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第五章 平面向量及解三角形（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）已知向量 ，且 ，那么 的值
是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
由题意 ， ．
故选：D．
2．（2022·河南南阳·高一期中）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由正弦定理得： .
故选：C.
3．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）向量 ， ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】D
由题意知： ，则 .
故选：D.
4．（2022·四川省南充市第一中学高一期中）在 中， 且角 的平分线
交 于 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 是角 的平分线， ， ，所以 ，
故选：A．
5．（2022·河南驻马店·高一期中（文）） 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
由题意， ，结合余弦定理可知 .
故选：A.
6．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））在 中，已知 ， ， ，则 的面
积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据正弦定理得： ，所以 ，
因为 ，所以
.
故选：C.
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））在 中，已知 ，那么
一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
因为 ， ，
所以 ，
所以由正余弦定理得 ，化简得 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形.
故选：B.
8．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））如图，在 中， ，P是BN上的一
点，若 ，则实数m的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
解：由题意得：
设 ，则
又由 ， 不共线
，解得：
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量 的夹角为 ,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与 可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
据题意
因为所以 ,所以 对
因为 ,所以 ,所以 对.
因为
所以 ,所以 错
因为 与 不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以 正确
故选：ABD
10．（2022·福建泉州·高一阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的
是（ ）
A．若A＝30°， ， ，则△ABC有两解
B．若 ，则角A最大值为30°
C．若 ，则△ABC为锐角三角形
D．若 ，则直线AP必过△ABC内心
【答案】ABD
【详解】
对于选项A：bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b，
所以，△ABC有两解，A选项正确；
对于选项B：设 （以 为基底），则 ，
∵ ∴ =0
则 ，即
∴
∵ ，∴ ，B选项正确；
对于选项C：∵ ，∴ ，又 ∴C为锐角
若C为最大角， 则△ABC为锐角三角形，否则△ABC为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，C选项
错误；对于选项D：∵ 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向单位向量
又∵ 与 不共线
∴ 与菱形对角线向量共线
∴直线AP为角A的角平分线，即直线AP必过△ABC内心， D选项正确．
故选：ABD．
11．（2022·贵州·凯里一中高一期中）在△ABC中， ， ， ，则（ ）
A．△ABC外接圆面积为定值，且定值为 B．△ABC的面积有最大值，最大值为
C．若 ，则 D．当且仅当 或 时，△ABC有一解
【答案】ABD
【详解】
由 容易得到 ，由 得 ， ，A正确；
由 得 ，解得 ，
∴ ，B正确．
若 ，由 得 ，∴ 或 （均符合题意），C错误．
由 得
， ，此方程有唯一正解等价于 或
，又由于 ，∴ 或 ，D正确．
故选：ABD．
12．（2022·全国·高一期末）在 中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ， 、 分别是 、上的点， 与 交于 ，且满足： ， ， ， ，
则下列说法正确的是( )
A． B．
C． D． 与 的夹角的余弦值为
【答案】BC
由 得 ，
∴ ，即 ，
由正弦定理得： ，即 ，
又 ， 、 ，∴B-C=0，即 ，
同理可得 ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∵ ，∴ 为 的三等分点，
∵ ，∴ 为 的中点，
如图建立平面直角坐标系，则 、 、 、 ，
， ， ，故A错误；
设 ，则 ， ，
∥ ， 为 的中点，∴ ，故B正确；
，故C正确；
， ， ，故D错误．
故选：BC．
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数
的取值范围是______．
【答案】 且
因向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，于是得 ，且 与 不共线，
因此， 且 ，解得 且 ，
所以实数 的取值范围是 且 .
故答案为： 且
14．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为
《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个
大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一
个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 中，若 ，则 ___________.
【答案】
由题意 ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．
15．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿
蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁 和临秀亭 两个标志性景点，如图．若为测
量隔湖相望的 、 两地之间的距离，某同学任意选定了与 、 不共线的 处，构成 ，以下是测
量数据的不同方案：
①测量 、 、 ；
②测量 、 、 ；
③测量 、 、 ；
④测量 、 、 ．
其中一定能唯一确定 、 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】②③
对于①，由正弦定理可得 ，则 ，
若 且 为锐角，则 ，此时 有两解，
则 也有两解，此时 也有两解；
对于②，若已知 、 ，则 确定，由正弦定理 可知 唯一确定；
对于③，若已知 、 、 ，由余弦定理可得 ，
则 唯一确定；
对于④，若已知 、 、 ，则 不确定.
故答案为：②③.
16．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中） AOB中， ， ， ，
．若 ， ．若 ，则 与 的夹角为__________；当 与 夹
角最大时， __________．
【答案】 ##
当k＝2时，
， ．
，
，
∴ ，
∴ 与 夹角 的余弦值 ，
∴ ．
如图所示：分别延长OA，OB到C，D使 ．
，
故 终点在CD上运动，
又 ．
即向量 ，
∴ 与 夹角为∠AMO，
当 OAM外接圆与CD相切时∠AMO最大（即M在P点时），
由 ，
，
，
，
，
易求 ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ，
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知向量 ， ，
(1)若 ，求k的值；
(2)若 ，求k的值．【答案】(1) (2)
(1) , ，
由题意得： ，解得：
(2)由题意得： ，
解得：
18．（2022·湖北·高一阶段练习）已知 的三个角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，而且满足
.
(1)求角 的值；
(2)若 ， ，边AB上的中点为D，求CD的长度.
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理及余弦定理有
，又因为 ，∴ .
(2)∵CD是AB边上的中线，∴
∴ .
∴ .
19．（2022·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知平面向量 ， 满足： ， ，
.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求向量 在向量 上的投影.
【答案】(1) (2)
(1)∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
(2)∵ ，∴ ，
∴向量 在向量 上的投影为 ．
20．（2022·安徽淮南·二模（文））如图，在平面四边形 中， ， ， ，
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求△ 的边 上高的大小．
【答案】(1) (2)
(1)在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
∵ ，且 ，∴ ，即 ，
∴ ；
(2)在△ 中，由余弦定理得
，解得 ，
又∵△ 的面积为 ，
∴△ 的边 上高的大小为 ．21．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知两个不共线的向量 ， 的夹角为 ，且 ， .
(1)若 与 垂直，求 ；
(2)若 ，求 的最小值及对应的 的值，并指出此时向量 与 的位置关系.
【答案】(1)
(2) 时， 的最小值为 ， 与 垂直
(1)解：∵ 与 垂直，∴ ，
∴ ，即 .
∵ ， ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
(2)解：当 时， ，
所以
，
∴ 时， 的最小值为 ，
此时 ，
∴ 与 垂直.
22．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量 ， ，函数 ．
(1)求函数 在 上的值域；
(2)若 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
(1)（1）依题意， ，
由 得 ， ，所以 在 上的值域为 .
(2)由 得， ， ，则有 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得，
，
当且仅当 时取“=“，即有 ，又因为 ，则 ，
因此 ，
所以 的周长的取值范围为 ．
