国·高三专题练习）设直线系 （ ），则下列命题中是
真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④ 中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点 不在 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上；
⑦ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根据直线系 （ ）得到，所有直线都为圆心为 ，半径为1的圆的切线．
对于①，可取圆心为 ，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；
对于②，可取圆心为 ，半径为 的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；
对于③，可取圆心为 ，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；
对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；
对于⑤，存在 不在 中的任一条直线上，所以⑤错误；
对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在 中的直线上，所以⑥正确；
对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角
形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；
故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．
故选：B．
例12．（2023·全国·高三专题练习）设直线系 ，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于 轴时， 或 ；
（2）当 时，直线倾斜角为 ；
（3） 中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点 不在 中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】 ，
（1）当直线垂直于 轴时，则 ，解得 或 或 ，故（1）错误；
（2）当 时，直线方程为： ，
斜率 ，即 ，倾斜角 ，故（2）正确；
（3）由直线系
可令 ，消去 可得 ，
故直线系 表示圆 的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意 ，存在定点 不在直线系 中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
变式11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）设有一组圆 ：
（ ）.下列四个命题中真命题的是A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【答案】BD
【解析】圆心为 ，半径为 ，
， ， ， ， ，圆 与圆 是内含关系，
因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误；
易知圆心在直线 上，此直线与所有圆都相交，B正确；
若 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；
将 代入圆方程得 ，即 ，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程
无整数解，即原点不在任一圆上，D正确．
故选：BD．
变式12．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，直线
，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点
B．对任意实数 与 ，直线 与圆 都相离
C．存在实数 与 ，直线 和圆 相离
D．对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与圆 相切
【答案】AD
【解析】AB选项，由题意知圆 的圆心为 ，半径为 ，直线 的方程可以写作
，过定点 ，因为点 在圆上，所以直线 与圆相切或相交，
任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点，A正确，B错误；
C选项，由以上分析知不存在实数 与 ，直线 和圆 相离，C错误；
D选项，当直线 与圆 相切时，点 恰好为直线 与圆 的切点，故直线 与直线 垂直，①当
时，直线 与 轴垂直，则 ，即 ，解得 ，存在 ，使得直线 与圆
相切；
②当 时，若直线 与直线 垂直，则 ，
直线 的斜率为 ，
所以 ，即 ，
此时对任意的 ，均存在实数 ，使得 ，则直线 与直线 垂直，综上所述，对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与圆 相切，D正确．
故选：AD．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知直线
与圆{a=0.001¿¿¿¿
相切，则满足条件的直线 有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即 ，
（其中 ），故 ，或 ，正弦值为 的只
有在 轴正半轴，正弦值为 可以在第三或者第四象限，故有 种可能，所以选 .
题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
例13．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结
合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面
轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿
波罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点P满足 ，若点P的轨迹关
于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 的坐标为 ，因为 ，则 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 点的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：B.
例14．（2023·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么
点 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点 到 ， 的距离之比为 ，则点 到直线
的距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，化简得 ，
即点 的轨迹方程为以 为圆心， 为半径的圆，
则点 到直线 的距离的最小值为圆心 到直线 的距离减去半径，
即 ，点 到直线 的距离最小值为 .
故选：A
例15．（2023·福建泉州·高二统考期末）已知平面内两个定点 ， 及动点 ，若 （ 且
），则点 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知 ， ，直线
，直线 ，若 为 ， 的交点，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知 过定点 ，
过定点 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点，故圆心为 ，半径为3，
则 的轨迹方程为 ，即 ，易知O、Q在该圆内，
又 ，
即 ，取 ，则 ，又 ，
所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
变式14．（2023·全国·高二专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚
历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 ， 的距离之比为
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为
时的阿波罗尼斯圆为 ．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动
点 和定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，点M在圆 上，取点 ，连接 ，有 ，
当点 不共线时， ，又 ，因此 ∽ ，
则有 ，当点 共线时，有 ，则 ，
因此 ，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取
等号，
所以 的最小值为 .
