文档文本内容
4.3 一次函数函数的图象
第2课时 一次函数的图象与性质
1. 能准确画出一次函数的图象，理解一次函数图象是一条直线，并能熟练确定直线与坐标轴的交点坐标.
2. 理解一次函数y=k x+b中k、b的值对图象的影响，掌握k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴交点位
置的规律.
3. 掌握一次函数图象与正比例函数图象的关系，理解一次函数图象可由正比例函数图象平移得到.
学习重点：理解函数图象的概念，突掌握作函数图象的一般步骤.
学习难点：掌握一次函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.正比例函数 (k≠0) 的图象是：经过原点和 ( 1 ， k )的一条直线.
2.性质是：当k＞0， y 随 x 的增大而增大 ；当k＜0， y 随 x 的增大而减小 .
新知自研：自研课本P91-P92页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
正比例函数y=k x的图象是一条过原点的直线，一次函数：y=k x+b，多了一个常数项b,b对图象有什么影
响？
●探究一：一次函数的图象
在同一直角坐标系中，画出函数y=2x和y=2x+1的图象.
◆1.用描点法画图象：
①列表
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y=2x … ﹣4 ﹣ 2 0 2 4 …
y=2x+1 … ﹣ 3 ﹣1 1 3 5 …②描点并连线.(在下面的坐标系中作图)
◆2.由图象思考：
① y=2x+1图象是一条直线.
②这两个函数图象有什么关系？
（可从形状和位置观察） 都是直线且平行
③由y=2x的图象如何得到y=2x+1的图象？
y=2x+ 1 的图象是由 y=2x 向上平移 1 个单位得到因为 y=2x 过 (0,0), y=2x+ 1 过 (0,1)
④推广：y = k x + b与y= k x的图象有什么关系？
(两个函数的k值相等时，有什么意义？)
两函数图象平行， y = k x + b 的图象可由 y = k x 的图象上下平移 + b 个单位得到（ b > 0 向上， b < 0 向
下 )
◆3.探究归纳
b
★1、一次函数y= k x + b的图象是一条直线，只要过两个点，确定这条直线，一般取（0，b）和（- ，
k
0）或(1, k + b ).
★2、一次函数y= k x + b与正比例函数y= k x 的图象平行，y= k x + b的图象可由y= k x的图象上下
平移b个单位得到（b>0向上，b<0向下).
★3、一次函数y= k x + b的图象也称为直线y= k x+ b.
思考：一次函数的图象与k,b有什么关系呢？
一次函数 y = k x + b 的图象由 k 和 b 的值决定 .★4、结合图象确定k,b的取值和图象所经过的象限.（完成下表的空）
图象
k，b的符号 k＞0，b＞0 k ＞ 0 ， b ＜ 0 k ＜ 0 ， b ＞ 0 k ＜ 0 ， b ＜ 0
经过的象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
●探究二：一次函数的性质
画一画：画出一次函数 y＝3x＋1,y＝－x＋1, y＝3x－2,y＝4x－3 的图象.
◆1.思考：(1)哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而增大?哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而减小?
① y ＝ 3 x ＋ 1 ， y ＝ 3 x － 2 和 y ＝ 4 x － 3 ， y 随着 x 的增大而增大，图象由左到右是逐渐上升的 .
② y ＝－ x ＋ 1 ， y 随着 x 的增大而减小，图象由左到右是逐渐下降的 .
你能得出什么结论？(提示：k 决定函数的增减性.)
★结论：在一次函数 y＝k x＋b 中，
当 k ＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k ＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
(2)随着 x 值的增大，y 的值增大速度最快的函数是哪个?
y ＝ 4 x － 3 .
★结论:|k|越大，函数图象越陡峭.
(3)哪两个函数的图象相互平行?
一次函数 y ＝ 3 x ＋ 1 和一次函数 y ＝ 3 x － 2 的图象相互平行 .
★结论：k的值相同的两个一次函数图象平行.
