文档内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线与圆的位置关系.........................................................................................................4
知识点2：圆与圆的位置关系.............................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：直线与圆的位置关系的判断................................................................................................6
题型二：弦长与面积问题....................................................................................................................9
题型三：切线问题、切线长问题......................................................................................................13
题型四：切点弦问题..........................................................................................................................18
题型五：圆上的点到直线距离个数问题..........................................................................................23
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题......................................................................27
题型七：圆与圆的位置关系..............................................................................................................34
题型八：两圆的公共弦问题..............................................................................................................38
题型九：两圆的公切线问题..............................................................................................................40
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................44
05课本典例·高考素材........................................................................................................................47
06易错分析·答题模板........................................................................................................................49
易错点：求与圆的切线有关的问题..................................................................................................49
答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数..................................................................51考点要求 考题统计 考情分析
高考对直线与圆、圆与圆的位置关系
2024年甲卷（文）第12题，5分
的考查比较稳定，考查内容、频率、题型
（1）直线与圆的位置
2023年乙卷（理）第12题，5分 难度均变化不大，但命题形式上比较灵
关系
2023年I卷第6题，5分 活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，
（2）圆与圆的位置关
2023年II卷第15题，5分 除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断
系
2022年I卷第14题，5分 外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长
及相切所得切线的问题．
复习目标：
（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1：直线与圆的位置关系
1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，
消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【诊断自测】已知圆C： ，直线 ： ，则直线 与圆C的位置关系为
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】由直线 ，可得 ，所以直线 过定点 ，
又 ，所以点 在圆 内部，所以直线 与圆 相交.
故选：A.
知识点2：圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【诊断自测】（2024·广东广州·二模）若直线 与圆 相切，则圆 与圆
（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点
【答案】B
【解析】直线 与圆 相切，
则圆心 到直线 的距离等于圆 的半径1，
即 ，得 .
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
其圆心在圆 上，所以两圆相交.
故选：B
解题方法总结
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用
圆心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
题型一：直线与圆的位置关系的判断
【典例1-1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线 ，圆 ，则该
动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【解析】因为直线 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以直线 表示过定点 ，且除去 的直线，
将圆 的方程化为标准方程为 ，因为 ，点 在圆上，
所以直线 与圆 可能相交，可能相切，相切时直线 为 ，不合题意，
所以直线 与圆 相交.
故选：C.
【典例1-2】已知集合 ， ，则 的子集个数为
（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【解析】集合 表示直线 上点的集合，集合 表示圆 上点的集合．
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 相交，
所以 共有2个元素，所以 的子集个数为 ．
故选：C．
【方法技巧】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【变式1-1】已知圆 经过三点 ，则直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交且直线 过圆心 D．相交且直线 不过圆心
【答案】D
【解析】设圆的一般方程为 ， ，
则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
则圆心到直线 的距离为 .
所以直线 与圆 相交且直线l不过圆心.
故选：D.
【变式1-2】直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意知，圆心 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，故圆 与直线 相离.
故选：A.
【变式1-3】集合 ，集合 ，若 中有8个元素，则
值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【解析】由 ，当 时，上式变为 ，
当 时，上式变为 ，
当 时，上式变为 ，
当 时，上式变为 ，
其对应图象如图所示正方形，集合 表示以坐标原点 为圆心， 为半径的圆，
由 含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，即圆与正方形的关系介于内切与外接之间，
则 ，解得 .
故选：B.
【变式1-4】已知 ，则圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【解析】圆心 到直线 的距离 ，
因为 ，
即 ，所以圆 与直线 的位置关系是相交，
故选：B
题型二：弦长与面积问题
【典例2-1】（2024·江西上饶·模拟预测）直线 被圆 截得最大弦长为
．
【答案】【解析】由已知，圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，解得 ，
所以弦长为 ，因为 ，
所以 ，所以弦长 ，
当 即 时，弦长有最大值 .
故答案为： .
