文档内容
4.2 认识一次函数
第2课时 一次函数与正比例函数
1．理解一次函数和正比例函数的概念，能识别并写出一次函数和正比例函数的解析式.
2．能根据所给条件，确定简单实际问题中一次函数（特别是正比例函数）的表达式.
3．经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，体会数学建模和分类讨论的思想.
学习重点：掌握一次函数和正比例函数的概念；根据所给条件写出简单的一次函数关系式.
学习难点：一次函数与正比例函数的区别与联系；从实际问题中抽象出函数模型.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.函数的概念是什么？
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值
与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 ，其中x是自变量.
2.函数的表示方法有哪些？
图象法、列表法、关系式法 .
新知自研：自研课本P81-P82页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
在弹簧限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物品的质量x(单位：kg)的关系如下表所示:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
(1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀的吗？
随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是均匀 .
（2）你能写出y与x之间的关系吗？并说明理由.
【分析】因为所挂物品每增加1kg,弹簧长度都增长0.5cm.
又因为弹簧长度y=初始长度+单位质量增长的长度.所以y= 0.5 x + 3，y是x的函数.
●探究一：认识一次函数的现象(一)
◆1.某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km
0 50 100 150 200 300
耗油量
0 4 8 12 16 24
y/L
(2) 你能写出y与x的关系吗?
4 4
【解答】：每行驶1km耗油 L ，所以y与x的关系式为： y = x .
50 50
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
【解答】：油箱剩余油量z(L)等于 原有油量 - 行驶 x km 耗油量 y.
4
所以z与x之间的关系式为： z = 40 － x .
50
4 4
◆2.思考 ：在上面的情境中，我们得到：y=0.5x + 3， y = x， z = 40－ x他们有什么共同的特
50 50
征？
共同特征：（1）都是含有两个变量的等式；（2）变量的次数都是一次；（3）自变量x的系数 都不为 0；
◆3.总结归纳:
▲1．一次函数的概念（知识归纳）：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成 y = k x + b ( k , b 为常数， k ≠0）的形式，那么称 y是x的
一次函数.
特别地，当 b =0 时，称 y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为 y = k x ( k ≠0）.
【注意】：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“ 均匀 ”的.
▲2. 确定一次函数关系式的步骤（知识归纳）：
(1)确定变量，明确 自变量 x 与因变量y；
(2)寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系;
(3)将等式变形，写成一次函数的一般形式.
【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
【解析】由路程=速度×时间，则 y=60 x ,
则 y 是 x 的 一次函数 , 也是 x 的正比例函数 .
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
【解析】由圆的面积公式，得y=πx² .
则 y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数 .
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
【解析】这个水池每时增加5m3水，x h增加 5x m 3 水，
因而 y = 5 x +15, y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .
例2: 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35km/h.
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位km/h）与刹车后所经过的时
间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义：
【解析】刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1 s其速度减少35km/h,
于是经过t s汽车的速度减少 35 t km/h,所以y与t的关系式是 y = -3 5 t +12 0 ,
其中，k=-35 表示每秒汽车速度的变化量，b=120 表示刹车开始时汽车的速度.
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间.
【解析】汽车停止时速度y= 0 ,
列方程得： 0 = -3 5 t +12 0,
24
解得： t = ≈ 3.4 3 s.
7
因此，该汽车从刹车到停止所需时间大约为 3.4 3 s.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨一次函数与正比例函数的特征，总结一次函数和正比例函数的定义；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.下列函数中，y是x的一次函数的是（ B ）
2 8
① y=x﹣6 ② y = ③ y = ④y=7﹣x
x x
A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
2.在函数y=(m﹣2)x+(m2-4)中，当 m ≠ 2 时，y是x的一次函数；当m = ﹣ 2 时，y时x的正比例函数.
3.某种大米单价是3.8元/kg,当购买x kg大米时，需要花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数
吗？
【解答】解：由总价=单价×数量，得出y=2.2x；
那么y是x的一次函数，y也是x的正比例函数.
4.如图，甲、乙两地相距500km，一列”复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h 的速度向丙地行驶.
设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离.
(1) 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
【解答】：解：根据题意得y=350x+500，
则y是x的一次函数．
(2)当x=0.5时，求y的值.
当x=0.5时，y=350×0.5+500=675 （km/h).