(4)图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些?
一次函数 y = 3 x ＋ 1 和一次函数 y ＝ - x ＋ 1 的图象与 y 轴相交于同一点 (0,1) .
★结论：一次函数y＝k x＋b的图象经过点(0,b).
◆2.总结归纳对于一次函数y＝k x＋b的性质，你有哪些结论?
①当 k ＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k ＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
②|k|越大，函数图象越陡峭.
③k的值相同的两个一次函数图象平行.
④一次函数 y＝k x＋b 的图象经过点(0,b).
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：正比例函数y=k x(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x﹣k的图象大致是（ B ）
【分析】根据𝑘，𝑏决定一次函数𝑦= + 的图象所在的象限即可解答.
【解答】由正比例函数的性质可得出𝑘𝑥𝑘𝑏＞0，进而可得出−𝑘＜0，由1＞0，−𝑘＜0利用一次函数图象与系数
的关系，可找出一次函数𝑦= 的图象经过第一、三、四象限.
例2：若直线y=3x向上平移𝑥2−个𝑘单位长度后过 (m, )，求 m 的值．
【分析】根据一次函数图像的平移的规则是：P“上加−4下减”先求出平移后直线表达式为 y= 3 x + 2，然后再带
入P点的纵坐标的值即可求出m的值.
【解答】直线y=3x向上平移2个单位长度，平移后的解析式为y=3x+2，
又因为平移后的直线过点P(m,-4)，
所以-4=3m+2，
解得m=-2，
例2：已知一次函数y＝（1﹣m）x＋2m﹣3，
（1）若函数图像经过原点，求m的值；
（2）若函数图像平行于y＝2x﹣3，求这个函数的表达式．
【分析】（1）根据图象经过原点，可得 b =0 即可解答.
（2）由两个一次函数图像平行时，可得k的值相等，从而列出方程求解即可解答.【解答】（1）∵函数图像经过原点，∴2m﹣3＝0，
解得m＝1.5；
（2）∵函数图像平行于直线y＝2x﹣3， ∴1﹣m＝2，
解得m＝﹣1，
∴这个函数的表达式为y＝2x﹣5．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨一次函数图象的特征，总结一次函数图象的画法和性质；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1. 一次函数 y＝－2x＋4 的图象与 y 轴的交点坐标是（ D ）
A. （0，2） B. （4，0） C. （2，0） D. （0，4）
2. P(3，y)，P(4，y)是一次函数y=﹣0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( A )
1 1 2 2
A.y ＞y B. y=y C.y ＜y D.不确定
1 2 1 2 1 2
3．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若一次函数𝑦= + 的图像由直线𝑦= （𝑘>0）向上平移3个单位长度得到，
则一次函数𝑦= + 的图像经过的象限是第一、𝑘𝑥二𝑏、三象限 ． 𝑘𝑥
4、不画图象，𝑘仅𝑥 从𝑏函数解析式能否看出直线𝑦=3 +4与𝑦=3 −4具有什么样的位置关系？
平行 𝑥 𝑥
解析：一次函数图象的位置关系，做题的关键是注意k和b的值.
5、在同一直角坐标系中，画出函数y=2x+4与y=﹣2x+4的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变
化．函数𝑦=2 +4与两个坐标轴的交点为（﹣2，0）,（0，4）
=−2 +4𝑥与两个坐标轴的交点为（2，0）,（0，4）．
𝑦=2 +𝑥4中y随x增大而增大，𝑦=−2 +4中y随x增大而减小．
𝑦6. 已𝑥 知一次函数y＝(3m﹣8)x＋1﹣𝑥m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整
数，求m的值.
{3m−8<0
解: 由题意得：
1−m<0
8
解得：1<m< .
