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4.3 一次函数的图象
课堂知识梳理
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0,0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只
需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了.
在正比例函数y=kx中，
当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；
当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点画直线就
可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b）.
当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；
当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．正比例函数y=kx的示意图如图所示，则k的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象知：正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，可知k＜0，然后即可解答本题．
【详解】解：由图象知：
∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
观察四个选项，只有k=-2符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确正比例函数的性质，可以判断的k的正负情
况．
2．已知点（－4， ），（2， ）都在直线 上，则 ， 大小关系是（ ）．
A． ＞ B． ＝ C． ＜ D．不能比较
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数图像的增减性即可比较大小．
【详解】
因为点（－4， ），（2， ）都在直线 上，
k <0，
∴y随x的增大而减小
∵-4<2
∴ ＞
故选：A
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，掌握一次函数的增减性是解题关键．
3．直线 不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【解析】
【分析】根据 、b＝-2＜0利用一次函数图象与系数的关系，即可得出直线 经过第二、三、四
象限，此题得解．
【详解】
解：在 中，
∵ 、b＝-2＜0，
∴直线 经过第二、三、四象限．
∴不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行判断．
4．若一次函数 的图像经过第一，二，三象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，函数图像与y轴相交于y轴正半轴，据此可判断b的范围．
【详解】
∵一次函数 的图像经过第一，二，三象限，
∴函数图像与y轴相交于y轴正半轴，
即当x=0时，y=b>0，
故选 A【点睛】
本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数图像与系数的关系是解题的关键．
5．若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则一次函数 的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，可知k＜0，b＞0，再判断一次函数y=bx-k的位置选择图
象即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
则一次函数y=bx-k的图象经过一、二、三象限，
∴图B符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象所在象限，掌握k，b的大小与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的
关键．
6．已知一次函数 ，下列结论正确的是（ ）A．图象与x轴的交点坐标 B．图象与y轴的交点坐标
C．y随着x的增大而减小 D．当 时，
【答案】D
【解析】
【分析】
由解析式可求得直线与两坐标轴的交点，则可判定A、B两选项；根据k=2及一次函数的性质即可判定C
选项；由图象与x轴的交点坐标及函数的增减性质即可判定D选项，最后即可确定答案．
【详解】
由 知，当y=0时，即 ，得x=2；当x=0时，y= 4，
−
所以直线与x轴的交点坐标为(2，0)，与y轴的交点坐标为(0， 4)；
故A、B两选项均错误； −
由于k=2>0，则y随x的增大而增大，
故C选项错误；
由于当x=2时，y=0，而y随x的增大而增大，所以当x<2时，y<0，
故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是本题的关键．
7．将直线 向下平移2个单位，得到直线（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“上加下减”进行计算即可得．
【详解】
解：∵直线 向下平移2个单位，
∴ ，
故选D．【点睛】
本题考查了一次函数的图像，解题的关键是掌握“上加下减”．
8．若正比例函数y=kx过点 ，则y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”)．
【答案】增大
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再根据正比例函数的性质即可得．
【详解】
解：将点 代入 得： ，解得 ，
则正比例函数的解析式为 ，且 ，
所以 随 的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．
9．一次函数 的图象与 轴交点坐标是______，与 轴交点坐标是_____，与坐标轴围成的三角
形面积是_____．
【答案】 ( ，0) (0，4) 1
【解析】
【分析】
根据一次函数与坐标轴相交的坐标特点可直接进行求解，然后再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】
解：由题意得：
当x=0时，则有y=4；当y=0时，则有0=−8x+4，解得x= ，
∴与x轴的交点坐标为( ，0)，与y轴的交点坐标为(0，4)，
图像与坐标轴围成的三角形面积为：S= × ×4=1；故答案为：( ，0)，(0，4)，1．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
10．点A(x，−1)和B(x，3)都在函数y=-5x的图象上，则x 与x 的大小关系是__________．
1 2 1 2
【答案】x＞x
1 2
【解析】
【分析】
由-5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合-1＜3，可得出x＞x．
1 2
【详解】
解：∵y=-5x，k=-5＜0，故函数y的值随x的增大而减小，
又∵点A（x，-1）、B（x，3）都在一次函数y=-5x的图象上，且-1＜3，
1 2
∴x＞x．
1 2
故答案为：x＞x．
1 2
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的
关键．
11．关于x的一次函数 的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】
解：由一次函数y＝（2-m）x﹣3m的图象经过第一、三、四象限，知
2-m＞0，且-3m＜0，
解得，0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
12．将直线 向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为______．【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数图象平移的规律，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：将直线 向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律“上加下减”是解题的关键．
13．当 时，函数 的图象不经过第___象限．
【答案】二
