文档内容
4.3 一次函数函数的图象
第1课时 正比例函数的图象与性质
1.了解函数图象的定义，能熟练画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象和性质.
2.经历画正比例函数图象的过程，体会列表、描点、连线的画图方法，发展学生的动手操作能力和数形结
合思想；通过观察、比较、归纳等活动，探索正比例函数的性质，培养学生的观察能力、分析能力和归纳
总结能力.
3.在探究活动中，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的信心，培养学生勇于探索、合作交流的精神.
学习重点：正比例函数的图象特点和性质.
学习难点：探索正比例函数图象的特点和性质，理解k的取值对函数图象和性质的影响.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P89-P81页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
（1）汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶路程y（千米）与时间x（小时）的关系是怎样的？
它是一次函数吗？它是正比例函数吗？
它 是一次函数，也是正比例函数则 y 与 x 的关系式： y = 6 0 x .
（2）我们已经知道可以用关系式表示两个变量之间的关系，那么能不能用一种更直观的方式来表示呢？
图象法
●探究一：正比例函数的图象
◆1.函数图象的概念：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平
面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.(摩天轮上一点的 高度 h 与旋转时间 t 之间的函数图象)
◆2.你能根据函数表达式画出图象吗?
画出正比例函数y=2x的图象，并观察它的形状.
(1)选取自变量的值，用表格表示（选取自变量 x 的哪些值呢?用什么将这些值表示出来？）
① 列表（完成下表的填空）
x … ﹣2 ﹣1 ﹣0 1 2 …
y … …
(2)以你所列表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗?
◆3.知识归纳：画正比例函数图象的一般步骤：
① 列表 ② 描点 ③ 连线 .
◆4.根据这个步骤,在同一坐标系内画出函数y=-3x的图象,并观察图象有什么特征？
(1)如图所示：
(2)函数 y＝2x 和 y＝－3x 图象的共同特点：
函数图象都经过原点 ( 0 ， 0 ) ；函数图象都是一条直线 .
(3)观察：k的值不同时，图象分别经过哪些象限？
k > 0, 图象经过一、三象限； k < 0, 图象经过二、四象限
◆5.归纳总结：
（1）正比例函数 y=k x (k≠0)的图象是一条经过 原点（ 0, 0 ） 的直线.
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了.
（2）正比例函数的图象：经过原点的直线.
当 k ＞ 0 时，经过第一、三象限；当 k ＜ 0 时，经过第二、四象限.
●探究二：正比例函数图象的性质
1
◆1.画一画:在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝x,y＝3x, y＝﹣ x 和 y＝﹣4x 的图象.
2
◆2.观察：这四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何？
1
①直线 y＝﹣ x，y＝－4x 向右逐渐 下降 ，即y的值随x的增大而 减小
2
②直线 y＝x，y＝3x 向右逐渐 上升 ，即y的值随x的增大而 增大
由此可得出：在正比例函数y＝k x中，当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k＜0 时，y 的
值随着 x 值的增大而减小.
◆3.思考·交流
(1)正比例函数 y＝x和 y＝3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其
中的道理吗？
通过观察左图的函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y ＝ 3 x 的函数值都是 y ＝ x 的 3 倍，并且随着 x 的
增加， y ＝ 3 x 的函数值增长速度更快 .
1
（2）正比例函数y＝﹣ x和 y＝－4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是
2
如何判断的？1
观察右图函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y ＝－ 4 x 的函数值都是 y ＝ ﹣ x 的 8 倍，并且随着 x
2
的增加， y ＝－ 4 x 的函数值减小速度更快 .
▲4．总结归纳：正比例函数图象的性质：
当 k ＞ 0 时，y的值随x值的增大而增大；
当 k ＜ 0 时，y的值随x值的增大而减小.
当 |k |越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴 ，相应的函数值上升或下降得越快.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k x,y=k x和y=k x的图象如图所示，则k,k,k 的大小关
1 2 3 1 2 3
系是 k > k > k ．（用“>”连接）
3 2
【分析】由直线经过的象限知：k > 0,k < 0,k < 0，
3 1 2
∵根据直线越陡，|k|越大，
∴|k | > |k|，
1 2
∴k>k>k.
