文档内容
5.1 认识二元一次方程组
7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道）
一、二元一次方程的定义
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
1
A．xy=1−y B．x+2y=3x−2 C．3x−1=2 D． x+1=2−
y
2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
1
A．x= y B．x+1=2 C． +1= y D．xy−1=2
x
3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）若关于x，y的方程x|m−1)+(m−2)y=3是二元一次方程，则m
的值为（ ）
A．±2 B．0或2 C．2 D．0
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
1
①xy+2x−y=7；②4x+1=x；③ + y=5；④x=3 y；⑤x2−y2=2；⑥x+ y+z
x
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如果xa−2+2yb+1=0是二元一次方程，则a= ，b= ．
二、二元一次方程组的定义
{ x+ y=5 ) { xy=1 )
{1
+
1
=1)
1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列方程组：① ，② ，③ x y ，
3 y−x=1 x+2y=3
x+ y=1
{x=1)
④ 中，是二元一次方程组的是（ ）
y=3
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．{3x−y=4) B．{x+3=1) C．{4x+2y=1) D．{ x+ y=2 )
2y−z=6 y=x2 xy=−1 y−2x=43．（24-25七年级下·河南周口·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
{1
+ y=4) {4x+3 y=6)
A． x B．
y=4
x−y=1
{x+2y=6) {3x+5 y=15)
C． D．
x−y=4 x+10 y=15
{ x+ y=5 ) {x+ y=2) { xy=1 )
4．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：① ，② ，③ ，
3 y−x=1 3 y=−1 x+2y=3
{1
+
1
=1) {x=1)
④ x y ，⑤ 中，是二元一次方程组的是（ ）
y=1
x+ y=1
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤
{3x−5 y=1) {x=5) { x−y=10 )
5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程组中，① ，② ，③ ，④
y=z+1 y=1 2x+3 y=5
{ x2+ y=1 )属于二元一次方程组的有（ ）
x+2y=−1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、二元一次方程的解
{x=2)
1．（2025·广东广州·二模）若 是关于x，y的二元一次方程x−ay=4的一组解，则a的值为（ ）
y=2
A．−2 B．−1 C．1 D．2
2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）下列四组数值中，是二元一次方程x+ y=0的解的是（ ）
{x=1) {x=1) { x=1 ) {x=−1)
A． B． C． D．
y=1 y=2 y=−1 y=2
{x=−1)
3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若 是二元一次方程2x+3 y=7的一个解，则a=（ ）
y=a
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）下列四对数值，是二元一次方程x−y+1=0的解的是（ ）
{ x=0 ) {x=0) {x=1) {x=2)
A． B． C． D．
y=−1 y=0 y=2 y=1{ x=2 )
5．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若 是二元一次方程x+ay=5的一组解，则a的值为 ．
y=−1
四、二元一次方程组的解
1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知{ x=1
,
{x=2
,
{x=3)))是二元一次方程
x−y=2
的三个解，
y=−1 y=0 y=1
{x=−1
,
{x=1))
,
{x=3)是二元一次方程
x+2y=5
的三个解，则二元一次方程组{x−y=2 )的解是
y=3 y=2 y=1 x+2y=5
（ ）
{ x=1 ) {x=1) {x=3) {x=−1)
A． B． C． D．
y=−1 y=2 y=1 y=3
{x=−1) {x=1) {x=3)
2．（24-25八年级上·北京·期末）已知 ， ， 是二元一次方程2x−y=0的三个解，
y=−2 y=2 y=6
{x=−1) {x=1) {x=3) {2x−y=0)
， ， 是二元一次方程x+2y=5的三个解，则二元一次方程组 的解是
y=3 y=2 y=1 x+2y=5
（ ）
{x=−1) {x=1) {x=−1) {x=3)
A． B． C． D．
y=−2 y=2 y=3 y=1
{x=1)
3．（22-23七年级下·山东济宁·期末）解为 的方程组是（ ）
y=2
{x−y=1 ) {x−y=−1 ) { x−y=3 ) {x−y=−1)
A． B． C． D．
3x+ y=5 3x+ y=−5 3x−y=1 3x+ y=5
4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的二元一次方程a x+b y=c 的部分解如表1，关于
1 1 1
的二元一次方程 的部分解如表 ，则关于 的二元一次方程组{a x+b y=c )的
x，y a x+b y=c 2 x，y 1 1 1
2 2 2 a x+b y=c
2 2 2
解是 ．
表1
x ⋯ −1 −2 5 8 11 ⋯
y ⋯ −19 −12 −5 2 9 ⋯表2
x ⋯ −1 2 5 8 11 ⋯
y ⋯ −70 −46 −22 2 26 ⋯
五、已知二元一次方程组的解求参数
{x−ay=4)
1．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ，小颖在解这个方程组
bx+ y=3
{x=2)
时误将系数a前面的“−”抄成了“+”，解得 ，则5a−3b的值为（ ）
y=5
A．5 B．2 C．0 D．-1
{2x+ y=■) { x=2 )
2．（24-25七年级下·新疆和田·阶段练习）已知方程组 的解为 ，则■，▲分别为
x+ y=3 y=▲
（ ）
A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4
{ x=1 ) {3x+ay=5 )
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若 是方程组 的解，则a+b的值是 ．
y=−2 2bx+2y=2
{3x−ay=16) {x=7)
4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x,y的方程组 的解是 ，则ab=
2x+by=15 y=1
．
{ x+ y=1 ) {x=2)
5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则
2x−y=a y=b
ba= ．
六、根据实际问题列二元一次方程组
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒
底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好
配套制作糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（ ）
{x+ y=45) { x+ y=45 )
A． B．
y=2x 30x=2×40 y{
x+ y=45
)
{x+ y=45
)
C． 40 y D． 2x y
30x= =
2 30 40
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产
桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天
只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（ ）
{
x+ y=25
)
{x+ y=25
) { x+ y=25 )
A． x y B． 17x C． D．
=4× =4 4×17x=32y
17 32 32y
{ x+ y=25 )
17x=4×32y
3．（24-25七年级下·河南漯河·期末）《算法统宗》中有这样一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知
银，七两分之多四两，九两分之少半斤（注：这里1斤=16两）．敢请诸君算一算，多少客人多少银”．
译文：“隔墙听见有几位客人分银子，每人分得7两时，多余4两，每人分得9两时，还缺8两．问客人
和银子各是多少？”设客人有x人，银子是y两，可列方程组为（ ）
{7x−4= y) {9x−8= y) {9x−y=8) {9x−8= y)
A． B． C． D．
9x+8= y 7x−4= y 7x= y+4 7x= y−4
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）一辆汽车从A地驶往B地，前三分之一路段为普通公路，其余路段为
高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A
地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为 ．
七、根据几何图形列二元一次方程组
1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，
小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将
其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知BE=3EF，求底边EF和AE的长．
设EF=x，AE= y，则可以列方程组为（ ）{3x+3 y=30) { y=2x ) {3x+ y=30) {3x+ y=30 )
A． B． C． D．
x+ y=30 2x+2y=30 x=3 y 2x+2y=30
2．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，
中间最小的正方形边长为2．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的
二元一次方程组为（ ）
{2(y−2)=x+2) {y−2=x+2)
A． B．
y+2=x−2 y+2=x−2
{2(y+2)=x+2) {2(y−2)=x+2)
C． D．
y−2=x+2 y=x−2
3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已
知大长方形的周长为2a，则小长方形的周长为（ ）
1 3 2 4
A． a B． a C． a D． a
10 10 5 5
4．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5
个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，
下列方程组正确的是（ ）{x+2y=20) {x+2y=20) {x+2y=20) {x+2y=20)
A． B． C． D．
4x=15 4 y=15 3 y=x x+ y=15
{ x=2 )
1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若 是方程mx+ y=5的一组解，则m的值为（ ）
y=−1
A．−3 B．1 C．2 D．3
2．（24-25七年级下·福建福州·期末）为打造福州西湖公园风光带，现有一段长为160米的人行步道修建
任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建10米，共
用时20天，设A工程小组修建人行步道x米，B工程小组修建人行步道y米，依题意可列方程组（ ）
{ x+ y=20 ) { x+ y=20 )
A． B．
12x+10 y=160 10x+12y=160
{
x+ y=160
) {
x+ y=160
)
C． x y D． x y
+ =20 + =20
10 12 12 10
3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）将50名学生分成4人或6人的学习小组，随着分配方案的不同，4
人组可能有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了
多元一次方程正整数解问题．如：方程x+ y=2的正整数解有1个，方程x+ y=3的正整数解有2个，方程
x+ y=4的正整数解有3个，⋯， 那么方程x+ y+z=8的正整数解的个数是（ ）
A．7 B．21 C．22 D．23
{x=2)
5．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为 的二元一次方程组为 ．
y=1
6．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）某公司用10000元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货
物的利润是15%，乙种货物的利润是20%，共获得利润1700元.设购进甲、乙两种货物分别花费了x元，y
元，根据题意列方程组为 .
7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若将关于x、y的二元一次方程变形为y=ax+b的形式（a、
b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为(a,b)．例如：将二元一
1 1 (1 1)
次方程x−2y=1变形为y= x− ，则二元一次方程x−2y=1的“相伴系数对”为 ,− ．
2 2 2 2
(1)二元一次方程2x+ y=1的“相伴系数对”为______；{ x=3 )
(2)已知一个关于x、y的二元一次方程的解为 ，且该方程的“相伴系数对”为(k,k+3)，写出这个
y=15
二元一次方程为______．
8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某班级恰好用200元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本5元，笔
每支3元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本x本，笔y支（x、y均为正整数）．
(1)求写出x、y的关系式；
(2)求出所有可能的购买方案；
(3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由．
9．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若一个三位数m，百位数字是a，十位数字比百位数字大1，个位数
字比十位数字大1． 另有一个三位数n，百位数字为b，十位数字比百位数字小2，个位数字比十位数字小
2． 若p=m+n（1
