文档内容
4.2 认识一次函数
第3课时 一次函数在计费问题中的应用
1.能根据实际计费问题准确列出一次函数关系式，确定自变量的取值范围；会利用一次函数关系式解决具
体的计费问题，如计算费用、比较方案等.
2.经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学建模思
维和逻辑推理能力.
3.体会数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用数学的意识 ，培养学生严谨认真的学习态度.
学习重点：根据实际计费情境确定一次函数关系式及自变量取值范围；
学习难点：利用一次函数关系式解决简单的计费问题.
第一环节 自主学习
温故知新：
1. 什么是一次函数？
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成 y = k x + b ( k , b 为常数， k ≠0）的形式，那么称 y是x的
一次函数.特别地，当 b =0 时，称 y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为 y = k x ( k ≠0）.
2. 想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？
新知自研：自研课本P83-P84页的内容，思考：
【学法指导】
●探究一：租车问题
某单位需租一辆 45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每
千米 15元。乙公司的计费标准：除了每千米 10元的里程费外，另有服务费200元（不足 1km 按 1km 计
算）.
（1）假设该单位用车里程为 30km，你建议租用哪家公司的客车？
【分析】甲公司：总费用=单价×数量
乙公司：总费用=里程费+服务费
我们需要将甲、乙两家出租车的费用分别计算出来进行比较，进而做出决定.【解答】解：甲公司的费用： 15×3 0 ＝ 45 0 （元） ，
乙公司的费用： 10×3 0 ＋ 20 0 ＝ 50 0 （元） .
∵ 45 0 ＜ 50 0，
∴建议租用 甲 公司的客车。
（2）假设该单位用车里程为 52km，你建议租用哪家公司的客车？
【解答】甲公司的费用： 15×5 2 ＝ 78 0 （元），
乙公司的费用： 10×5 2 ＋ 20 0 ＝ 72 0 （元） .
∵ 78 0 ＞ 72 0，
∴建议租用 乙 公司的客车。
（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？你能否将两家公司费用分别表示出来呢？
【解答】设用车里程为 x 千米是两家收费相同，甲公司收费为 1 5 x 元，乙公司收费为 （ 1 0 x +200 )元，
据题意列方程得， 1 5 x ＝ 1 0 x ＋ 20 0，
解得： x ＝ 4 0
∴ 用车里程为 4 0 千米时，两家出租车公司的收费相同。
◆思考1：生活中还有哪些也是相关的计费问题？
除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。
●探究二：水费问题
为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4人时户年用水量及
分档计费标准：
（1）当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式；
【分析】（根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式）
【解答】当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第 二 档.
水费 y＝ 3.45×22 0 ＋ 4.83× ( x － 220 )，
即 y＝ 4.8 3 x － 303. 6.
（2）某户一年用水量是 250m3，求该户这一年的水费；
【解答】当 x＝250 时， y ＝ 4.83×250 － 303.6 ＝ 903.9( 元 ) .
（3）某户去年一年的水费是 1000.5元，求该户去年一年的用水量.
（1000.5元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？）【解答】∵ 第一档水费最大值： 3.45×22 0 ＝ 75 9,
第二档水费最大值： 4.83×30 0 － 303. 6 ＝ 1 145. 4，
75 9＜1 000.5＜ 1 145. 4 ，
∴该户用水量属于第二档.
设该用户用水量为 x m3，则
列方程得： 1 000. 5 ＝ 4.8 3 x － 303. 6
解得： x ＝ 27 0
因此，该户去年一年的用水量为 27 0 m3.
（4）当 x＞300 时，你能写出水费 y(单位：元)与用水量 x 之间的关系式？
（当x＞300 时，总水费y等于三个档水费之和）
【分析】此时水费y由三部分组成，第一档 22 0 m ³ 水费、第二档 (30 0 - 220 ) m³水费以及超出 30 0 m ³
部分的水费.
所以y = 3.45×220 + 4.83×(30 0 - 220 )+5.83×(x - 300)
整理得： y =5.8 3 x - 603. 6
◆思考2：像应用一和应用二中，这样的计费有什么意义，设计计费规则时要注意什么？
意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等；
注意：数据的准确性、灵活性与适应性等；
▲▲讨论k、b对一次函数y=k x +b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？
例如在出租车计费中， k 代表每千米的费用变化对总费用的影响， b 代表固定的服务费等 .