3 2 1
例2：已知正比例函数y=（m−1）x(5−m²）的图象在第二、第四象限，则m的值为 - 2 .
【分析】正比例函数y=k x的定义条件是：k为常数且 k ≠ 0 ，自变量次数为1.
【解答】解：∵函数（m−1）x(5−m²）是正比例函数，
∴ 5 ﹣ m 2 =1 ，且 m ﹣ 1 ≠0，解得： m =±2 ，
∵图象在第二、第四象限，
∴ m -1<0 ，
解得： m <1 ，
∴m= ﹣ 2．
例3 已知关于x的正比例函数y=(m-3)x．
(1)当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？
(3)当m取何值时，点(1,3)在该函数图象上？
【分析】利用正比例函数图象与性质即可解答.
【解答】解:（1）∵函数图象经过第一、三象限，
∴ m -3>0 ，
∴ m >3 ，
∴当 m >3 时，函数图象经过第一、三象限．
（2）∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m-3<0，
∴m<3，
∴当m<3时，y的值随着x值的增大而减小．
（3）将点(1,3)代入y=(m-3)x得3=(m-3)×1，解得：m=6，
∴当m=6时，点(1,3)在该函数图象上．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨正比例函数的图象的特征，总结正比例函数图象的画法和性质；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.已知正比例函数 y＝k x（k≠0）的图象经过第一、三象限.则（A ）
A. y 随 x 的增大而增大B. y 随 x 的增大而减小
C. 当 x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0时，y 随 x 的增大而减小.
D. 无论 x 如何变化，y 不变.
2. 正比例函数y=kx和y=kx的图象如图，则k 和k 的大小关系是（ B ）
1 2 1 2
A. k=k B. k>k C .k0，故解得k>﹣1.
（2）若函数图象经过点（2，4），则k等于多少？
【解答】将坐标（2，4）带入函数表达式中，
得4=(k+1)·2，解得k=1.
题型一： 正比例函数图象与系数的关系
1．关于正比例函数y＝﹣3x，下列说法错误的是（ ）
A．其图象是一条经过原点的直线
B．其图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大
D．点（﹣2，6）在其图象上【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，进而可得出选项C的说法错
误．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的
增大而减小”是解题的关键．
2．下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
1
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=− x D．y＝﹣8x
2
【分析】先根据正比例函数中，y随x的增大而增大判断出k的符号，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵正比例函数中，y随x的值增大而增大，
∴k＞0，
A、k＝2＞0，故本选项符合题意；
B、k＝﹣2＜0，故本选项不符合题意；
1
C、k=− ＜0，故本选项不符合题意；
2
D、k＝﹣8＜0，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数 y＝kx（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而
增大是解答此题的关键．
3．在y＝k x中，y随x的增大而减小，k k ＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k x和y＝k x的图象大
1 1 2 1 2
致为（ ）
A． B．C． D．
【分析】先根据正比例函数的性质判断出k 的符号，即可根据k k ＜0判断k 的符号，再根据正比例函数
1 1 2 2
的性质判断即可．
【解答】解：∵在y＝k x中，y随x的增大而减小，
1
∴k ＜0，
1
∴函数y＝k x图象在二、四象限，
1
∵k k ＜0，
1 2
∴k ＞0，
2
∴函数y＝k x的图象在一、三象限，
2
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．
4．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图
所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象都在第一三象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y＝kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的
增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．5．已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限．
（1）求m的值；
3
（2）当− ≤x＜2时，求y的最小值．
4
【分析】（1）根据k＞0时，正比例函数的图象经过第一、三象限，列式计算即可得解；
（2）根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限，
可得：3m﹣2＞0，3﹣|m|＝1，
解得m＝2；
（2）由（1）知，m＝2，
∴正比例函数的解析式为y＝4x，
3
当x=− 时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝8，
4
3
∴当− ≤x＜2时，y的最小值是﹣3．
4
【点评】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，图象经过一、三
象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
题型二： 画正比例函数的图象
6．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
5
（1）y＝5x；（2）y=− x．
2
【分析】经过（0，0）和（1，k）作出正比例函数y＝kx的图象即可．
【解答】解：（1）y＝5x的图象经过（0，0）和（1，5），
图象为：5 5
