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4.2 认识一次函数
第2课时 一次函数与正比例函数
1．理解一次函数和正比例函数的概念，能识别并写出一次函数和正比例函数的解析式.
2．能根据所给条件，确定简单实际问题中一次函数（特别是正比例函数）的表达式.
3．经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，体会数学建模和分类讨论的思想.
学习重点：掌握一次函数和正比例函数的概念；根据所给条件写出简单的一次函数关系式.
学习难点：一次函数与正比例函数的区别与联系；从实际问题中抽象出函数模型.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.函数的概念是什么？
一般地，如果在一个变化过程中有 x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
与它对应，那么我们称 ，其中x是自变量.
2.函数的表示方法有哪些？
新知自研：自研课本P81-P82页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
在弹簧限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物品的质量x(单位：kg)的关系如下表所示:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
(1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀的吗？
（2）你能写出y与x之间的关系吗？并说明理由.
【分析】因为所挂物品每增加1kg,弹簧长度都增长 .
又因为弹簧长度y= +单位质量增长的长度.所以y= ，y是x的 .
●探究一：认识一次函数的现象(一)
◆1.某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km
0 50 100 150 200 300
耗油量
y/L
(2) 你能写出y与x的关系吗?
【解答】：每行驶1km耗油 ，所以y与x的关系式为： .
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
【解答】：油箱剩余油量z(L)等于 - .
所以z与x之间的关系式为： .
4 4
◆2.思考 ：在上面的情境中，我们得到：y=0.5x + 3， y = x， z = 40－ x他们有什么共同的特
50 50
征？
共同特征：（1）都是含有 变量的等式；（2）变量的次数都是 ；（3）自变量x的系数
；
◆3.总结归纳:
▲1．一次函数的概念（知识归纳）：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成 ( 为常数， ≠0）的形式，那么称
y是x的一次函数.
特别地，当 时，称 y是x的 .即正比例函数可以表示为 ( ≠0）.
【注意】：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“ ”的.
▲2. 确定一次函数关系式的步骤（知识归纳）：
(1)确定变量，明确 与因变量y；
(2)寻找 ，可以直接将公式当做等量关系;
(3)将等式变形，写成一次函数的一般形式.
【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
【解析】由路程= ×时间，则 ,
.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
【解析】由圆的面积公式，得 .
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
【解析】这个水池每时增加5m3水，x h增加 水，
例2: 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35km/h.
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位km/h）与刹车后所经过的时
间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义：
【解析】刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1 s其速度减少35km/h,
于是经过t s汽车的速度减少 km/h,所以y与t的关系式是 ,
其中，k= 表示 ，b= 表示
.
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间.
【解析】汽车停止时速度y= ,
列方程得： ,
解得： .
因此，该汽车从刹车到停止所需时间大约为 .
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨一次函数与正比例函数的特征，总结一次函数和正比例函数的定义；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
2 8
① y=x﹣6 ② y = ③ y = ④y=7﹣x
x x
A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
2.在函数y=(m﹣2)x+(m2-4)中，当 时，y是x的一次函数；当m = 时，y时x的正比
例函数.
3.某种大米单价是3.8元/kg,当购买x kg大米时，需要花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数
吗？
【解答】
4.如图，甲、乙两地相距500km，一列”复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h 的速度向丙地行驶.
设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离.
(1) 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
(2) 当x=0.5时，求y的值.题型一：一次函数的概念
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
1
A．|y|= B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（x﹣2）
x
2．下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（ ）
1
A．y＝2x2+4 B．y= +2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b
x
3．下列函数中是一次函数关系的是（ ）
2
A．y=− B．y＝x2﹣1
x
C．y＝（x﹣1）（x+2） D．y＝2x﹣1
4．下列函数不是一次函数的是（ ）
6 x
A．y= B．y= C．y＝﹣8x D．y＝﹣0.5x﹣1
x 2
5．下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
2 1
①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y= ；④y= x；⑤y=❑√x．
x 8
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：利用一次函数的定义求字母的值
6．若函数y＝（k+2）x+5是一次函数，则k应满足的条件为（ ）
A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k≠﹣2 D．k＝﹣2
7．若y关于x的函数 是一次函数，则m的值为（ ）
y=(m−2)xm2−3+2m−1
A．±2 B．2 C．﹣2 D．1
8．已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是 ．
9．已知函数y＝（k﹣2） b是关于x的一次函数，则k的值为 ．
xk2−3+
10．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？题型三：正比例函数的概念
11．在下列函数中是正比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝3x2+2
12．下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
13．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
20
A．y＝4x﹣1 B．y＝5x2 C．y= D．y＝﹣6x
x
14．下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（ ）
2
A．y＝﹣0.1x B．y= C．y＝2x2 D．y2＝4x
x
15．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
x 2 x−1 x2−1
A．y=− B．y=− C．y=− D．y=
2 x 2 2
题型四：利用正比例函数的概念求字母的值
16．（2024春•沧县期末）如果y＝x+2a﹣1是正比例函数，则a的值是（ ）
1 1
A． B．0 C．− D．﹣2
2 2
17．若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0
18．若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
19．已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．0
20．已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？题型五：由实际问题确定一次函数的表达式
21．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内
汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（ ）
A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20）
C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）
22．如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为 xm的一部分，则剩余木板的面积
（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（ ）
A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10
23．一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则
y与x的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 ，且y是x的 函数．
24．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x＝5时，求出函数值．
25．一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每
增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：
①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 cm；
②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？
③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？▲1．一次函数的概念（知识归纳）：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成 ( 为常数， ≠0）的形式，那么称
y是x的一次函数.
特别地，当 时，称 y是x的 .即正比例函数可以表示为 ( ≠0）.
▲2. 确定一次函数关系式的步骤（知识归纳）：
(1)确定变量，明确 与因变量y；
(2)寻找 ，可以直接将公式当做等量关系;
(3)将等式变形，写成一次函数的一般形式.
