文档内容
4.3.1 一次函数的图象（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函
数”4.3.1 一次函数图象第1课时，主要内容包括：正比例函数的图象与性质.通过具体实例，引导学生
经历画正比例函数图象的过程，探索并理解正比例函数图象的特点和性质．
2.内容解析
函数是数学中重要的概念，而正比例函数作为一种简单且特殊的函数，是学习其他函数的基础.理解正
比例函数的图象与性质，有助于学生进一步体会函数的数形结合思想，为后续学习一次函数及其他函数奠
定基础.从知识的前后联系来看，学生已学习了函数的概念和表达式，本节课在此基础上，深入研究正比例
函数的图象与性质，是对函数知识的深化和拓展.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 正比例函数的图象特点和性质.
1.教学目标
（1）了解函数图象的定义，能熟练画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象和性质.
（2）经历画正比例函数图象的过程，体会列表、描点、连线的画图方法，发展学生的动手操作能力
和数形结合思想；通过观察、比较、归纳等活动，探索正比例函数的性质，培养学生的观察能力、分析能
力和归纳总结能力.
（3）在探究活动中，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的信心，培养学生勇于探索、合作交流
的精神.
2.目标解析
（1）学生需要明确函数图象的定义，通过实际操作掌握画正比例函数图象的步骤，并能准确描述正
比例函数的图象特点和性质.
（2）学生要在画图和探究性质的过程中，学会运用数学方法解决问题，提高数学思维能力.
（3）在课堂中营造积极的学习氛围，鼓励学生积极参与，培养学生良好的学习态度和合作精神 .
1. 已有知识及掌握情况：八年级学生在之前的学习中，已经掌握了平面直角坐标系的相关知识，了
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1解函数的概念和表达式，对一次函数也有了初步的认识，这些知识为学习正比例函数的图象与性质奠定了
基础.但对于函数图象的理解，学生可能还停留在直观的层面，对于如何通过图象来研究函数的性质，还需
要进一步的引导和学习.
2. 预估教学困难：在教学过程中，学生可能难以理解画函数图象的意义以及列表时自变量取值的合
理性；对于正比例函数性质的探索，特别是k的正负对函数增减性的影响，学生可能理解不够深刻.
3. 解决困难的办法：通过具体的实例和动画演示，让学生直观地感受函数图象的形成过程，理解列
表取值的目的；组织小组合作探究活动，让学生在交流讨论中深化对正比例函数性质的理解，教师给予适
时的指导和启发.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索正比例函数图象的特点和性质，理解k的取值对函数
图象和性质的影响.
1.情境导入
汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶路程y（千米）与时间x（小时）的关系是怎样的？
它是一次函数吗？它是正比例函数吗？
解析：是一次函数，也是正比例函数
则y与x的关系式：y = 60x
我们已经知道可以用关系式表示两个变量之间的关系，那么能不能用一种更直观的方式来表示呢？
图象法
（设计意图：从生活实际出发，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，同时通过实
际问题抽象出一次函数表达式，培养学生的数学建模能力）
（教学建议：展示的实际问题要贴近学生生活，简单易懂，引导学生积极思考，鼓励学生自己列出函数关
系式）
探究点1 正比例函数的图象
函数图象的概念：
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描
出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
(摩天轮上一点的高度 h 与旋转时间 t 之间的函数图象)
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2你能根据函数表达式画出图象吗?
画出正比例函数y=2x的图象，并观察它的形状.
(1)选取自变量的值，用表格表示（选取自变量 x 的哪些值呢?用什么将这些值表示出来？）
① 列表
(2)以你所列表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗?
画正比例函数图象的一般步骤：（知识归纳）：
1．列表 2.描点 3.连线
根据这个步骤,在同一坐标系内画出函数y=-3x的图象,并观察图象有什么特征？
(1)如图所示：
(2)函数 y＝2x 和 y＝－3x 图象的共同特点：
函数图象都经过原点(0，0)；函数图象都是一条直线.
观察：k的值不同时，图象分别经过哪些象限？
K>0,图象经过一、三象限；K<0,图象经过二、四象限
归纳总结：
（1）正比例函数 y=kx (k≠0)的图象是一条经过原点（0,0）的直线.
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了.
（ 2 ）
（设计意图：让学生亲身体验一次函数图象的绘制过程，掌握画图方法，培养学生的动手能力和操作技
能）.
（教学建议：教师示范时，要边讲解边操作，强调每个步骤的要点，如自变量取值要具有代表性，描点要
准确，连线要用直尺且要平滑等；学生练习时，教师要关注学生的画图情况，对有困难的学生进行个别指
导）.