（2）正比例函数y=− x的图象经过（0，0）和（1，− ），其图象为：
2 2
【点评】本题考查了正比例函数的图象的知识，了解正比例函数的图象所经过的点是解答本题的关键．
1
7．在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y=− x，y＝﹣0.6x的图象．
3
【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．
【解答】解：
x 0 1
y＝2x 0 2
1 0 1
y=− x −
3 3
y＝﹣0.6x 0 ﹣0.6【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画
出函数图象，再根据函数图象找出规律．
8．（1）画出函数y＝﹣x的图象；
3 3 3 3
（2）判断点A（− ， ），B（0，0），C（ ，− ）是否在函数y＝﹣x的图象上．
2 2 2 2
【分析】（1）画出函数图象即可；
（2）把各点坐标代入解析式判断即可．
【解答】解：（1）图象如图：
3 3
（2）把x=− 代入y＝﹣x= ，所以A在图象上；
2 2
把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在图象上；
3 3
把x= 代入y＝﹣x=− ，所以C在图象上．
2 2
【点评】此题考查正比例函数问题，关键是把各点坐标代入解析式判断．
1
9．已知函数y=(k+ )xk2−3 (k为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大．
2（1）求k的值；
（2）作出函数的图象；
（3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？
1
【分析】（1）根据此函数为正比例函数且正比例函数y随x的增大而增大，可得出k2﹣3＝1以及k+ ＞
2
0，即可求出答案；
（2）利用描点法作图即可；
（3）可令x分别等于a，a+1和a，a﹣2，求出相应的函数值，再求差即可解决问题．
1
【解答】解：（1）由题意得k2﹣3＝1且k+ ＞0，
2
解得k＝2；
（2）∵k＝2，
5
∴y= x，
2
∵图象过点（0，0）和（2，5），
∴函数图象如图：
5
（3）令x＝a，则y= a，
2
5 5 5
令x＝a+1，则y= （a+1）= a+ ，
2 2 2
5 5 5 5
∵ a+ − a= ，
2 2 2 2
5
∴当自变量x增加1时，y增加 ；
25
令x＝a，则y= a，
2
5 5
令x＝a﹣2，则y= （a﹣2）= a﹣5，
2 2
5 5
∵ a﹣5− a＝﹣5，
2 2
∴当自变量x每减少2，y减小5．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，函数的图象，熟知正比函数的图象与系数的关系是解题的关
键．
10．已知函数y＝2x﹣4．
（1）填表，并画出这个函数的图象：
x … 0 …
y＝2x﹣4 … 0 …
（2）根据函数y＝2x﹣4的性质或图象，直接写出x取何值时，﹣4≤y≤0．
【分析】（1）分别将x＝0，y＝0代入解析式求解，根据直线与坐标轴交点作图；
（2）由图象在x轴上方时x的取值范围求解．
【解答】解：（1）如图，
x … 0 2 …
y＝2x﹣4 … ﹣4 0 …
图象如图：（2）由图象可得，当﹣4≤y≤0时，x的取值范围为0≤x≤2．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数图象以及一次函数与方程及不等式
的关系．
题型三：利用正比例函数的性质比较函数值的大小
11．已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y ），点B（﹣2，y ），则（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y
1 2 1 2
C．y ＝y D．y 、y 无法比较大小
1 2 1 2
【分析】分别把点A（1，y ），点B（﹣2，y ）代入函数y＝3x，求出点y ，y 的值，再比较其大小即
1 2 1 2
可．
【解答】解：∵函数y＝3x的图象经过点A（1，y ），点B（﹣2，y ），
1 2
∴y ＝3，y ＝﹣6．
1 2
∵3＞﹣6，
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数
的解析式是解答此题的关键．
12．已知（x ，y ）和（x ，y ）是直线y＝﹣3x上的两点，且x ＞x ，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y
1 2 1 2
C．y ＝y D．以上都有可能
1 2【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x ＞x ，即可得出y ＜y ．
1 2 1 2
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵x ＞x ，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增
大而减小”是解题的关键．
13．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（ ）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞
0，n＜0．
【解答】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），
∴点A，B分别在一、三象限，
∴m＞0，n＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当 k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；
当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．
14．已知点A（x ，y ），B（x ，y ）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x ﹣x ＜0，则y y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x ﹣x ＜0，可得出y ＞
1 2 1
y ．
2
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（x ，y ），B（x ，y ）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x ﹣x ＜0，