【解析】
【分析】
结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=-kx-1的图象经过第一、三、四象限，此题得解．
【详解】
解：∵k<0，
∴-k>0，-1<0，
∴一次函数y＝-kx-1的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b<0，y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关
键．
14．已知一次函数y＝﹣x+2的图象过点A（a，﹣6）．
（1）求a的值；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象．【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣6＝﹣a+2，解之即可得出a的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴的交点坐标，经过两
点（0，2），（2，0）即可作出一次函数y＝﹣x+2的图象．
【详解】
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象过点A（a，﹣6），
∴﹣6＝﹣a+2，
∴a＝8．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×0+2＝2，
∴一次函数y＝﹣x+2的图象过点（0，2）；
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴一次函数y＝﹣x+2的图象过点（2，0）．
经过两点（0，2），（2，0）作一次函数y＝﹣x+2的图象，如图所示．【点睛】
本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
15．已知一次函数y=－2x+4．求：
（1）求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标．
（2）画出函数的图象．
（3）求△AOB的面积．
【答案】（1）A（2,0）B（0,4）；（2）见解析；（3）S AOB=4
△
【解析】
【分析】
(1)分别让y=0，x=0，即可求得此一次函数的的交点A、B的坐标；
(2)根据(1)中求出的交点坐标，过这两点作直线即得函数的图象；
(3)直接利用三角形的面积公式求解．
【详解】解：(1)让y=0时，
∴0=－2x+4
解得：x=2；
让x=0时，
∴y=-2×0+4=4，
∴一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴的交点坐标是A(2，0)，B(0，4)；
(2)如下图是一次函数y=-2x+4的图象；
(3)S AOB=
△
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的画法、三角形的面积，做题的关键是求出A、B的坐标．
16．已知直线y＝（2m+4）x+m﹣3，求：
(1)当m为何值时，y随x的增大而增大；
(2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
(3)当m为何值时，函数图象经过原点；
(4)当m为何值时，这条直线平行于直线y＝﹣x．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据y随x的增大而增大，比例系数k＞0，即可求解；（2）根据图象与y轴的交点在x轴的下方，常数项b＜0，即可求解；
（3）根据图象经过原点，常数项b等于0，即可求解；
（4）根据两条直线平行，比例系数k相等，常数项b不相等，即可求解．
(1)
解：∵y随x的增大而增大，
∴2m+4＞0，解得m＞﹣2；
(2)
解：∵函数图象与y轴的交点在x轴下方，
∴m﹣3＜0，解得m＜3；
(3)
解：∵函数图象经过原点，
∴m﹣3＝0，解得m＝3；
(4)
解：∵这条直线平行于直线y＝﹣x，
∴2m+4＝﹣1，m﹣3≠0，解得m＝﹣2.5．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，了解一次函数y＝kx+b的比例系数k及常数项b对函数图象的影响是解题的
关键．
培优第二阶——拓展培优练
17．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数 ， ， ， 的图象分别为 ， ， ，
，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡 越大）判断k的绝对
值的大小，最后判断四个数的大小.
【详解】
解：根据直线经过的象限，知 ， ， ， ，根据直线越陡 越大，知 ，
，所以 ．故选B．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡 越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
18．将直线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的直线解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【详解】
解：将直线y=-2x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=-2（x-1）+2，即y=-2x+4，
故答案为y=-2x+4．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点
A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为________，
点D的坐标为________．【答案】 （－1，0） （0， ）
【解析】
【分析】
由折叠的性质得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD=CD，AB=AC，
由一次函数解析式求出A与B坐标，确定出OA与OB的长，由BD+OD=OB，OC+OA=AC，在直角三角形
COD中，设CD=x，表示出OD，利用勾股定理求出x的值，即可确定出C与D坐标．
【详解】
解：由折叠的性质得： ADB≌△ADC，
∴AB=AC，BD=CD， △
对于直线y=- x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
∴OA=4，OB=3，
在Rt AOB中，根据勾股定理得：AB=5，
∴OC=△AC-OA=AB-OA=5-4=1，即C（-1，0）；
在Rt COD中，设CD=BD=x，则OD=3-x，
根据勾△股定理得：x2=（3-x）2+1，
解得：x= ，
∴OD= ，即D（0， ）．
故答案为：（-1，0）；（0， ）
【点睛】
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，利
用了方程的思想，熟练运用勾股定理是解本题的关键．
20．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、
（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______【答案】16
【解析】
【分析】
根据题意，线段 扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是 的长，底是点 平移的路程．求当
点 落在直线 上时的横坐标即可．
【详解】
解：如图所示．
点 、 的坐标分别为 、 ，
．
， ，
∴由勾股定理可得： ．
．
点 在直线 上，
，解得 ．
即 ．
．．
即线段 扫过的面积为16．
故选：C．
【点睛】
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段 扫过的面积应为一平行四边
形的面积．
21．如图，已知直线 ： ，直线 ： 和点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线
交直线 于点 ，…，按此作法进行下去，则点 的横坐标为________．
【答案】21010．
【解析】
【分析】
点P（1，0），P 在直线y=x上，得到P（1，1），求得P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，得到P（-2，1），
1 1 2 1 2
即P 的横坐标为-2=-21，同理，P 的横坐标为-2=-21，P 的横坐标为4=22，P=22，P=-23，P=-23，
2 3 4 5 6 7
P=24…，求得 ，于是得到结论．