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知直线 与圆
交于A，B两点，若钝角 的面积为 ，则实数a的值是 ．
【答案】 /
【解析】由圆 ，即 ，
可得圆心坐标为 ，半径为 ，
因为钝角 的面积为 ，可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
可得 ，
设圆心到直线的距离为 ，又由圆的弦长公式，可得 ，解得 ，
根据点到直线 的距离公式 ，解得 ．
故答案为： ．
【方法技巧】
弦长问题
①利用垂径定理：半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 具有的关系 ，这也是求弦长最常
用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦
长．
③利用弦长公式：设直线 ，与圆的两交点 ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长： ．
【变式2-1】（2024·高三·北京·开学考试）直线 被圆 所截得的弦长为 .
【答案】
【解析】 化为标准方程得 ，
则圆心为 ，半径 ，
显然直线 过圆心，则所截得弦为直径，其长为 .
故答案为：
【变式2-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线 与圆C： 相交于
A，B两点，且 ，则实数 .
【答案】
【解析】根据题意，圆 ，
即 ，其圆心为 ，半径 ，
若 ，则圆心到直线 即 的距离 ，
又由圆心到直线 的距离 ，
则有 ，解可得： .
故答案为： .
【变式2-3】在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，过点 的动直线 与圆 交于点
， ，若 的面积最大值为 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为圆 ： ，即 ，可知圆心 ，半径 ，
设圆心 到动直线 的距离为d，设其最大值为 ，可知 ，
则 ，
可得 的面积 ，
令 ，可知 在 上的最大值为 ，令 ，解得 或 ，
结合二次函数对称性可知 ，即 ，即圆心 到动直线 的距离的最大值为2，
此时点 在以 为圆心，2为半径的圆M上，
又因为 即为点 与点 连线的斜率 ，
显然当直线 与圆M相切于第一象限时，斜率 最大，
此时 ，可知 ，
即 的最大值为为 .
故答案为： .
【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与圆
相交于M，N两点，若 ，则直线l的斜率为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，直线 的斜率存在，设 ， ，直线MN的方程为 ，
与 联立，得 ， ，得 ，
， .因为 ，所以 ，则 ，于是
，（由点A及C在y轴上可判断出 ， 同号）
所以 ，两式消去 ，得 ，满足 ，所以 .
故答案为：【变式2-5】直线 与圆 ： 交于 ， 两点，若 ，则 .
【答案】
【解析】设 、 ，线段 的中点坐标为 ，
则 ，
且 ∴ ，
即 .
∵ ， 两点在圆 上，
∴ ， ，
又∵ ，
.
∴
.
∴
故答案为： .
【变式2-6】已知直线 与圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，则 ，
.
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
所以 ，
设 ， ，
由 ，消去 整理得 ，则 ， ，
又 ， ，
所以
.
故答案为： ；【变式2-7】（2024·江苏南京·三模）已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 ， 两点，且
，则直线 的方程为 .
【答案】 或
【解析】当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ，
由 ，可得 ，或 ，
所以 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
因为 ，所以圆心 到直线 的距离 ，
由 ，得 ，
所以直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
题型三：切线问题、切线长问题
【典例3-1】圆 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为圆 的圆心为 ， ，
易知点 在圆上，又 ，所以切线的斜率为 ，故切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【典例3-2】已知圆C： ，过直线 上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当
ABC的面积最大时，点P的坐标为 ．
△
【答案】 或
【解析】由题 ，所以 时， 最大，
由于PA，PB与圆相切，所以四边形PACB是正方形，此时 ，
又点P在直线 上，所以设点 ，则 ，
解得 或 ，所以点P的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【方法技巧】
（1）圆的切线方程的求法
①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即 ．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式： ，因为
与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有
一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 上一点 的切线方程是 ；
过圆 上一点 的切线方程是 ．
【变式3-1】（2024·河北邢台·一模）已知 ，过点 恰好只有一条直线与圆E：
相切，则 ，该直线的方程为 ．
【答案】 1
【解析】若过点 恰好只有一条直线与圆E： 相切，则 一定在圆 上，可得 ，
解得 (其它根舍去)，故 ，而易知圆心为 ，半径为 ，
又直线斜率为 ，设该直线的斜率为 ，
显然两直线必定垂直，故得 ，则直线方程为 ，
化简得直线方程为 ，
故答案为：1；
【变式3-2】（2024·高三·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系 中，一条光线从点 时出，经直线
反射后，与圆 相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 .
