文档内容
4.2.2 认识一次函数（第 2 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章第二节一次
函数与正比例函数.内容包括：一次函数与正比例函数的概念，根据实际问题列出一次函数和正比例函
数关系式．
2.内容解析
函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.一次函数是最基本、最简单的函数类型，而正比例函数
又是一次函数的特例.本节课是在学生初步接触函数概念和初步感知一次函数的基础上，对这两类函数进行
正式的、结构化的定义和学习.它既是上一课时函数概念的深化应用，也是后续学习一次函数的图象、性质
以及反比例函数、二次函数的基础，起着承上启下的关键作用.解析式的确定（待定系数法的初步渗透）
和一次函数与正比例函数的区别与联系是本节课的核心.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握一次函数和正比例函数的概念；根据所给条件写出简
单的一次函数关系式.
1.教学目标
（1）理解一次函数和正比例函数的概念，能识别并写出一次函数和正比例函数的解析式.
（2）能根据所给条件，确定简单实际问题中一次函数（特别是正比例函数）的表达式.
（3）经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，体会数学建模和分类讨论的思想.
2.目标解析
（1）学生能准确判断一个函数是否为一次函数或正比例函数，能说出 y = kx + b (k≠0) 和 y = kx
(k≠0) 的结构特征，并能举例说明.
（2）面对实际问题，学生能找出其中的变量和常量，分析它们之间的数量关系，从而列出函数关系
式.
（3）在解决问题过程中，学生能够从实际问题中找出两个变量，并建立它们之间的一次函数关系，
并用函数知识解决，提高思维和应用能力，感受数学与生活的联系.已有知识及掌握情况： 学生在第一课时已经学习了函数的概念、函数的三种表示方法，并在具体实
例中初步接触了变量间的依存关系.他们具备了一定的列代数式和方程的能力，但对“函数”这一抽象概念
的理解仍处于初级阶段，从实际问题中抽象出函数模型对学生来说有一定难度，部分学生在分析数量关系、
找出变量间的对应关系时可能会遇到困难；在理解一次函数和正比例函数概念中对k，b的条件限制容易混
淆 .
1. 多引入生活中的实际例子，让学生通过小组讨论、合作交流的方式分析问题，教师给予适当引导和
提示
2. 通过对比、举例等方式帮助学生区分一次函数和正比例函数概念中的关键要素.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为： 一次函数与正比例函数的区别与联系；从实际问题中抽
象出函数模型.
温故知新
1.函数的概念是什么？
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值
与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 ，其中x是自变量.
2.函数的表示方法有哪些？
图象法、列表法、关系式法
（设计意图：复习旧知，为新知识的学习做铺垫，唤起学生对函数相关知识的记忆，使学生能更好地将新
知识与已有知识建立联系.）
（教学建议：鼓励学生积极发言，对于回答不准确或不完整的学生，给予引导和补充.）
2.情景引入
在弹簧限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物品的质量x(单位：kg)的关系如下表所示:
(1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀的吗？
(师引导学生分析表格中数据的变化)，由学生代表回答是均匀的.
(2) 你能写出y与x之间的关系吗？并说明理由.
引导分析：弹簧长度y=初始长度+单位质量增长的长度.
y=0.5x + 3，y是x的函数.因为所挂物品每增加1kg,弹簧长度都增长0.5cm.
(设计意图：从生活情景引入，激发学生的学习兴趣和求知欲望，让学生感受生活中数学的应用，同时引
出本节课要学习的一次函数和正比例函数的相关内容.)
（教学建议：引导学生仔细分析题目中的数量关系，鼓励学生大胆表达自己的思路和想法.）
某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程
0 50 100 150 200 300
x/km
耗油量
0 4 8 12 16 24
y/L
(2) 你能写出y与x的关系吗?
分析：每行驶1km耗油𝟒/ L
4
y与x的关系式𝟓𝟎为： y = x
50
(3) 你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
分析：油箱剩余油量z(L)等于原有油量减去行驶xkm耗油量y.
4
所以z与x之间的关系式为：z = 40－ x
50
4 4
在上面的情境中，我们得到：y=0.5x + 3， y = x， z = 40－ x
50 50
他们有什么共同的特征？
共同特征：（1）都是含有两个变量的等式；（2）变量的次数都是一次；（3）自变量x的系数都不为0；
师生共同总结归纳:
1．一次函数的概念（知识归纳）：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的
一次函数.