故选：C
变式15．（2023·高二单元测试）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆
锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 ， ，圆
上有且仅有一个点 P满足 ，则r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设动点 ，由 ，得 ，整理得 ，
又点 是圆 ： 上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆C： 的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时， ，得 ，
当两圆内切时， ， ，得 ．
故选：A.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面 ， ，A、B是直线l上的两点，C、D
是平面 内的两点，且 ， ， ， ， ．P是平面 上的一动点，且直线
PD，PC与平面 所成角相等，则二面角 的余弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意易得PD与平面 所成角为 ，PC与平面 所成角为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴P点轨迹为阿氏圆．在平面 内，以 为 轴，以 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，
整理得： ，
所以点P在 内的轨迹为以 为圆心，以4为半径的上半圆，
因为平面 ， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为平面 平面 ， ，
所以二面角 的平面角为 ，
由图可知，当PB与圆相切时， 最大，余弦值最小，
此时 ，故 .
故选：B．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中，底面 为等边三角形，
， ，点 为 的中点，点 为 的中点.若点 、 是空间中的两动点，且
， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】建立直角坐标系如图所示，，底面 为等边三角形，且 .所以OD=2,AO= .B(- ，-1，0)，
D(0,2,0),C( ，-1，0),点 为 的中点，所以E（ ， ，0）点 为 的中点，F（- ，- ，
0），设M（x,y,z）, ，所以 ，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的
球上，同理N也在这个球上，且 ，所以MN为球的直径， =
.
故选B.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内
到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 、 分别是圆
，圆 上的动点， 是坐标原点，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
取点 ，设 ，则 ，
在 和 中， ，
所以 和 相似，且相似比为 ，
所以 ，则 ，
而 ，
即 的最小值为 ，
所以 .
故答案为： .
变式19．（2023·全国·高三专题练习）点 为圆 ： 上一动点， 为圆 ：
上一动点， 为坐标原点，则 的最小值为 .
【答案】9
【解析】 为圆 ： 上一动点， 为圆 ： 上一动点，
为坐标原点，
取 ，则 ，故答案为：9
变式20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， ，点 在线段
上，且 ，点 是正方体表面上的一动点，点 是空间两动点，若 且
，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】如图,建立如图所示的空间直角坐标系
则 , ，设
由题设
即
也即
由此可知点 都是在球心为 ,半径为2的球面上
又 ,故点 是球的直径的两个端点
所以 ，
所以
而 在正方体的表面上,故当点 在正方体的顶点 上时,
此时 的值最小为
故答案为 ： .题型六：圆中的垂直问题
例16．（2023·海南·统考模拟预测）已知直线ME= 1 AD，直线 过点 且与直线 相互垂直，圆
2
，若直线 与圆C交于M，N两点，则 ．
【答案】
【解析】由直线 ，可得斜率 ，
ME= 1 AD
2
因为 且直线 过点 ，所以直线 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，
又由圆 ，即 ，
可得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以弦长 .
故答案为： .
例17．（2023·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ．若直线
上存在一点 ，使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】记两个切点为 ，则由于 ，因此四边形 是正方形， ，圆 标准方程为
， ， ，于是圆心 直线 的距离不大于 ，
，解得 .
考点：直线和圆的位置关系.
例18．（2023·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，则的最大值为 ．
【答案】20
【解析】设圆心 到AC，BD的距离分别为m，n．
因为AC，BD相互垂直，所以 ，
由垂径定理得 ，
则 ，
由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
故 ．
故答案为：20
变式21．（2023·全国·高三专题练习）过定点 作两条相互垂直的直线 、 ，设原点到直线 、 的
距离分别为 、 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
作 交 于点 ，作 交 于点 ，
可得四边形 为矩形，
，
故可设 ，
，其中 ，
当 取最大值1时， 取最大值 .
故答案为：
变式22．（2023·全国·高三专题练习）过点 作两条相互垂直的直线分别交圆 于 、 和、 两点，则四边形 面积的最大值为 ．
【答案】23
【解析】 圆 ， 圆心 坐标 ，半径 ，
设圆心 到 、 的距离分别为 、 ，
，则
四边形 的面积为
当且仅当 时取等号，
四边形 面积的最大值为23．
故答案为：23．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，圆 .已知过原
点 且相互垂直的两条直线 和 ，其中 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相切于点 .若 ，
则直线 的斜率为 .
【答案】
【解析】设 ： ， ： ，利用点到直线的距离，列出式子
，求出 的值即可.由圆 ，可知圆心 ，半径为 .
设直线 ： ，则 ： ，
圆心 到直线 的距离为 ，
，
.
圆心 到直线 的距离为半径，即 ，
并根据垂径定理的应用，可列式得到 ，解得 .