【答案】 （答案不唯一，另一条为 ）
【解析】依题意，点 关于直线 的对称点 ，
由光的反射定理知，从点 射出的光线经直线 反射后，与圆 相切，
相当于从点 发出的光线与圆 相切，显然该切线斜率存在，设方程为 ，
因此圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
所以所求直线方程为 或 .
故答案为：
【变式3-3】（2024·安徽·三模）已知曲线 与曲线 在第一象限交于点A，
记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为 ，则 ．
【答案】 /
【解析】 ，解得 ， ，故 ，
设曲线 在点A处的切线为 ，即 ，曲线 在点A处的切线为 ，
由 可得其圆心为 ，半径为 ，
则有 ，即 ，解得 ，
对 ，有 ，则 ，则 ，
即 ， ，
则 .
故答案为： .
【变式3-4】关于曲线 有以下五个结论：
①当 时，曲线C表示圆心为 ，半径为 的圆；
②当 ， 时，过点 向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为 ；
③当 ， 时，过点 向曲线C作切线，则切线方程为 ；
④当 时，曲线C表示圆心在直线 上的圆系，且这些圆的公切线方程为 或 ；
⑤当 ， 时，直线 与曲线C表示的圆相离.
以上正确结论的序号为 .
【答案】②④
【解析】对于①，当 时，曲线 ，当 时，C表示点 ，当 时，曲线C表示圆心为 ，半径为 的圆，错误.
对于②，当 ， 时，曲线 ，因此曲线C表示圆心为 ，半径为 的圆.
由于过点 （记为点D）向曲线C作切线，切点为A，B，且点 到点 的距离为 ，
根据勾股定理可得 ，因此A，B可看作圆 与圆
的交点.
又圆的方程 化成一般式为 ，
于是直线AB的方程为 ，
即直线AB的方程为 ，正确.
对于③，当 ， 时，曲线 ，
圆的切线方程可设为 （直线系方程），由于切线过点 ，因此
，
又 ，解得 或 因此过点 的切线方程为 或 ，错误.
对于④，当 时，曲线 ，因此曲线C表示圆心为 ，半径为
的圆.
于是曲线C的圆心在直线 上，又圆心 到直线 的距离为 ，到直线
的距离为 ，
因此曲线C表示圆心在直线 上的圆系，且这些圆的公切线方程为 或 ，正确.
对于⑤，当 ， 时，曲线 ，因此曲线C表示圆心为 ，半径为 的圆.
将直线 变形为 ，可知直线过定点 ，又点 在圆
内，
因此直线 与曲线C表示的圆相交，错误.
综上所述，正确的有②④.
故答案为：②④
【变式3-5】圆 ，直线 ，若直线上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点是，使得 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 或
【解析】由 可得 ，由 可得
，所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
其方程为 ．又点 在直线 上，
故直线 与圆 有公共点，所以 ，
解得 ，所以 或 ．
故答案为： 或
题型四：切点弦问题
【典例4-1】已知点P是直线 上的动点，过点P作圆O： 的两条切线，切点分别为
，则点 到直线 的距离的最大值为 .
【答案】1
【解析】设 ，过点P作圆O： 的两条切线，切点分别为 ，
则 在以 为直径的圆上，该圆的方程为 ，
将 和 相减得： ，
即得到直线 的方程为 ，
又因为点P是直线 ，故 ，
则直线 的方程为 ，即 ，当 且 ，即 ， 时该方程恒成立，
所以直线AB过定点 ，
当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大，
此时最大值即为Q，M之间的距离，而 ，
即点 到直线AB的距离的最大值为1，
故答案为：1
【典例4-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·期中）过原点 作圆 的两条切线，设切
点分别为 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【解析】 圆 配方可得 ，
其圆心为 ，半径 ，
过原点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
则 ，
又点 在圆 上，
则直线 为圆 与圆 的公共弦所在的直线，
两圆方程相减可得 ，
即直线 的方程为 .
