第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档

§5.4 平面向量的综合应用 题型一 平面向量在几何中的应用 例1 (1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则 △ABC的面积的最大值为________． (2)(2022·天津)在△ABC中，CA＝a，CB＝b，D是AC的中点，CB＝2BE，试用a，b表示DE 为________，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题． 跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知·BC＝0，且·＝，则△ABC为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 (2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为( ) A．3 B．3 C．3 D．6 题型二 和向量有关的最值(范围)问题 命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例2 如图，在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交 于点M，N，若AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( ) A．3 B．3 C．1 D. 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题例3 已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则 AM·MN的最大值为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 与模有关的最值(范围)问题 例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( ) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 跟踪训练2 (1)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F 为线段DE上的一点，且AF＝λAB＋AD，则|AF|的最小值为( ) A. B．3 C. D. (2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|AP－ AB－AC|＝1，则|AP|的最小值为( ) A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1 (3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 PC＝1，则PA·PB的取值范围是( ) A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6]