探究点2 正比例函数图象的性质
画一画:在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝x,y＝3x, y＝－1/2x 和 y＝－4x 的图象.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3这四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何？
① 直线 y＝－1/2x，y＝－4x 向右逐渐 下降 ，即 y 的值随 x 的增大而 减小
② 直线 y＝x，y＝3x 向右逐渐 上升 ，即 y 的值随 x 的增大而 增大
正比例函数y＝kx中，（1）当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
（2）当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小
思考·交流
(1)正比例函数 y＝x 和 y＝3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说
明其中的道理吗？
通过观察左图的函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y＝3x 的函数值都是 y＝x 的3倍，并且
随着 x 的增加，y ＝3x 的函数值增长速度更快.
（2）正比例函数 y＝－1/2x 和 y＝－4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更
快？你是如何判断的？
观察右图函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y＝－4x 的函数值都是 y＝－1/2x 的8倍，并且
随着 x 的增加，y＝－4x 的函数值减小速度更快.
正比例函数图象的性质（知识归纳）：
当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大
当k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小
当 |K|越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快.
（设计意图：通过观察、思考、讨论等活动，让学生自主探究一次函数的性质，培养学生的观察能力、分
析能力、合作交流能力和归纳总结能力，体会数形结合思想.）
（教学建议：多媒体演示要直观、清晰，让学生能够清楚地看到图象的变化；小组讨论时，教师要参与到
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4小组中，倾听学生的发言，引导学生深入思考，鼓励学生发表不同的见解．）
典例分析
例1 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k x,y=k x和y=k x的图象如图所示，则k,k,k 的大小关
1 2 3 1 2 3
系是 k>k>k． ．（用“>”连接）
3 2 1
（k决定正比例函数y=kx的图象倾斜情况）
解析：由直线经过的象限知：k>0,k<0,k<0，
3 1 2
∵根据直线越陡，|k|越大，
∴|k |>|k|，
1 2
∴k>k>k，
3 2 1
2
(5-m )
例2 已知正比例函数y=(m-1)x 的图象在第二、第四象限，则m的值为 - 2
提示：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1
解：∵函数y=(m-1)x (5-m2 )是正比例函数，
∴5-m2=1，m-1≠0，
解得：m=±2，
∵图象在第二、第四象限，
∴m-1<0，解得m<1，
∴m=-2．
例3 已知关于x的正比例函数y=(m-3)x．
(1)当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？
(3)当m取何值时，点(1,3)在该函数图象上？
提示：要求熟练掌握正比例函数图象与性质
解（1）∵函数图象经过第一、三象限，∴m-3>0，∴m>3，
∴当m>3时，函数图象经过第一、三象限．
（2）∵y的值随着x值的增大而减小，∴m-3<0，∴m<3，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5∴当m<3时，y的值随着x值的增大而减小．
（3）将点(1,3)代入y=(m-3)x得3=(m-3)×1，解得：m=6，
∴当m=6时，点(1,3)在该函数图象上．
（设计意图：让学生巩固正比例函数y = kx中k对函数图象的影响（包括图象经过的象限以及直线陡峭程
度与|k|的关系），深化对正比例函数性质的理解，能根据图象准确判断k值的大小关系；将问题“的图象
在第二、第四象限，求m的值”拆解为两个部分：一是根据正比例函数定义确定 m的可能取值；二是根据
图象所在象限（第二、第四象限）确定m的最终取值.逐步引导学生分析，降低问题难度；梳理每个问题所
运用的正比例函数性质，帮助学生建立知识体系.）
（教学建议：在讲解完三个例题后，引导学生对比例 1和例2，明确例1是根据图象分析k的关系，属于
“由形到数”；例2是根据函数定义和性质求参数，属于“由数到形（性质）”，帮助学生建立“数”与
“形”之间的联系.）
1.已知正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限.则（A ）
A. y 随 x 的增大而增大 B. y 随 x 的增大而减小
C. 当 x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0时，y 随 x 的增大而减小.
D. 无论 x 如何变化，y 不变.
2. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是（ B ）
A k=k B k>k C k0，故解得k>-1.
（2）若函数图象经过点（2，4），则k等于多少？
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6得4=(k+1)·2，解得k=1.
设计意图：通过练习，巩固学生对一次函数图象和性质的理解和掌握，及时发现学生存在的问题，进
行针对性的辅导, 练习题目要由易到难，逐步加深学生对知识的理解；对于学生的回答，教师要及时给予
评价，肯定正确的回答，纠正错误的回答，并分析错误原因.
设计意图：帮助学生梳理知识，形成知识体系，加深对本节课内容的理解和记忆, 以提问学生、教师
补充的方式进行小结，让学生积极参与总结.
1.必做题：习题4.3 第1题(1)、（2）、（3），第2题，第3题
2.探究性作业：习题4.3 第7题.
4.3.1一次函数的图象与性质
1. 画正比例函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线
2. 图象：经过原点的直线.
当 k ＞ 0 时，经过第一、三象限；
当 k ＜ 0 时，经过第二、四象限.
3．性质：
当 k ＞ 0 时，y的值随x值的增大而增大；
当 k ＜ 0 时，y的值随x值的增大而减小.
当|K|越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴
3. 核心思想：函数思想、数形结合思想.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 74. 例题区：（学生板演区域）
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