故答案为： .
【方法技巧】
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换为 ， 替
换为 即可，因此可得到上面的结论．
【变式4-1】（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆 ，过直线
上任意一点 ，作圆的两条切线，切点分别为 两点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意得，圆 的圆心为 ，半径为 ，如图所示，
根据圆的切线长公式，可得 ，
则 ，
当 取最小值时， 取最小值，此时 ，则 ，
则 .
故答案为： .
【变式4-2】（2024·重庆·统考模拟预测）若圆 关于直线 对称，动点 在
直线 上，过点 引圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则直线 恒过定点 ，点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆 的圆心在直线 上，
即有 ，
设点 ，则 ，
故以 为直径的圆的方程为： ，
将和 相减，
即可得直线 的方程，即 ，
则直线 恒过定点 ，
故选：C
【变式4-3】已知圆 ， 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 和 ，当四边形 的面积最小时，则直线 的方程为 .
【答案】
【解析】由 ，得到 ，所以圆心 ，半径 ，如图， ，
所以四边形 的面积 ，
所以当|PC|最小时， 也最小，此时， ，
故 的方程为 ，即 ，
联立 解得： ， ，即 ，
所以直线 的方程为 ，
化简得： .
故答案为： .
【变式4-4】已知圆 ，P为直线 上的动点，过点P作圆C的两条切
线，切点分别为A和B， 的中点为Q，若点T的坐标为 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 圆心 ，半径 ，
设 ，则切点弦 所在直线的方程为 ，
化简得： ，
所以直线 过定点 ，
如图，显然 ，所以点Q的轨迹是以 为直径的圆，
其圆心为 ， ，
因为 ，所以 .故答案为：
【变式4-5】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线 上的动点，过P作圆 的两条
切线，切点分别为A，B，若点M为圆 上的动点，则点M到直线AB的距离的最大
值为 ．
【答案】
【解析】设 ，则满足 ；
易知圆 的圆心为O(0,0)，半径 ；
圆 的圆心为 ，半径 ，如下图所示：
易知 ，所以 ，即 ，整理可得 ；
同理可得 ，
即 是方程 的两组解，
可得直线 的方程为 ，联立 ，即 ；
令 ，可得 ，即 时等式 与 无关，
所以直线 恒过定点 ，可得 ；
又 在圆 内，当 ，且点 为 的延长线与圆 的交点时，点 到直线 的距离最大；
最大值为 ；故答案为：
【变式4-6】（2024·四川·模拟预测）已知点 在抛物线 上运动，过点 的两直线 与圆
相切，切点分别为 ，当 取最小值时，直线 的方程为 .
【答案】
【解析】如图，设 ，设 与 交于 ，
由题意知 ， ，
中， ，
而 ，则 ，
当 最小时， 取最小值.
而 ，
当且仅当 时， 取得最小值，此时 ， ， ，
则以 为圆心， 为半径的圆的方程为： ，
与圆 的方程相减，可得 的直线方程为： ，即 ，
故答案为：
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
【典例5-1】（2024·广东·一模）已知直线 与直线
相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，即 过定点 ，
由 可得 ，
即 过定点 ，
又 ，所以 的轨迹是以 为直径的圆（不含点 ），
其中圆心为 ，半径为 ，
所以圆上恰有3个不同的点M到直线 的距离为1，
只需圆心到直线的距离等于1，即 ，解得 ，
此时 到直线 的距离不为1，故 符合.