题型一：一次函数的概念
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
1
A．|y|= B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2）
x
【分析】利用一次函数的定义“一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数”，
逐一分析四个选项的函数，即可得出结论．
1
【解答】解：A．|y|= ，不是一次函数，选项A不符合题意；
x
B．y＝2，不是一次函数，选项B不符合题意；
C．y＝x+x2，不是一次函数，选项C不符合题意；D．y＝3（x﹣2），是一次函数，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
2．下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（ ）
1
A．y＝2x2+4 B．y= +2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b
x
【分析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解．
【解答】解：A选项，y＝2x2+4是y关于x的二次函数，不符合题意；
1
B选项，y= +2，y不是x的一次函数，不符合题意；
x
C选项，y＝﹣2x+1是y关于x的一次函数，符合题意；
D选项，y＝kx+b中k的值不确定，不能判定，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键．
3．下列函数中是一次函数关系的是（ ）
2
A．y=− B．y＝x2﹣1
x
C．y＝（x﹣1）（x+2） D．y＝2x﹣1
【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行分析即可．
2
【解答】解：A．函数y=− 是反比例函数，不是一次函数，不符合题意；
x
B．函数y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，不符合题意；
C．函数y＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，不是一次函数，不符合题意；
D．函数y＝2x﹣1是一次函数，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的概念，熟记“形如y＝kx+b （k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函
数.
4．下列函数不是一次函数的是（ ）
6 x
A．y= B．y= C．y＝﹣8x D．y＝﹣0.5x﹣1
x 2
【分析】根据一次函数的一般形式：y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），逐一判断即可解答．
6
【解答】解：A、y= ，是反比例函数，故A符合题意；
xx
B、y= ，是正比例函数，也是一次函数，故B不符合题意；
2
C、y＝﹣8x，是正比例函数，也是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝﹣0.5x﹣1，是一次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
5．下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
2 1
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y= ；④y= x；⑤y=❑√x．
x 8
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
1
【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y= x，共2个，
8
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常
数项b可以为任意实数．
题型二：利用一次函数的定义求字母的值
6．若函数y＝（k+2）x+5是一次函数，则k应满足的条件为（ ）
A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k≠﹣2 D．k＝﹣2
【分析】根据一次函数定义可得k+2≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：k+2≠0，
解得：k≠﹣2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，
叫做一次函数是解题的关键．
7．若y关于x的函数 是一次函数，则m的值为（ ）
y=(m−2)xm2−3+2m−1
A．±2 B．2 C．﹣2 D．1
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0），进行列式计算，即可作答．
【解答】解：∵y关于x的函数 是一次函数，
y=(m−2)xm2−3+2m−1
∴m﹣2≠0，m2﹣3＝1，∴m≠2，m＝±2，
即m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
8．已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是 ．
【分析】根据一次函数的定义知自变量的次数为1且其系数不为0，据此求解可得．
【解答】解：y＝（m+1）x2﹣|m|+4是关于x的一次函数，
{ m+1≠0 )
∴ ，
2−|m|=1
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0）（k、b是常数）的函
数，叫做一次函数．
9．已知函数y＝（k﹣2） b是关于x的一次函数，则k的值为 ．
xk2−3+
【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2） b是关于x的一次函数，
xk2−3+
∴{k−2≠0)，
k2−3=1
∴k＝﹣2．
故答案为：k＝﹣2．
【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做
一次函数是解题的关键．
10．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得
{3−|m|=1)
，
m−2≠0解得m＝﹣2．
故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；
1
（2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x= ，
2
1
故当x= 时，y的值为3．
2
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变
量次数为1．
题型三：正比例函数的概念
11．在下列函数中是正比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝3x2+2
【分析】利用正比例函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．y＝3x﹣4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意；
B．y＝﹣2x+1为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意；
C．y＝3x是正比例函数，所以C选项符合题意；
D．y＝3x2+2为二次函数，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如 y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函
数，其中k叫做比例系数．
12．下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
【分析】根据正比例函数的定义解决此题．
【解答】解：A．设圆的半径为r，面积为S，则S＝ r2，那么S与r不是正比例关系，故A不符合题意．
B．设长方形的面积为a，长为x，宽为y，则a＝xy，π那么x与y成反比例函数关系，故B不符合题意．
C．设正方形的边长为x，周长为C，那么C＝4r，那么C与r成正比例关系，故C符合题意．
1
D．设三角形的面积为S，它的一条边长与这条边上的高分别为x与y，则S= xy，那么x与y是反比例
2
关系，故D不符合题意．故选：C．
【点评】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．
13．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
20
A．y＝4x﹣1 B．y＝5x2 C．y= D．y＝﹣6x
x
【分析】根据正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：A．y是x的一次函数，所以A选项不符合题意；
B．y是x的二次函数，所以B选项不符合题意；
C．y是x的反比例函数，所以C选项不符合题意；
D．y是x的正比例函数，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握“一般地，形如 y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正