故答案为： .
题型七：圆的存在性问题
例19．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知圆 和两点 ，
.若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为 ．
【答案】11
【解析】由题意可得：圆 的圆心 ，半径 ，
∵ ，则点 在以 为直径的圆上（不能是 两点），
以 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，
注意到圆心 到y轴的距离为 ，即y轴与圆 相离，
由题意可得：圆 与圆 有公共点（由于y轴与圆 相离，公共点不可能为 ），且 ,
则 ，即 ，解得 ，
故 的最大值为11.
故答案为：11.
例20．（2023·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知动圆 的方程为
，则圆心 的轨迹方程为 ．若对于圆 上的任意点 ，
在圆 ： 上均存在点 ，使得 ，则满足条件的圆心 的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】设圆心 的坐标为 ，故 ①， ②，①×2＋②得：
，故圆心 的轨迹方程为 ；如图所示，取圆 上一点P，要使 最大，则过点P作圆O的切线，
连接 并延长交圆M于点 ，则点 离圆O的距离最大，
故要使得对于圆 上的任意点 ，在圆 ： 上均存在点 ，使得 ，
则只需要过点 作圆的切线，切点为 ，若此时 即可，
当 时， ，此时 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由勾股定理得：圆心 的轨迹长度为 .
故答案为： ，
例21．（2023·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）设点 的坐标为 ，若在圆
上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当 时，点 都在圆上，易知在圆 上存在点 ，使得 .
当 时，要使圆 上存在点 使得 ，则 的最大值大于或等于 时一定
存在，而当 与圆相切时， 取得最大值，此时 ，则 ，即 ，所
以实数 的取值范围为 ．
故答案为：
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，若直线
上存在点P使得 ，则实数m的取值范围为 .
【答案】【解析】设 ，因为 ，
所以 ，整理得： ，
直线 上存在点P使得 等价于直线 与圆 有交点，
所以 ，解得： .
故答案为： .
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ．若 ，
在 所在的平面内存在点 ，使得 ，则 的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】以 所在直线为 轴， 边的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设
， ， ， ， ， .
由 ，得 ，即 ①，又 ，
故 ②，其中①式可以看作以(0，0)为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，②式可以看作
以 为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，
由题意知两圆有公共点，即点 ，则 ③，
又 ，得 ④，由③，④得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 取得最大值 ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
变式26．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知点 ，若圆上存在点 满足 3，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，则
若 3，则 即
∴ 的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
若圆 上存在点 满足 3，
则圆 和圆 有公共点，
解得：
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
变式27．（2023·陕西西安·高三西安铁一中滨河高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，圆
的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有
公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，
因此圆 的圆心为 ，半径为1，
若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，
只需点 到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点P在直线 上，若过点P
存在直线 与圆C交于A、B两点，且满足 ，则点P横坐标 的取值范围是 ．
【答案】【解析】由题， 即 ，故 为 的中点，即过点P存在直线 与圆C交于
A、B两点，且满足 为 的中点.考虑当 确定， 在圆 上运动时， 的轨迹为与圆 相切且半径为1
的圆上.故当 为 的中点时， 的轨迹为以 为圆心，内外半径分别为1，3的圆环内.
故只需分析此圆环与直线 相交的部分即可. 易得外圆方程 ,联立
有 ,解得 或 ,故点P横坐标 的取值范围是
故答案为:
变式29．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 和点
，动点P满足 ，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于 ，则
实数的 取值范围是 .
【答案】
【解析】设点 ，则 ，
即 ，所以动点P的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
要在圆 上至少存在两点到直线 的距离等于 ，
则需圆心 到直线 的距离 ，
解得 .
故答案为：
变式30．（2023·江西萍乡·统考二模）已知圆 ，对直线 上一点 ，在圆 上
总存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意当 是圆 切线时， 取得最大值，而当 时， ，
所以由在圆 上总存在点 ，使得 ，得 ，即 ，解得 ．
故答案为： ．
变式31．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C
（0，a），D（0，a+2）.若存在点P，使得|PA|= |PB|，|PC|=|PD|，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】设P（x，y），则由|PA|= |PB|，得 ，
整理得 ，即P在以（5，0）为圆心， 为半径的圆上.
又由|PC|=|PD|，知点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上
因而问题转化为直线y=a+1与圆 有交点，所以|a+1|≤2 ，
解得
故答案为：