故选：B
【典例5-2】若圆 上仅有4个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出到直线 的距离为1的点的轨迹，得到与直线 平行，
且到直线 的距离等于1的两条直线，
圆 的圆心为原点，
原点到直线 的距离为 ，
两条平行线中与圆心 距离较远的一条到原点的距离为 ，
又 圆 上有4个点到直线 的距离为1，
两条平行线与圆 有4个公共点，即它们都与圆 相交．
由此可得圆的半径 ，
即 ，实数 的取值范围是 ．
故选： ．【方法技巧】
临界法
【变式5-1】已知圆 上到直线 的距离等于1的点恰有3个，则实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
【答案】D
【解析】 由圆 的方程 ，可得圆 的圆心为原点 ，半径为 ，若圆 上恰有 个点到直
线 的距离等于 ，因为半径为 ，则 到直线 ： 的距离 等于 ，直线 的一般方程为：
， ，解得 ，故选D.
【变式5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）圆C： 上恰好存在2个点，它到直线
的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆C： 的圆心 ，半径R
点C到直线 的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线 的距离为1，则
故选：B
【变式5-3】设点P是函数 图象上任意一点，点Q的坐标 ，当 取得
最小值时圆C： 上恰有2个点到直线 的距离为1，则实数r的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，两边平方得： ，即点P在以 为圆心，2为半径的圆的
位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：因为Q的坐标为 ，则 在直线 ，过点A作 ⊥l于点 ，与半圆交于点 ，
此时 长为 的最小值，则 ，所以直线 ： ，与 联立得： ，
所以 ，解得： ，则圆C： ，则 ，圆心 到直线
的距离为 ，要想圆C上恰有2个点到直线 的距离为1，则
.
故选：C
【变式5-4】（2024·山西·二模）已知 是坐标原点，若圆 上有且仅有2个点到
直线 的距离为2，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
设与直线 平行且距离为2的直线方程为 ，
则 ，解得 ，直线 ， ，
点 到直线 的距离 ，到直线 的距离 ，
由圆 上有且仅有2个点到直线 的距离为2，得圆 与直线 相交，且与直线 相离，
则 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】由题意知点 在曲线 上，
则圆心 到直线 的距离 ，
即 ，
又 ，
所以 的最小值2．
故选：B.
【典例6-2】（2024·河南·三模）已知 为圆 上两点，且 ，点 在直线
上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设线段 的中点为 ，圆： 的圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，设点 的轨迹为圆 ，圆 上的点到直线 的最短距离为 ．
所以 ．
故选:A.
【方法技巧】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的
最近和最远距离再加减半径长的问题．
【变式6-1】直线 与直线 交于 点，当 变化时，点 到直线 的
距离的最大值是 ．
【答案】
【解析】直线 过定点 ，直线 过定点 ，
且直线 与直线 垂直，
所以点 在以 为直径的圆上，圆心 ，半径 ，
其方程为 ．
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 ．
故答案为：
【变式6-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）直线 ，与圆 相
交于 、 两点，点 为直线 上一动点，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】因为直线 ，则直线恒过点 ，
由 可得圆 的圆心 ，半径 ，则直线 恒过圆心，因为 ， ，
所以 ①， ②
② ①得
因为点 到直线 的距离为： ，则 ，
的最小值是 ,
故答案为：
【变式6-3】已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由题可得： ，
所以 表示 ， 两点到直线 距离之和的 倍，
根据题意作出图形如下：
如图，设 ， 的中点为 ，
且 ， ， 在直线 的投影分别为 ， ， ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相离，易得 ，即 ，所以点 在以 为直径的圆上，其圆心为 ，半径为 ，
由图可得：
由于 到直线 的距离 ，
所以 ，
即 的最小值为 .
故答案为：4
【变式6-4】已知A(x ,y )、 满足： ， ， ，则代数式
1 1
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 、 ， ， ， ，
故 、 在圆 上，
且 ，其中 为坐标原点，
因为 ，则 ，
因为 ，则 是腰长为 的等腰三角形，且 ，
（1）当点 、 在直线 的同侧时，
设直线 交圆 于 、 两点，如下图所示：
记 ， ，记 ，则 ，其中 ，则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，所以， ，
则 ；
（2）当点 、 在直线 的异侧时，
设直线 交圆 于 、 两点，如下图所示：
记 ， ，记 ，则 ，其中 ，
则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，则 ，
则 ；
（3）当点 、 中有一点在直线 上时，则 .