3
又∵m为整数,
m＝2
∴
题型一： 画一次函数的图象
1．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
2．在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象．
（1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4．【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，
再画出图象即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4，
当y＝﹣2时，x＝2，
因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）；
（2）当x＝0时，y＝0+4＝4，
当y＝﹣2时，x＝﹣2，
因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）；
如图所示：
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法．
3．已知函数y＝﹣2x+4．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标．
【分析】（1）根据描点法画出图象即可；（2）将x＝0，代入y＝﹣2x+4，求出y的值，即得出这个函数的图象与y轴的交点；将y＝0，代入y＝﹣
2x+4，求出x的值，即得出这个函数的图象与x轴的交点；
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣2+4＝2，
当x＝2时，y＝﹣2×2+4＝0．
∴画出这个函数的图象如下：
（2）当x＝0时，y＝4，
∴这个函数的图象与y轴的交点为（0，4）；
当y＝0时，即0＝﹣2x+4，
解得：x＝2，
∴这个函数的图象与x轴的交点为（2，0）．
【点评】本题考查画一次函数图象，求一次函数图象与坐标轴的交点．注意一次函数图象是一条直线是
解题关键．
4．已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数．
（1）求m的值；
（2）在如图中画出该函数图象；
（3）y的值随x的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；
（2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可；
（3）根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得
{ m−2≠0 )
，
|m−1|=1
解得m＝0，
函数解析式为y＝﹣2x+4，
（2）∵y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0，
过（0，4）和（2，0）画一条直线即可，
〇
（3）∵k＝﹣2，
∴y的值随x的值的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量
次数为1．题型二： 一次函数的图象的位置与系数的关系
5．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围．
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关
键．
6．一次函数y＝（k﹣1）x﹣b的图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．k＞1，b＞0 B．k＜1，b＞0 C．k＞1，b＜0 D．k＜1，b＜0
【分析】先根据函数图象得出其经过的象限，由一次函数图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣b的图象经过二、三、四象限，
∴k﹣1＜0，﹣b＜0．
解得：k＜1，b＞0
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时
函数的图象经过二、三、四象限．
7．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可．
【解答】解：因为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，
所以k＜0，
所以一次函数y＝x+k的图象经过一、三、四象限，
故选：B．
【点评】此题考查正比例函数的图象，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围．
8．一次函数y＝kx﹣k（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝﹣kx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以写出一次函数 y＝kx﹣k（k为常数，k≠0）与正
比例函数y＝﹣kx的图象经过的象限，然后对照选项，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，正比例函数y＝﹣
kx的图象经过第二、四象限且经过原点；
当k＜0时，﹣k＞0，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，正比例函数y＝﹣kx的图象经
过第一、三象限且经过原点，故选项A符合题意；
由上可得，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型三： 一次函数的图象的位置与系数的关系
9．一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位长度而得到
B．向左平移1个单位长度而得到
C．向右平移1个单位长度而得到
D．向下平移1个单位长度而得到
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析
式为：y＝2x+1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（
）
A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0）
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．点（﹣2，1）在函数图象上
D．若A（x ，y ），B（x ，y ）两点在该函数图象上，且x ＜x ，则y ＞y
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出函数解析式，再逐一分析即可．
【解答】解：将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝2x+3，
A．x＝0时，y＝x+3＝3，直线y＝2x+3与y轴交于（0，3），错误；
B．直线y＝2x+3经过第一、二、三象限，正确；
C．x＝﹣2时，y＝2x+3＝﹣1，点（﹣2，﹣1）在函数图象上y，错误；
D．k＝2＞0，直线y＝2x+3随x的增大而增大，
若A（x ，y ），B（x ，y ）两点在该函数图象上，且x ＜x ，则y ＜y ，错误．
1 1 2 2 1 2 1 2
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象的几何变换和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
11．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，则平移后的直线表达式为
．
【分析】根据一次函数平移规律“上加下减”得出即可．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，则平移后的直线表达式为：y＝﹣2x+2．故答案为：y＝﹣2x+2．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的
