文档内容
4.2.1 认识一次函数
1．经历滴漏水龙头、线香燃烧实验，精准识别变量“均匀变化”现象，能结合实验数据推导函数关系
式，初步构建一次函数的直观认知.
2． 通过实验探究、数据分析、合作交流，提升抽象概括、逻辑推理能力，深度体会数学建模思想.
学习重点：识别生活中的“均匀变化”现象.
学习难点：抽象“均匀变化”的数学本质.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P79-780页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
2020年，我国人均生活用水量：1.城镇（含公共用水）207L/d；2.农村100 L/d.
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗?先猜一猜，再设计一个方案具体估算
一下，并与同伴进行交流.
●探究一：认识一次函数的现象(一)
◆1.（1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯.每隔 1 min,记录一下量杯中
的水量，并将数据填入下表.
请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少?
（2）下表是小明通过实验得到的数据.
做一做：请根据小明的得到的数据，在坐标纸上描出（t,V）对应的点y
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 .
算一算：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗?
【解答】解：一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟. 由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，
则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L.一年漏水量：一年按 365 天算，
一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L. 即不够一个人一年使用.
（3）分析小明的数据，你能写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系吗？
【解答】 解：根据小明得到的数据，在平面直角坐标系中描出 (v , t ) 对应的点；
故据图和数据得出结论： V = 5.5 t
◆2.思考·交流
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
共同之处： 体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势 .
不同之处：由于实验条件、操作手法等差异，
导致测量出的具体数据有差别 .
（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方
面？
因素： 有仪器精度、环境条件、操作规范性等 .
影响： 表格中相同时间漏水量数值不同；
图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；
表达式一次项系数和常数项可能会改变 .
(3)假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化? 为什么?
表格： 相同时间漏水量数值 “ 均匀 ” 地增大 .
图象： 更陡 , 斜率增大 .
表达式： 一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时） .
●探究二：认识一次函数的现象(二)
◆1.操作思考：为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧
部分的长度，数据如下：(1) 根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出( t，l )对应的点.
(2)估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由.
燃烧 1 0 mi n 后这根香可燃烧部分的长度为 :22. 4 － 0.5×(1 0 － 1 ) ＝ 17.9(cm) .
(3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
22.9
香初始长 22.9 cm ，燃尽需 =45.8.
0.5
(4)试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t
◆2.思考：在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min,香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm.也就是说，随着
时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少.为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢?
【 解答 】 因为香的原材料分布均匀，结构较为一致，在燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定，外界
环境因素在实验设定范围内相对固定时，就会出现这种随着时间等量变化的情况 .
◆3.所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的.
生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例.
例 如：烧水升温，恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升 . 汽车匀速行驶中汽车以固定速度在
公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加 .
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
典例：“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降这一特点，才造成了山
上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象.下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量
得到的表格.
请回答下列问题：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
（2）t 与 h 之间的关系式是 .
（3）你能估计温度为－19℃时，距离地面的高度是多少吗?
【分析】(1)根据函数的定义即可求解.(2)由表格可知当高度每上升1km时,温度下降6℃,然后计算即可.
(3)将t=-19代入解析式,即可求解
【解答】解：（1）上表反映了温度和距离地面高度之间的关系， 距离地面高度是自变量，温度是因变
量.
（2）根据表格数据知当高度每上升 1 km 时，温度下降 6 ℃，
∴ t＝－6h＋20；
（3）将t＝－19代入t＝－6h＋20，可得：－6h＋20＝－19，解得 h＝6.5，
答：温度为－19℃时，距离地面的高度是6.5 km.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨感受问题中的“均匀变化”，会推导关系式；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．如图，是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子．随
着放入骰子数量的增加,水杯中的水面会升高，这样的升高 不是 （填“是”或“不是”）“均匀”变
化的．
2．变量x，y 的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当x=−5时，y 的值是( A )
A. −29 B. −7 C. 41 D. 75
3.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费.为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写了
下表.
(1)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 x ，纵轴表示水量 y ，画出函数图象；
(2)试写出漏水量 y 与漏水时间 x 的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量.
【解答】解：(1)利用描点法画出函数图象,如图所示.
(2)由题意，得关系式 y ＝6x,一天:24×60 min＝1440 min，即 x＝1440 min，
则 y＝6×1440＝8640 mL＝8.64 (L),
故这种漏水状态下一天的漏水量为 8.64 L.