综上所述，代数式 的取值范围是 .
故答案为： .
【变式6-5】若 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】曲线 表示的是以点 为圆心，以 为半径的圆，
表示点 到点 的距离，
表示点 到直线 的距离，设点 在直线 上的射影点为 ，
则 ，
当且仅当 、 、 三点共线且点 为线段 与圆 的交点时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为： .
【变式6-6】（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆 与直线 相切，
函数 过定点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，则四边形 面积
的最大值为 .
【答案】5【解析】由题意圆 与直线 相切，
圆心为 ，半径为 ，
函数 过定点
如图连接OA、OD作 垂足分别为E、F，
，
所以四边形OEMF为矩形，
已知 ， ，
设圆心O到AC、BD的距离分别为 、 ，
则
四边形ABCD的面积为： ，
从而： ，
当且仅当 时即 取等号，
故四边形ABCD的面积最大值是5，
故答案为：5.
【变式6-7】（2024·山东青岛·三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． －1 B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题意设 ， ， ，
则 ，即 ，且 ，解得 ， 或 .
由 可得 ，即 ，
则 ，即 的终点 在以 为圆心，1为半径的圆上,
故 .
由圆的对称性，不妨令 ，即 ，
如图，连接 ，交圆于 ，
由点与圆的位置关系可知， .
故选：A.
题型七：圆与圆的位置关系
【典例7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆 ，圆 ，则
这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
【答案】A
【解析】圆 的圆心 为 ，半径 ；
圆 的圆心 为 ，半径 ，
则 ，故 ，所以两圆内含；
故选：A
【典例7-2】（2024·山东·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 的距离是
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
【答案】D
【解析】圆 ： ，所以圆心 ，半径为 .
由点到直线距离公式得： ，且 ，所以 .
又圆 的圆心 ，半径为：1.
所以 ， .
由 ，所以两圆内含.
故选：D
【方法技巧】
已知两圆半径分别为 ，两圆的圆心距为 ，则：
（1）两圆外离 ；
（2）两圆外切 ；
（3）两圆相交 ；
（4）两圆内切 ；
（5）两圆内含 ；
【变式7-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 ， ，若圆 上存在
点P满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点 ，则 ， ，
所以 ，
所以P的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为3．
由此可知圆 与 有公共点，
又圆 的圆心为 ，半径为2，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 ．
故选：A．【变式7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C： 和两点 ， ，
若圆C上存在点P，使得 ，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为圆C上存在点P，使得 ，
所以，以 为直径的圆与圆 有交点，
又以 为直径的圆，圆心为O(0,0)，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为2，
所以 ，即 ，即 .
故选：A
【变式7-3】（2024·江西鹰潭·三模）已知 ，直线 与 的交点 在
圆 ： 上，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知直线 恒过定点A(−2,0)，
直线 恒过定点 ，
且 ，易知直线 与 互相垂直，即可得 ，
所以 点轨迹是以 为直径的圆，圆心为 的中点 ，半径为 ；
可得 点轨迹方程为 ；
又因为 点在圆 上，所以可得圆 与圆 有公共点，
当两圆内切（圆 在外）时， 取得最大值；
此时满足 ，解得 .
故选：D
【变式7-4】（2024·北京·三模）已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 说明 在以 为直径的圆 上，
而 又在圆 上，因此两圆有公共点，
则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，
所以 ，即 ，又 ，解得 .
故选：B
【变式7-5】（2024·甘肃张掖·模拟预测）若圆 上存在唯一点 ，使得 ，
其中 ，则正数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得圆 的圆心坐标为C(0,1)，半径为 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，可得 ，
化简得 ，故点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
又因为存在唯一的点 也在圆 上，所以两圆是外切或内切，
所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值，
即 或 ，
解得 或 ，因为 是正数，所以 .
