文档内容
4.2.3 认识一次函数（第 3 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章第二节认识
一次函数第3课时.内容包括：一次函数在计费问题中的应用，通过分析出租车计费、水电费计费等实际
情境，引导学生建立一次函数模型，解决相关计费问题。
2.内容解析
一次函数是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型，在计费问题中有着广泛的应用。学生在之前
已经学习了一次函数的基本概念、表达式和性质，本节课是在此基础上，进一步让学生体会一次函数在实
际生活中的应用价值，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时也为后续学习其他函数模型以及
高中数学中的函数应用奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：根据实际计费情境确定一次函数关系式及自变量取值范围；
利用一次函数关系式解决简单的计费问题。
1.教学目标
（1）能根据实际计费问题准确列出一次函数关系式，确定自变量的取值范围；会利用一次函数关系
式解决具体的计费问题，如计算费用、比较方案等。
（2）经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数
学建模思维和逻辑推理能力。
（3）体会数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用数学的意识 ，培养学生严谨认真的学
习态度。
2.目标解析
（1）达成知识与技能目标的标志是学生能够针对不同的计费情境，正确分析数量关系，列出一次函
数表达式，并能根据给定的自变量值准确计算函数值，解决实际的计费问题。
（2）过程与方法目标的实现体现在学生在解决问题过程中，能主动思考，将实际问题转化为数学问
题，通过建立一次函数模型求解，并能对结果进行合理的解释和分析。
（3）情感态度与价值观目标的达成表现为学生积极参与课堂讨论和活动，对用数学知识解决生活中
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1的计费问题产生浓厚兴趣，认识到数学在生活中的重要性。
已有知识及掌握情况：八年级学生在之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程组等知识，具备了
一定的代数运算能力和分析问题的能力 。在本章前两节课中，学生又学习了一次函数的概念、表达式和
性质，对一次函数有了初步的认识和理解，能够根据已知条件确定一次函数的表达式，这为学习一次函数
在计费问题中的应用奠定了知识基础。
预估教学中遇到的困难：部分学生在从实际计费问题中抽象出数学模型，准确分析数量关系，确定一
次函数表达式及自变量取值范围时可能会遇到困难；在利用一次函数解决复杂的计费问题，如分段计费、
比较不同方案的优劣时，学生可能会出现思路不清晰、计算错误等问题；此外，学生在将数学结果回归到
实际问题中进行解释和应用时，可能会存在理解上的偏差。
解决困难的办法：通过创设丰富的实际生活情境，如出租车计费、水电费计费等，引导学生逐步分析
问题，找出数量关系，建立一次函数模型，让学生在实践中掌握建模方法；对于复杂的计费问题，采用小
组合作探究的方式，鼓励学生相互交流、讨论，共同理清思路，教师给予及时的指导和帮助；在教学过程
中，注重对学生解题思路和方法的引导，加强对数学结果实际意义的解释和说明，通过具体的例子让学生
理解数学与生活的紧密联系。
知识回顾
1. 什么是一次函数？
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的
一次函数。
特别地，当b=0时，称 y是x的正比例函数。即正比例函数可以表示为y=kx (k ≠0）。
想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？
（设计意图：巩固学生已有的知识，为学习一次函数在计费问题中的应用做好铺垫.）
（教学建议：提问学生，让学生回答，教师进行补充和强调.）
应用一：
某单位需租一辆 45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2每千米 15元。乙公司的计费标准：除了每千米 10元的里程费外，另有服务费200元（不足 1km 按 1km
计算）。
（1）假设该单位用车里程为 30km，你建议租用哪家公司的客车？
分析：甲公司：总费用=单价×数量
乙公司：总费用=里程费+服务费
我们需要将甲、乙两家出租车的费用分别计算出来进行比较，进而做出决定。
解：甲公司的费用：15×30＝450（元），
乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。
∵ 450＜500，
∴建议租用甲公司的客车。
（2）假设该单位用车里程为 52km，你建议租用哪家公司的客车？
解：甲公司的费用：15×52＝780（元），
乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。
∵ 780＞720，
∴建议租用乙公司的客车。
（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？
你能否将两家公司费用分别表示出来呢？
解：设用车里程为 x 千米是两家收费相同，甲公司收费为15x元，乙公司收费为（10x+200)元，
据题意，15x＝10x＋200，
解得 x＝40
∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。
思考1：生活中还有哪些也是相关的计费问题？
除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。
即本质上都是一次函数的应用。
（设计意图：通过具体的出租车计费问题，引导学生分析数量关系，建立一次函数模型，掌握根据实际问
题列出一次函数关系式及确定自变量取值范围的方法，同时学会利用一次函数关系式解决简单的计费问
题）.
（教学建议：引导学生一步一步分析问题，鼓励学生积极思考，大胆发言，对于学生的回答及时给予肯定
和鼓励）.