新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 ．
【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，
即y＝3x+3，
∵平移后的直线与x轴交于（m，0），
∴0＝3m+3，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律
是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
题型四： 利用一次函数的性质解决问题
13．已知一次函数y＝（k﹣2）x+3，若y随x的增大而增大，则k的值可能是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．3
【分析】利用一次函数的性质，可得出k﹣2＞0，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+3，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2，
∴k的值可能是3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x都增大而减小”
是解题的关键．
14．若直线y＝kx+2（k是常数，k≠0）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】由一次函数图象经过第一、二、三象限，可知k＞0，在范围内确定k的值即可．
【解答】解：因为直线y＝kx+2（k是常数，k≠0）经过第一、二、三象限，
所以k＞0，
所以k可以取1，故选：D．
【点评】此题考查一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，
常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围．
1
15．点A（﹣1，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）在一次函数y= x+m（m是常数）的图象上，则y ，
1 2 3 1
2
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 1 3 1 2 3 2 3 1 3 2 1
1
【分析】由k= ＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合﹣2＜﹣1＜3，即可得
2
出y ＜y ＜y ．
2 1 3
1
【解答】解：∵k= ＞0，
2
∴y随x的增大而增大，
1
又∵点A（﹣1，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）在一次函数y= x+m（m是常数）的图象上，且﹣2
1 2 3
2
＜﹣1＜3，
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是
解题的关键．
16．已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求：
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
（4）图象能否过第一、二、三象限？
【分析】（1）当y随x的增大而减少时，4+2m＜0，解得即可得出结论；
（2）函数图象与y轴的交点在x轴下方时，m﹣4＜0，4+2m≠0，解得即可得出结论；
{4+2m＞0)
（3）图象经过第一、三、四象限时， ，解得即可得出结论；
m−4＜0
{4+2m＞0①)
（4）图象经过第一、二、三象限时， ，解得即可得出结论．
m−4＞0②
【解答】解：（1）依题意得：4+2m＜0，
解得m＜﹣2；（2）依题意得：m﹣4＜0，4+2m≠0，
解得m＜4且m≠﹣2；
{4+2m＞0)
（3）依题意得： ，
m−4＜0
解得﹣2＜m＜4．
{4+2m＞0①)
（4）若图象过第一、二、三象限，则 ，
m−4＞0②
解得m＞4，
故当m＞4时，图象能过第一、二、三象限．
【点评】考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数y＝kx+b的性质．当k＞0，y随x的增大
而增大，图象一定过第一、三象限；当k＜0，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当b＞0，
图象与y轴的交点在x轴上方；当b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方．
题型五：利用一次函数的平移
17．将直线y＝3x﹣1平移后，得到直线y＝3x+6，则原直线（ ）
A．沿y轴向上平移了7个单位
B．沿y轴向下平移了7个单位
C．沿x轴向左平移了7个单位
D．沿x轴向右平移了7个单位
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：将直线y＝3x﹣1沿y轴向上平移了7个单位得到直线y＝3x+6，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求解．
18．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位，
那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝2x+1﹣5，即y＝2x﹣4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
19．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
后经过点（﹣1，0），则b的值为（ ）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点
一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，
0+2），即（2，2），
由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上，
∴2＝2×2+b，
∴b＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是
解题的关键．
20．已知平面直角坐标系如图所示：
（1）画出函数y＝2x+1的图象；
（2）写一条关于这个一次函数图象的性质： ；
（3）把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是 ．
【分析】（1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图象；
（2）根据一次函数的性质即可求解；
（3）根据一次函数的平移性质即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，（2）函数图象的增减性，y随x的增大而增大，
故答案为：y随x的增大而增大；
（3）由一次函数的平移性质可知，把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到y＝2x+1﹣1，即y＝2x，
故答案为：y＝2x．
【点评】本题考查了一次函数图象及性质，一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解
题的关键．
▲1．当 k ＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k ＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
▲2．|k|越大，函数图象越陡峭.
▲3．k的值相同的两个一次函数图象平行.
▲4．一次函数 y＝k x＋b 的图象经过点(0,b).