故选：B.
题型八：两圆的公共弦问题
【典例8-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆 ，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于A，B两点，且 ，则圆 和圆 的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【解析】由圆 与 轴相切于点 ，可设圆 的方程为 ，
由 ，则 ，所以圆 的方程为 ，
圆 与圆 的方程相减得 ，即为两圆的相交弦所在直线方程.
故答案为：
【典例8-2】（2024·四川·模拟预测）圆 与圆 的公共弦长为
.
【答案】
【解析】将两个圆的方程作差得： ，即公共弦所在的直线为 ，
又知 ， ，则 到直线的 的距离为：
，所以公共弦长为 ，
故答案为： .
【方法技巧】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【变式8-1】圆 与圆 的公共弦所在直线被圆 ：
所截得的弦长为 ．
【答案】
【解析】圆 与圆 的两方程作差得 ，
即公共弦所在直线方程为 ，
又圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
则圆 被直线 所截得的弦长为 .
故答案为： .
【变式8-2】已知圆 与圆 相交于 两点，则
.【答案】2
【解析】由题意可知两圆公共弦 所在的直线方程为 ，如下图所示：
所以点 到直线 的距离为 ，
又易知 ，所以向量 在向量 方向上的投影为 ，
所以 ，同理可得 ，
所以 .
故答案为：
【变式8-3】已知以1为半径的圆 的圆心 在 轴上，以2为半径的圆 的圆心 在 轴上，且两圆公共
弦所在直线为 ，则这两个圆的公共弦长为 .
【答案】
【解析】设两圆方程分别为 、 ，
即 、 ，
两式相减为： ，
则有 ，解得 或 ，
此时圆A的圆心为 或 ，关于原点对称，
可知圆心A到直线 的距离均为
由圆的弦长公式 ，
则 ，故答案为： .
题型九：两圆的公切线问题
【典例9-1】（2024·高三·山东·开学考试）圆 和圆 的
公切线方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【解析】 ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
因为 ，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直， ，
所以切线斜率为 ，
由方程组 解得 ，
故圆 与圆 的切点坐标为 ，
故公切线方程为 ，即 ．
故选：A.
【典例9-2】圆 和圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，半径为3，
圆 的圆心为 ，半径为2．
两圆的圆心距为 ，所以两圆外切，
故两圆的公切线的条数为3，故C正确.
故选：C
【方法技巧】
待定系数法【变式9-1】（2024·河北石家庄·三模）已知圆 和圆 ，则两圆公切线
的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径
，
则 ，故两圆外切，则两圆公切线的条数为 .
故选：C.
【变式9-2】若直线 与圆 ，圆 都相切，切点分别为 、 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示，设直线 交 轴于点 ，
由于直线 与圆 ，圆 都相切，切点分别为 、 ，
则 ， ， ，
， 为 的中点， 为 的中点， ，
由勾股定理可得 .
故选：C.
【变式9-3】（2024·山东聊城·二模）若圆 与圆 恰有一条公切线，则
下列直线一定不经过点 的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径
，
若圆 与圆 恰有一条公切线，则两圆内切，
所以 ，即 ，所以点 的轨迹为圆 ，
对于A，圆心 到直线 的距离为 ，则该直线过点 ，故A不符合；
对于B，圆心 到直线 的距离为 ，则该直线过点 ，故B不符合；
对于C，圆心 到直线 的距离为 ，则该直线过点 ，故C不符合；
对于D，圆心 到直线 的距离为 ，则该直线不过点 ，故D符合；
故选：D.
【变式9-4】（2024·高三·全国·单元测试）若直线 是 与
的公切线，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知 的圆心 ，半径是 的圆心是 ，半径是2．
由题知直线 是 和 的公切线，
当 时，直线为 ，此时直线 与圆 不相切，所以 ，
由 ，解得 ，
则有 ．
故选：A．
【变式9-5】已知圆 ，圆 ，下列直线中不能与圆 ， 同时相
切的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意知： ，
所以圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为2，
对于A，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于B，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于C，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于D，圆 的圆心 到直线的距离为 ，不满足相切条件，
即直线 不可能是两圆的公切线；
故选：D.1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为直线 ，即 ，令 ，
则 ，所以直线过定点 ，设 ，
将圆 化为标准式为 ，
所以圆心 ，半径 ，
当 时，|AB|的最小，
此时 .