1．（2024春•凤翔县期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置：
排数 1 2 3 4 ……
（x）
座位数 30 33 36 39 ……
（y）
根据表格中两个变量之间的关系，当x＝8时y的值为（ ）
A．49 B．51 C．53 D．55
【分析】通过例举，总结归纳规律即可得出答案．
【解答】解：当x＝1时，y＝30，
当x＝2时，y＝30+3，
当x＝3时，y＝30+3×2，
当x＝4时，y＝30+3×3，∴当x＝8时，y＝30+3×7＝51，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的表示方法，通过例举，总结归纳出规律是解题的关键．
2．（2024春•内乡县期中）某地区用电量与应缴电费之间的关系如表：则下列叙述错误的是（ ）
用电量（千瓦 1 2 3 4 …
时）
应缴电费 0.55 1.10 1.65 2.20 …
（元）
A．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
B．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元
C．若应缴电费为2.75元，则用电量为5千瓦时
D．若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦时
【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可．
【解答】解：A、若用电量每增加1千瓦时，则电费增加0.55元，故本选项叙述正确，不符合题意；
B、若用电量为8千瓦时，则应缴电费＝8×0.55＝4.4元，故本选项叙述正确，不符合题意；
C、若应缴电费为2.75元，则用电量＝2.75÷0.55＝5千瓦时，故本选项叙述正确，不符合题意；
2 40
D、若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多 = 千瓦时，故本选项
0.55 11
叙述错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．
3．（2024春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系：
售价x/年 90 100 110 120 130 140
销量y/件 90 80 70 60 50 40
估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
A．33件 B．43件 C．53件 D．63件
【分析】根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，即可得到答案．
【解答】解：根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，
当售价为137元时，售价从130元增加到137时，售价提高7元，则销量从50件减少到50﹣7＝43件，
故销量为137元时，销量可能为43件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的表示方法，解题的关键是找到售价与销量之间的关系．
4．（2024秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
摄氏温度 0 10 20 30 40 50
值x/℃
华氏温度 32 50 68 86 104 122
值y/℉
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
9 5
A．y= x+32 B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．y= x+32
5 9
【分析】根据表格可知x每增加10℃，y增加18°F，当x＝0时，y＝32，即可确定y与x的函数关系式．
18 9
【解答】解：根据表中的对应关系，可知y= x+32= x+32，
10 5
9
∴y= x+32，
5
故选：A．
【点评】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键．
5．（2024春•兴庆区校级期末）在烧开水时，水温达到100℃水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的
沸腾”试验时所记录的时间t（min）和水温T（℃）的数据：
时间t/min 0 2 4 6 8 10 12 14 …
温度T/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即t＜10），水温T与时间t之间的关系式为（ ）
A．T＝7t+30 B．T＝16t+30 C．T＝14t﹣16 D．T＝30t﹣16
【分析】观察表格，在水烧开之前（即t＜10），时间t每增加2分钟，温度T就上升14°C，由此得出
函数关系式即可．
t
【解答】解：在水烧开之前（即 t＜10），水温 T与时间 t之间的关系式为 T＝30+14× ，即 T＝
2
7t+30，
故选：A．【点评】本题考查了函数关系式，读懂题意，观察表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键．
6．（2024春•榆树市校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些
数据如下：
温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m
【分析】A．根据自变量与函数的定义判断即可；
BC．通过观察数据即可得出结论；
D．根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离．
【解答】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，
∴A正确，不符合题意；
从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，
∴B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6＝354（m/s），即当空气温度为40℃时，声音每秒可以
传播354m，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是本题的关键．
7．（2024春•梅江区期末）张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量 x（kg）与售价
y（元）之间的关系如下表：
重量/kg 1 2 3 …
售价/元 1.2+0.1 2.4+0.1 3.6+0.1 …
根据表中数据可知，若卖出柚子10kg，则售价为 元．
【分析】根据题意求出x、y的对应关系，得到答案．【解答】解：当x＝1时，y＝1.2×1+0.1，
当x＝2时，y＝1.2×2+0.1，
当x＝3时，y＝1.2×3+0.1，
∴y＝1.2x+0.1，
当x＝10时，y＝12.1，
故答案为：12.1．
【点评】本题考查的是函数的表示方法，根据给出的x、y的对应关系，列出y与x的函数关系式是解题
的关键．
8．（2024•巴林左旗校级一模）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的
对应关系如表：
鞋号（码） … 33 34 35 36 37 …
脚长（毫米） … 215±2 220±2 225±2 230±2 235±2 …
若小华的脚长为259mm，则他的鞋号（码）是 ．
【分析】从表格中的数据可得脚长＝鞋码×5+50，如果设脚长为y mm，鞋码为x码，则y＝5x+50，将y
＝259代入y＝5x+50之中求出x即可得出答案．