特别地，当b=0时，称 y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为y=kx (k ≠0）.
注：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“均匀”的.
2. 一次函数的步骤（知识归纳）：
(1).确定变量，明确自变量x与因变量y;
(2).寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系;
(3). 将等式变形，写成一次函数的一般形式.
（设计意图：通过具体的问题情境，让学生经历从特殊到一般的探究过程，自主归纳出一次函数和正比例
函数的概念，培养学生的观察、分析、归纳能力）.
（教学建议：在学生探究过程中，教师巡视指导，关注学生的思维过程和遇到的问题，及时给予帮助；引
导学生充分讨论，鼓励学生发表不同见解）.
典例分析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解析：由路程=速度×时间，y=60x ,则y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解析：由圆的面积公式，得y=πx2,
则 y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解析：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而y=5x+15,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
例2: 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35km/h.
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位km/h）与刹车后所经过的时
间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义：
解析：刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1 s其速度减少35km/h,
于是经过t s汽车的速度减少35t km/h,所以y与t的关系式是y=-35t+120,
其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度.
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间.
解析：汽车停止时速度y=0,
解方程0=-35t+120,得t=24/7≈3.43.
因此，该汽车从刹车到停止所需时间大约为3.43s
（设计意图：通过不同情境的关系式对比（如y=60x、y=πx²、y=5x+15），明确一次函数与正比例函数的
定义及区别，以生活场景（行程、面积、进水、刹车）为载体，培养从实际问题抽象函数关系式的能力，
体现“函数描述变量关系”的工具性, 渗透抽象思维、逻辑推理、运算能力及数学建模素养，强化“用数
学解决实际问题”的意识.）
（教学建议：结合生活实例提问（如“路程与时间的关系”“刹车速度变化”），激活学生经验，为抽象
关系式铺垫; 将例1三个表达式并列，通过小组讨论分析异同，明确一次函数“一次项、k≠0”及正比例
函数“b=0”的核心特征; 针对例2的k和b，通过“t=0时的速度”“速度增减趋势”等问题，解读其实
际含义（变化率、初始值）; 强调“找等量关系”的关键步骤（如“最终水量=原有+新增”“刹车后速度=
初始-减少量”），引导学生规范列关系式的思路．）
1.下列函数中，y是x的一次函数的是（ B ）
① ② 2 ③ 8 ④
yx6 y y y7x
x x
A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当 m ≠ 2 时，y是x的一次函数；当m =-2 时，y时x的正比例函数.
3.某种大米单价是3.8元/kg,当购买x kg大米时，需要花费为y元.y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
解析：由总价=单价×数量，得出y=2.2x；
那么y是x的一次函数，y也是x的正比例函数.
4.如图，甲、乙两地相距500km，一列”复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h 的速度向丙地行驶.
设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离.(1) 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
解析：根据题意得y=350x+500，
则y是x的一次函数．
(2)当x=0.5时，求y的值.
解析：当x=0.5时，y=350×0.5+500=675 km/h.
设计意图：及时巩固所学知识，让学生在练习中进一步掌握一次函数和正比例函数的概念，对学生的练习
情况进行及时反馈，针对学生的错误进行集中讲解和纠正.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现， 概念结构化呈现：先明确一次函数基本形
式y = kx + b（k≠0），再通过“b = 0”的特殊情况引出正比例函数y = kx（k≠0），清晰展现两者
“一般 - 特殊”的逻辑关系，帮助学生构建系统的知识框架，快速理解概念间的包含与区别; 以“函数是
一次函数”“函数是正比例函数”等分支，引导学生按“先辨一次函数，再看是否为特殊的正比例函数”
的思路，逐步分析函数类型，强化对定义的理解与应用，培养分类讨论、逻辑推理的思维习惯.
1.必做题：习题4.2 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题4.2 第5题.
4.2.2 认识一次函数（第2课时）
1．一次函数的概念：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的一
次函数.
特别地，当b=0时，称 y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为y=kx (k ≠0）.2. 一次函数的步骤：
(1).确定变量，明确自变量x与因变量y;
(2).寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系;
(3). 将等式变形，写成一次函数的一般形式.
3. 核心思想：数形结合、数学建模、 转化与化归、函数思想
4. 例题区：（学生板演区域）