故选：C
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆
交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时，|AB|最小，
，此时 .故选：C
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，则 的最大值
是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【解析】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
1．已知 ， ， 三点，点P在圆 上运动，求 的最大值
和最小值．
【解析】设 ，
因为 ， ， 三点，
所以
，
，
因为点P在圆 上运动，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， 取的最大值88，
当 时， 取的最小值72.
2．已知点 和以点Q为圆心的圆 ．
（1）画出以 为直径，点 为圆心的圆，再求出圆 的方程；（2）设圆Q与圆 相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．
【解析】(1)易知 ，所以PQ的中点 ，
又因为 ，圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为 .作图如下：
(2)因为PQ为直径， 在圆Q上，所以 ,
所以直线PA，PB是圆Q的切线.
(3) 圆 的方程 可化为 ，
圆Q的方程 可化为 ，
两圆方程相减，得 ，
所以直线AB的方程为 .
3．如图，圆 内有一点 ，AB为过点 且倾斜角为 的弦．
（1）当 时，求AB的长．
（2）是否存在弦AB被点 平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，直线AB的斜率为 ，又直线AB过点 ，所以直线AB的方程为： ，
圆心 到直线AB的距离为 ，则 ，
所以 ；
（2）当弦 被点 平分时，AB与 垂直，
因为 ，所以 ，
直线AB的点斜式方程为
即 .
4．已知圆 ，直线 ，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？
【解析】因为圆的方程为 ，所以圆心为 ，半径为
因为圆 上恰有三个点到直线l的距离都等于1，
所以只需要圆心到直线 的距离为 即可满足条件，
直线的一般式方程为： ，
所以圆心到直线的距离为： ，解得 ，
故当 时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
5．求圆 与圆 的公共弦的长．
【解析】圆 与圆 ，两式相减得 ，即公共弦方程为
，圆 的圆心坐标为 ，半径 ，圆心到公共弦的距离 ，
故公共弦
易错点：求与圆的切线有关的问题
易错分析： 求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在
的情况．
【易错题1】写出一个过点 且与圆 相切的直线方程 ．
【答案】 或 （答案不唯一，写出一个即可）
【解析】依题意，将圆 化为标准方程可得 ，则圆 表示以 为圆心，半径 的圆，
当切线的斜率不存在时，过 的直线 正好与圆 相切；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，则 ，解得 ，此时切线方程
为 ．
由于只需写出一个过点 且与圆 相切的直线方程，
故答案为： 或 （答案不唯一，写出一个即可）
【易错题2】已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，若直线 与两坐标轴交点分
别为 、 ，则 ．
【答案】
【解析】由于 ，所以 在圆 上，
又 ，故 ,
故切线的斜率为 ，进而切线方程为 ，即 ，分别令 ，
故 ,故 ，
故答案为：答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数
1、模板解决思路
对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆
心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置。结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数。
2、模板解决步骤
第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式；
第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值；
第三步：验证解的正确性。
【典型例题1】已知直线 与曲线 有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直线 过定点 ，
又由曲线 ，可得 ，
作出曲线 与直线 的图象，如图所示，
因为直线 ，可得 ，
又由 ，解得 ，
若直线 与曲线 有公共点，则 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：B.【典型例题2】已知点 ，圆 ，若圆 上存在点 使得 ，则实数 的最小
值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】根据题意，点 ，若 ，则点 的轨迹是以 为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆 ，
圆 ，若圆 上存在点 使得 ，则圆 与圆 有公共点，
则 ，解得 ，即 的取值范围为[0,4]，
故 的最小值为0．
故选：C．