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨出租车计费问题，学会分析数量关系，建立一次函数模型；
B.交流水费收费问题，探讨怎么确定费用是在哪一档，理清例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则
按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某
月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（C）A.10 m3 B.15 m3 C.20 m3 D.25 m3
2.从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过1千克收费12元，超过1千克的部分
每千克收费5元，设快递物品的重量为𝑥千克( >1)，那么从大连发快递到北京的快递费y（元）与物品重量
x （千克）的函数表达式为 y= 5 x ． 𝑥
解：由题意得：y=12+5（x﹣1）x=+5x7 ．
3.某市出租车收费标准如下：3千米以+内7（含）收费10元，超过 3千米的部分每千米加收2元．
(1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（x≥3）之间的函数关系式
解：当x=3时，y=10，当x>3时，y=10+2(x−3)=2x+4，
综上y=2x+4(x≥3)；
(2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程；
∵22>10，
∴2x+4=22，解得x=9；
∴行驶的路程为9km；
4.某市居民生活用电阶梯收费标准如表：
根据收费标准，解答下列问题：
（1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费；
解：∵150<170,
∴150ⅹ0.525=78.75(元)
所以这个月应缴的电费为78.75元.
（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 （ 0.57 5 x ﹣8. 5 ） 元
（用含x的代数式表示）；
解析：据题意，设用电量为x度，则这个月应缴电费：
0.525×170+(x-170)ⅹ0.575=0.575x-8.5(元)
（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量．
解：当用电量为260度，即x=260时，
电费为：0.575x-8.5=0.575×260-8.5=141,
157.5>141,即用电量超过260度.1．从A地向B地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话t分钟
（t≥3），则需付电话费y（元）与t（分钟）之间的函数关系式是 ．
【答案】y＝t﹣0.6（t≥3）．
【分析】需付电话费＝3分内收费+3分以外的收费，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：3分钟内收费2.4元，3分以外的收费为（t﹣3）×1＝t﹣3，
∴y＝2.4+t﹣3＝t﹣0.6（t≥3）．
2．某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5
元。当人数超过 25 人时，请写出此时应收门票费用 y（元）与人数 x （人）之间的函数关系式：
_____________________.
【分析】当x>25时,根据“应收门票费用=10×25+5x(购票人数﹣25)”解答即可.
【解答】解：当x>25时，得y=10x25+5x(x-25)=5x+125.
故答案为:y=5x+125(x>25).
【点评】本题考查一次函数的应用,理解题意并写出函数关系式是解题的关键.
3．某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人50元；超过20人的，超过的部分，每
人40元．
（1）写出门票收费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
（2）701班班主任带领45名学生去该风景区游览，购买门票共需要多少元？
【分析】（1）根据题意，分两种情况：当0≤x≤20时或当x＞20时求解析式即可；
（2）当x＝46时，x＞20，所以代入第二个解析式求得y的值即是所求．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y＝50x；
当x＞20时，y＝40x+200（其中x是整数），
综上所述，y与x的关系式为 { 50x(0≤x≤20) )；
y=
40x+200(x＞20)
（2）老师和学生的总人数为：45+1＝46（人），
当x＝46时，
y＝40x+200＝40×46+200＝2040（元）．
答：购买门票共需要2040元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，理解题意求出一次函数解析式是解题的关键．
4．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算用户的电费，每月用电量不超过 210 kW⋅h 时，按 0.55 元/(kW⋅h)计费；每月用电量超过 210 kW⋅h 时，其中的 210 kW⋅h 仍按 0.55
元/(kW⋅h)计费，超过的部分按0.6元/(kW⋅h) 计费，设用户每月用电量为x kW⋅h，应交电费y 元.
（1）求当x>210时，y与x 的函数关系式.
（2）小林家12月份交纳电费145.5元，小林家这个月的用电量为多少？
【解答】解：（1）当x>210时，y与x 的函数关系式是
y=0.55×210+(x−210)×0.6=0.6x−10.5 ，
即当x>210时，y与x的函数关系式是y=0.6x−10.5 .
（2）当x=210时，应交电费210×0.55=115.5 （元），
因为115.5<145.5，所以小林家12月份用电量超过210 kW⋅h ，
解方程145.5=0.6x−10.5，得x=260 ，
所以小林家12月份的用电量为260 kW⋅h .