8
【详解】
解：∵点P（1，0），P 在直线y=x上，
1
∴P（1，1），
1
∵PP∥x轴，
1 2
∴P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，
2 1∵P 在直线 上，
2
∴
∴x=-2，
∴P（-2，1），即P 的横坐标为-2=-21，
2 2
同理，P 的横坐标为-2=-21，P 的横坐标为4=22，P=22，P=-23，P=-23，P=24…，
3 4 5 6 7 8
∴ ，
∴P 的横坐标为 =21010，
2020
∴P 的横坐标为21010，
2021
故答案为：21010．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
22．已知：一次函数 ．
(1)如果此函数图象经过原点，那么 应满足的条件为______；
(2)如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么 应满足的条件为______；
(3)如果此函数图象与 轴交点在 轴下方，那么 应满足的条件为______；
(4)如果此函数图象与 轴交点到 轴的距离为 ，那么 应满足的条件为______．
【答案】(1)
(2)
(3) 且
(4) 或
【解析】
【分析】
将点 代入一次函数解析式，即可求出 的值；
根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第二、三、四象限时， ，且 ，即可求出
的范围；
先求出一次函数 与 轴的交点坐标，再根据图象与 轴交点在 轴下方得到且 ，即可求出 的范围；
先求出一次函数 与 轴的交点坐标，再根据图象与 轴交点到 轴的距离为 ，得
出交点的纵坐标的绝对值等于 ，即可求出 的值．
(1)
一次函数 的图象过原点，
，
解得 ．
故答案为： ；
(2)
该函数的图象经过第二、三、四象限，
，且 ，
解得 ．
故答案为： ；
(3)
，
当 时， ，
由题意，得 且 ，
且 ．
故答案为： 且 ；
(4)
，
当 时， ，
由题意，得 且 ，
或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了一次函数与系数的关系：由于 与 轴交于 ，当 时， 在 轴的正半轴上，直线与 轴交于正半轴；当 时， 在 轴的负半轴，直线与 轴交于负半轴． ，
的图象在一、二、三象限； ， 的图象在一、三、四象限； ，
的图象在一、二、四象限； ， 的图象在二、三、四象限．也考查
了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义．
23．如图，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)过B点作直线与x轴交于点P，若 ABP的面积为5，试求点P的坐标．
△
【答案】(1)A（- ，0），B（0，4）；
(2)P（- ，0）或（ ，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据A、B两点分别在x、y轴上，令y=0求出x的值；再令x=0求出y的值即可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得出AP，进而即可求得P的坐标．
(1)
解：∵直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
∴令y=0，则
解得：x=- ；
再令x=0，得y=4，
∴A（- ，0），B（0，4）；(2)
∵△ABP的面积为5，
∴ AP•OB=5，即 AP×4=5，
∴AP= ，
当P在点A左侧时，横坐标为： ，即P（- ，0）；
当P在点A右侧时，横坐标为： ，即P（ ，0）；
∴P（- ，0）或（ ，0）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，以及三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-x+5与x轴交于点B，直线l 与过点A(-4，0)的直线l 交于点
1 1 2
P(-1，m)．
(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)点M在第一象限且在直线l 上，MN∥y轴，交直线l 于点N，若MN=AB，求点M的坐标．
2 1
【答案】(1)
(2)M(2，12)
【解析】
【分析】
（1）把点P的坐标代入y=-x+5，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）先求出B点坐标，得出AB的值，设M（a，2a+8），根据MN∥y轴，得N（a，-a+5），根据
MN=AB，即可得出a的值，进而得出答案
(1)
∵直线l：y=-x+5与直线l 交于点P（-1，m），
1 2∴m=-（-1）+5=6，
即P（-1，6），
又∵l 过点A（-4，0）和点P（-1，6），
2
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得
∴直线l 的解析式为y=2x+8；
2
(2)
在y=-x+5中，令y=0，得x=5，
∴B（5，0），
∴AB=5-（-4）=9，
设M（a，2a+8），
由MN∥y轴，得N（a，-a+5），
MN=|（2a+8）-（-a+5）|=AB=9，
即：3a+3=9或3a+3=-9，
解得a=2或a=-4（不符合题意，舍去），
∴M（2，12）．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
25．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数 的函数值 随 的增大而减小，则 值可能是
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可得 ，即可求解．
【详解】
解：∵一次函数 的函数值 随 的增大而减小，
∴ ．
解得 ．
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
26．（2020·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．
【详解】
解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0，
∴图象过一、二、三象限，
故选C．
【点睛】
此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题．
27．（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，且，则点 在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】
∵在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴点 在第三象限，
故选：B
【点睛】
本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
28．（2022·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，请写出直线 上的一个点的坐标________．
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．
【详解】
解：当x=0时，y=0，
∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟知其性质是解题的关键．
29．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴
相交：________．
【答案】【解析】
【分析】
结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
【详解】
函数 的图像如下，函数分别于x轴相交于点B、和y轴相交于点A，
当 时， ，即
当 时， ，即
∴函数图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
30．（2022·辽宁锦州·中考真题）点 在一次函数 的图像上，当 时，
，则a的取值范围是____________．
【答案】a＜2
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
【详解】∵当 时， ，
∴a-2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