比例函数，其中k叫做比例系数”是解题的关键．
14．下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（ ）
2
A．y＝﹣0.1x B．y= C．y＝2x2 D．y2＝4x
x
【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx，其中k≠0，k为常数）解决此题．
【解答】解：A．根据正比例函数的定义，y＝﹣0.1x是正比例函数，故A符合题意．
2
B．根据正比例函数的定义，y= 是反比例函数，不是正比例函数，故B不符合题意．
x
C．根据正比例函数的定义，y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意．
D．根据正比例函数的定义，y2＝4x不是正比例函数，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．
15．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
x 2 x−1 x2−1
A．y=− B．y=− C．y=− D．y=
2 x 2 2
【分析】根据一次函数的定义，可得答案．
【解答】解；A、是正比例函数，故A不合题意；
B、是反比例函数，故B不合题意；
C、是一次函数，故C符合题意；
D、是二次例函数，故D不合题意；
故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次
数为1．
题型四：利用正比例函数的概念求字母的值
16．（2024春•沧县期末）如果y＝x+2a﹣1是正比例函数，则a的值是（ ）
1 1
A． B．0 C．− D．﹣2
2 2
【分析】根据正比例函数的定义可知2a﹣1＝0，从而可求得a的值．
【解答】解：∵y＝x+2a﹣1是正比例函数，
∴2a﹣1＝0．
1
解得：a= ．
2
故选：A．
【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，由正比例函数的定义得到2a﹣1＝0是解题的关键．
17．若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0
【分析】根据正比例函数的定义，即可得出关于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，
{a−4≠0)
∴ ，
b=0
解得：a≠4且b＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义是解题的关键．
18．若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．
【解答】解：∵函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，
{|m|=1)
∴ ，
m+1=0
解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，根据题意得出关于m的方程组是解题的关键．
19．已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．0【分析】根据x的次数为1，系数不等于0，计算即可．
{|m−1|=1)
【解答】解：根据题意得： ，
m−2≠0
∴m＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意x的系数不等于0这个条件．
20．已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；
（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．
【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，
解得：m≠2；
（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如 y＝kx（k是常数，k≠0）的函
数叫做正比例函数．
题型五：由实际问题确定一次函数的表达式
21．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内
汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（ ）
A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价．
【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，
则0≤x≤20．
故选：B．
【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关
键．本题需注意加的汽油的取值范围．
22．如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为 xm的一部分，则剩余木板的面积
（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（ ）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10
【分析】直接表示出长方形的长与宽进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：y＝2（5﹣x）
＝10﹣2x．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数关系式，正确表示出长方形的长与宽是解题关键．
23．一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则
y与x的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 ，且y是x的 函数．
【分析】正方形的边长相等，所以等量关系为：原长+x＝原宽+y．
【解答】解：依题意有120+x＝100+y，
则y＝x+20，
x不能是负数，∴x≥0，
符合一次函数的一般形式．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值
范围．一次函数的一般形式为y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）．
24．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x＝5时，求出函数值．
【分析】（1）根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三边关系可得出x的取值范围．
（2）由（1）的关系式，代入可得出函数的值．
【解答】解：（1）由题意得：12＝2x+y
∴可得：y＝12﹣2x，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12
∴可得3＜x＜6．
（2）由（1）得：y＝12﹣2x
∴当x＝5时函数值＝2．
【点评】本题考查三角形的周长和边长的关系，属于中档题，在确定x的范围时要注意应用三角形两边之
和大于第三边，两边之差小于第三边．25．一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每
增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：
①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 cm；
②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？
③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？
【分析】（1）根据弹簧的长度加弹簧挂重物伸长的长度，可得答案；
（2）根据弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，可得函数解析式；
（3）根据函数值，可得相应自变量的值．
【解答】解：①30+2×3＝36；
故答案为：36；
②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，
设弹簧的总长度为y，则y＝2x+30，
③当y＝40时，2x+30＝40，
解得x＝5，
答：所挂重物的质量是5千克．
【点评】本题考查了函数解析式，利用了弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度．
▲1．一次函数的概念（知识归纳）：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成 y = k x + b ( k , b 为常数， k ≠0）的形式，那么称 y是x的
一次函数.
特别地，当 b =0 时，称 y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为 y = k x ( k ≠0）.
▲2. 确定一次函数关系式的步骤（知识归纳）：
(1)确定变量，明确 自变量 x 与因变量y；
(2)寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系;
(3)将等式变形，写成一次函数的一般形式.