5．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每
张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠．
（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？
（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式．
【分析】（1）依题意计算求解即可；
（2）依题意可知y与x的函数关系式为分段函数，列出一次函数即可．
【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元）
答：若旅游团人数为9人，门票费用是1620元；若人数为30人，门票费用是3960元；
（2）设旅游团人数为x人，该旅游团门票费用y元，则
{ 180x(x≤10) )，
y=
10×180+(x−10)×180×60%(x＞10)
即函数关系式为：
{ 180x(x≤10) )．
y=
108x+720(x＞10)
【点评】本题重点考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
6．为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7立方米，每立方米收取1元外加0.4
元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.3元污水处理费，现设一户每月用水x立方
米，应缴水费y元．
（1）求出y关于x的函数解析式；（2）该市一户某月若用水x＝10立方米时，求应缴水费；
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出各段对应的函数解析式；
（2）将x＝10代入（1）中的函数解析式，求出相应的函数值即可；
（3）用26.6与（2）中的结果比较大小，即可判断x的取值范围，然后代入（1）中相应的函数解析式，
求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤7时，y＝（1+0.4）x＝1.4x，
当x＞7时，y＝（1+0.4）×7+（x﹣7）×（1.5+1.3）＝2.8x﹣9.8，
由上可得，y关于x的函数解析式为y { 1.4x (0≤x≤7))；
=
2.8x−9.8 (x＞7)
（2）当x＝10时，y＝2.8×10﹣9.8＝18.2，
即该市一户某月若用水x＝10立方米时，应缴水费18.2元；
（3）∵26.6＞18.2，
∴该用户的用水量超过10立方米，
令2.8x﹣9.8＝26.6，
解得x＝13，
答：该户这月用水量为13立方米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
7.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，
按2.5元/ m3计费；月用水量超过20m3时，其中20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.2元/ m3计费，设
每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元．
（1）分别写出0≤x≤20和x>20时，y与x的函数表达式．
（2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：
月份 四月份 五月份 六月份
交费金
40元 45元 56.4元
额
小明家第二季度共用水多少立方米？
【答案】（1）当0≤x≤20时y =2.5x，当x＞20时y =3.2x−14；（2）56立方米
1 2
【分析】（1）根据题意写出收费和用水量的函数关系式；
（2）根据每月用水量20m³时收费50元，然后根据四、五月份收费小于50元和六月份大于50元分别代入y=2.5x 和y=3.2x-14中求出x，再相加即可．
【解答】（1）当0≤x≤20时，y =2.5x；
1
当 时， ；
x>20 y =2.5×20+3.2(x−20)=3.2x−14
2
(2)当x=20时，y =50
1
∵40<50,45<50,56.4>50
∴四、五月份的月用水量比20m3少，六月份的月用水量比20m3多
令y =40，得x=16
1
令y =45，得x=18
1
令y =56.4，得x=22
2
16+18+22=56（立方米）
∴第二季度共用水56立方米
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据题意题意写出y与x的函数关系式．
8．本市城镇居民年度生活天然气收费标准如下表所示：
阶段 使用量（立方米） 单价（元/立方米）
第一阶
0−310（含） 3.00
段
第二阶
310−520（含） 3.30
段
第三阶
超过520 4.20
段
根据表格信息回答问题：
(1)一同学家2021年度截止到4月已使用328立方米天然气，求至2021年4月，此同学家中使用燃气总共
花费多少钱？
(2)试写出缴纳燃气总费用y（元）关于燃气使用量x（立方米）(3101623，
∴该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米，
(1665−1623)÷4.2+520=530（立方米），
答：该同学家2020年度天然气使用总量为530立方米．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解收费标准，列出函数关系式是解题的关键．
9.某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类。甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须
缴月租费19元，另外，通话费按0.2元/min 计。乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按 0.3元/min
计。
（1）甲类收费标准每月应缴费用y_1（元）与通话时间x(min) 之间的关系式为_______________；乙类收
费标准每月应缴费用y_2 （元）与通话时间x(min) 之间的关系式为___________.
（2）若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为300 min ，则该手
机用户应选择哪类收费标准比较划算？
（3）当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？
【答案】
(1)y =0.2x+19,y =0.3x;
1 2
(2)该手机用户应选择甲类收费标准比较划算；
(3)当每月平均通话时间为190min时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等.
【分析】(1)根据题意，可以写出甲类收费标准每月应缴费用y₁(元)与通话时间x( min)之间的关系式和乙类
收费标准每月应缴费用y₂(元)与通话时间x(min)之间的关系式；
(2)将x=300分别代入y₁和y₂中，求出相应的函数值，然后比较大小，即可解答本题；
(3)根据(1)中的函数关系式，令y₁和y₂的函数值相等，即可得到每月通话多长时间，按甲、乙两类收费标
准缴费，所缴话费相等.
【解答】解：(1)甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按
0.2元/min计： y =0.2x+19,
1
乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按0.3元/min，则 y =0.3x;
2
故答案为： y =0.2x+19,y =0.3x;
1 2
(2)当x=300时, y =0.2×300+19=79,y =0.3×300=90,
1 2∵y