应用二：
为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水
量及分档计费标准：
（1）当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式；
（根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式）
解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。
水费 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)，
即 y＝4.83x－303.6。
（2）某户一年用水量是 250m3，求该户这一年的水费；
解：当 x＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。
（3）某户去年一年的水费是 1000.5元，求该户去年一年的用水量。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3（1000.5元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？）
解：∵ 第一档水费最大值：3.45×220＝759,
第二档水费最大值：4.83×300－303.6＝1 145.4，
759＜1 000.5＜1 145.4，
∴该户用水量属于第二档。
设该用户用水量为 x m3，则
1 000.5＝4.83x－303.6。
解得 x＝270。
因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。
（4）当 x＞300 时，你能写出水费 y(单位：元)与用水量 x 之间的关系式？
（当x＞300 时，总水费y等于三个档水费之和）
分析：此时水费y由三部分组成，第一档 220m³ 水费、第二档(300 - 220) m³水费以及超出 300 m³部分
的水费。
所以 y = 3.45×220 + 4.83×(300 - 220)+5.83×(x - 300)
y =5.83x - 603.6。
思考2：像应用一和应用二中，这样的计费有什么意义，设计计费规则时要注意什么？
意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等；
注意：数据的准确性、灵活性与适应性等；
讨论k、b对一次函数y=kx+b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？
例如在出租车计费中，k代表每千米的费用变化对总费用的影响，b代表固定的服务费等。
（设计意图：通过小组合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力，让学生在交流中相互学习，共同
提高。同时，进一步巩固学生建立一次函数模型解决分段计费问题的能力）.
（教学建议：教师巡视各小组讨论情况，及时给予指导和帮助，引导学生注意分段函数的特点和解题方
法）.
1.我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则
按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某
月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（C）
A.10 m3 B.15 m3 C.20 m3 D.25 m3
2.从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过1千克收费12元，超过1千克的部分
每千克收费5元，设快递物品的重量为𝑥千克( >1)，那么从大连发快递到北京的快递费𝑦（元）与物品重
量𝑥（千克）的函数表达式为 𝒚 = + ． 𝑥
解：由题意得：𝒚= + ( )， ∴𝟓𝒚𝒙= 𝟕+ ．
3.某市出租车收费标𝟏𝟐准𝟓如𝒙下−𝟏：3千米以𝟓𝒙内𝟕（含）收费10元，超过 3千米的部分每千米加收2元．
(1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（x≥3）之间的函数关系式
解：当x=3时，y=10，当x>3时，y=10+2(x−3)=2x+4，
综上y=2x+4(x≥3)；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4(2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程；
∵22>10，
∴2x+4=22，解得x=9；
∴行驶的路程为9km；
4.某市居民生活用电阶梯收费标准如表：
根据收费标准，解答下列问题：
（1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费；
解：∵150<170,
∴150ⅹ0.525=78.75(元)
所以这个月应缴的电费为78.75元.
（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 （ 0.575x﹣8. 5 ） 元
（用含x的代数式表示）；
解析：据题意，设用电量为x度，则这个月应缴电费：
0.525ⅹ170+(x-170)ⅹ0.575=0.575x-8.5(元)
（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量．
解：当用电量为260度，即x=260时，
电费为：0.575x-8.5=0.575×260-8.5=141,
157.5>141,即用电量超过260度.
设计意图：通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高运用一次函数解决实际计费问题的能力，及时
发现学生存在的问题并进行解决。练习题目可以根据学生的实际情况进行适当调整和补充，对于学生普遍
存在的问题，要进行重点讲解。
拓展思考
古人智慧——漏刻计时里的函数
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5现代钟表前，古人用“漏刻”计时：水匀速漏入受水壶，浮子高度h与时间t满足h = kt（k为常数），
这也是正比例函数应用！
设计意图：将数学中的函数概念与古代计时工具“漏刻”相联系，让学生体会函数在实际生活（包括
古代科技）中的应用，打破学生对函数仅存在于书本抽象数学问题中的认知，认识到函数是描述现实世界
中变量关系的重要数学模型。
从租车、水电用到古计时等，一次函数藏在生活每个角落，掌握它，就能读懂“数字背后的规则”！
互动：生活中还有哪些计费的函数应用，欢迎课后分享!
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识脉络，加深对重点知识的理解和记忆，培养学生的总结归纳能
力。鼓励学生积极发言，分享自己的收获和体会，教师要对学生的发言进行积极的评价和反馈。
1.必做题：随堂练习 第1题；习题4.2 第8 、10、11题。
2.探究性作业：习题4.2 第12题。
4.2.3 认识一次函数（第3课时）
一次函数在计费问题中的应用
1．方案优选问题：租车问题
2. 分段收费问题：用水、用电、用气等
3. 核心思想：数形结合、数学建模、 分类讨论思想、转化与化归思想
4. 例题区：（学生板演区域）
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