【解答】解：∵215＝33×5+50，220＝34×5+50，225＝35×5+50，230＝36×5+50，235＝37×5+50，…，
∴脚长＝鞋码×5+50，
如果设脚长为y mm，鞋码为x码；
则y＝5x+50，
将y＝259mm代入y＝5x+50，得：259＝5x+50，
解得：x＝41.8，
∴他的鞋号（码）是42码．
故答案为：42．
【点评】此题主要考查了函数的表示方法，根据表格中的数据得出脚长＝鞋码×5+50是解决问题的关键．
9．（2024春•乳山市期末）周末，小丽一家人驾车到距家 150千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内的
油量为35升，行驶了80千米时，油箱内的剩余油量为25升（假设汽车行驶中的耗油量是均匀的）．
（1）直接写出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式；
（2）当x＝100（千米）时，求油箱内的剩余油量；
（3）当油箱中剩余油量不足3升时，汽车将自动报警．如果在往返途中不加油，小丽一家人能否在报警
前回到家？通过计算说明理由．
【分析】（1）根据题意得到每千米耗油量，即可求出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式；
（2）将x＝100代入（1）表达式中，即可求出油箱内的剩余油量；
（3）将y＝3代入（1）表达式中，求出x的值，再与往返距离进行比较，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知，车行驶中的每千米的耗油量为（35﹣25）÷80＝0.125，
∴油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式为y＝35﹣0.125x；
（2）当x＝100时，y＝35﹣0.125×100＝22.5（升），
∴油箱内的余油量为22.5升；
（3）不能在汽车报警前回到家，理由如下：
当y＝3时，35﹣0.125x＝3，
解得：x＝256，
∵256＜150×2＝300，
∴不能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了函数解析式，列代数式，根据数量关系正确列出关系式是解题关键．
10．（2024春•汉中期末）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千
克）之间的关系如表：
售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10
（1）当豆子售出5千克时，总售价是 元；
（2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？
（3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？
【分析】（1）根据表格可直接写出结果；
（2）根据表格数值可发现，随着x的逐渐增大，y逐渐增大．
（3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价．
【解答】解：（1）由表格可知，当豆子售出5千克时，总售价是10元，
故答案为：10．
（2）随着x的逐渐增大，y逐渐增大．
（3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价，
∴8×2＝16（元），
∴当售出豆子8千克时，总售价是16元．
【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是解题的关键．
11．在学习地理时，我们知道“海拔越高，气温越低”。下表是海拔 ℎ(km)与此高度处气温t(℃) 的关系。根据下表，回答以下问题：
海拔 0 1 2 3 4 5 …
气温t 20 14 8 2 -4 ﹣10 …
ℎ/km
（1）由 / 表 ℃ 可知，距离地面高度每上升1 km，温度降低 ℃ .
（2）写出气温t与海拔 ℎ 的关系式；并求出当海拔高度是7 km 时，气温是多少？
（3）某航班飞机在执行飞行任务至一定高度时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为−38.2 ℃ 。两名飞
行员冷静应对，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出该飞机发生险情时的海拔（假设当时所在位置
的地面温度为20 ℃ ）。
【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律，即可解答；
（2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降6℃℃，可求出气温t与海
拔h的关系式，然后代入h的值即可解答;
（3）把t =−38.2代入t=20−6h中计算解答即可.
【解答】 （1）距离地面高度每上升1 km，温度降低20−14=6(℃) 。
（2）气温t与海拔h的关系式为t=20−6h ，
当h=7时，t=20−6×7=−22 ，
所以气温t与海拔h的关系式为t=20−6h，当海拔是7 km 时，气温是−22 ℃ 。
（3）当t =−38.2时，20−6h =−38.2，解得h=9.7 ，
所以该飞机发生险情时的海拔高度为9.7 km 。
【点评】本题主要考查函数的表示方法，解题的关键是找到售价与销量之间的关系．
12．（2024秋•潍坊期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在
如下的关系：
气温t/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声音在空气中的传播速度v/（m/s） 319 325 331 337 343 349
阅读上述材料，回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，哪些量是变量？
（2）从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了多少？
（3）用含t的代数式表示v；
（4）某日的气温为15℃，小莹同学看到烟花燃放后5s才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大
约相距多远？
【分析】（1）结合表格，根据变量的定义作答即可；
（2）从表中数据可知，气温每升高10℃，声音在空气中传播的速度提高了6m/s，据此计算即可；（3）根据气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度的增加及当t＝0时，v＝331用含t的代数式表示v
即可；
（4）将t＝15代入（3）中求得的函数表达式求出v，再根据路程＝速度×时间计算即可．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，气温和声音在空气中的传播速度是变量．
（2）从表中数据可知，气温每升高10℃，声音在空气中传播的速度提高了6m/s，
∴气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了0.6m/s．
（3）∵温每升高1℃，声音在空气中传播的速度提高了0.6m/s，且当t＝0时，v＝331，
∴v＝331+0.6t．
（4）当t＝15时，v＝331+0.6×15＝340，
340×5＝1700（m），
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距1700m．
【点评】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握变量的定义，一次函数关系式的求法，路程、速
度、时间之间的关系是解题的关键．
认识一次函数变化的现象：
1. 均匀递增的现象
2. 均匀递减的现象