1 1 2 2 1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是
解题的关键．
15．已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数．
（1）求m的值；（2）若点（a，y ），（a+1，y ）在该函数的图象上，请直接写出y ，y 的大小关系．
1 2 1 2
【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可求
出m的值；
（2）由m＝3，可得出k＝2m+6＝12＞0，利用正比例函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合
a＜a+1，即可得出y ＜y ．
1 2
【解答】解：（1）∵函数y＝（2m+6）x+m﹣3是正比例函数，
{2m+6≠0)
∴ ，
m−3=0
解得：m＝3，
∴m的值为3；
（2）∵m＝3，
∴k＝2m+6＝2×3+6＝12＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点（a，y ），（a+1，y ）在该函数的图象上，且a＜a+1，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，解题的关键是：（1）牢记“一般地，
形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数”；（2）牢记“k＞0，y随
x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”．
题型四：利用正比例函数的性质求参数的问题
16．已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围
是（ ）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0
【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
17．若一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣3的图象不经过第二象限，则（ ）
A．m＞2，n＞3 B．m＜2，n＜3 C．m＞2，n≥3 D．m＜2，n≤3
【分析】根据一次函数与系数的关系得到2﹣m＜0且n﹣3≥0，然后写出两个不等式的公共解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣m）x+n﹣3的图象不经过第二象限，即图象经过第一、三、四象限或图象经过一、三象限，
∴2﹣m＞0且n﹣3≤0，
∴m＜2，n≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于 y＝kx+b，当k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、
二、三象限；k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0 y＝⇔kx+b的图象在一、二、
四象限；k＜0，b＜0 y＝⇔kx+b的图象在二、三、四象限． ⇔
18．如果正比例函数y⇔＝（3k﹣2）x，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
【分析】根据正比例函数的性质即可得到关于k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（3k﹣2）x，y随着x的增大而减小，
∴3k﹣2＜0，
2
解得k＜ ．
3
2
故答案为：k＜ ．
3
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数 y＝kx（k≠0）中，当k＜0时，y随x的
增大而减小；当k＞0时，y随x的增大而增大是解题的关键．
1
19．已知函数y=(k+ )xk2−3（k为常数）．
2
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？
【分析】（1）由正比例函数的定义得到方程组解得即可；
（2）由正比例函数的性质即可得到结论；
（3）由正比例函数的性质即可得到结论．
{k2−3=1)
【解答】解：（1）依题意有 ，解得：k＝±2，
1
k+ ≠0
2
∴当k＝±2时，该函数是正比例函数；
（2）由（1）得，当k＝2时，正比例函数y随x的增大而增大；
（3）由（1）得，当k＝﹣2时，正比例函数y随x的增大而减少．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义，熟记函数的定义是解题的关键．20．按照下列条件求k的取值范围：
（1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限；
❑√2
（2）正比例函数y＝（1− k）x中，y随x的增大而增大；
2
（3）已知y＝（1﹣m） 的图象经过一、三象限．
xm2−1
【分析】（1）根据正比例函数图象在坐标平面内的位置与系数的关系作答；
（2）先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；
（3）根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＞0，解不等式即可求得k的取值范围；
【解答】解：（1）由正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第一、三象限，
可得：k﹣2＞0，则k＞2；
❑√2
（2）∵正比例函数y＝（1− k）x中，y随x的增大而增大，
2
❑√2
∴1− k＞0，解得k＜❑√2．
2
（3）由正比例函数y＝（1﹣m） 的图象经过一、三象限，
xm2−1
可得：m2﹣1＝1，且1﹣m＞0，
则m=−❑√2．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数 y＝kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而
增大．
▲1．画正比例函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线
▲2．正比例函数的图象：经过原点的直线.
当 k ＞ 0 时，经过第一、三象限；
当 k ＜ 0 时，经过第二、四象限.
▲3．正比例函数的性质：
当 k ＞ 0 时，y的值随x值的增大而增大；
当 k ＜ 0 时，y的值随x值的增大而减小.当|K|越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴 。
