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第四章 一次函数（复习讲义）
1. 了解函数、一次函数（含正比例函数）的意义，体会一次函数各知识点之间的整体联系。
2. 能用函数概念判断函数关系，能识别一次函数和正比例函数的表达式。
3. 理解一次函数y = kx + b的图象是直线，掌握k、b对图象性质（y随x的变化、与y轴交点）的影响。
4. 能利用一次函数建立模型，解决行程、成本利润、方案选择等实际问题。
知识点01 函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那
么就说y是x的函数，x是自变量。
知识点02 一次函数的表达式
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函
数。
知识点03 一次函数的图象与性质b
一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增
k
大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。
知识点04 一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合
图象或性质求解。
题型一 一次函数的图象和性质
【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）．
A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限
C．当 时， D．函数图象与y轴交点坐标为
【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于直线 ，下列说法正确的是（ ）
A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限
C．y随x的增大而增大 D．点 在直线l上
【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
①函数的图象与 轴的交点坐标是
②函数的图象经过第一、二、四象限
③若 两点在该函数图象上，且 ，则
④函数的图象向上平移1个单位长度得 的图象
A．① B．② C．③ D．④
【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数 的图象向上平移5个单位长
度得到一次函数 的图象，下列结论错误的是（ ）A．
B．一次函数 的图象经过点
C．对于一次函数 ，当 时，
D．若点 ， 均在一次函数 的图象上，则
题型二 利用一次函数的性质求解
【例2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若点 在一次函数 图象上，则
（填 ， 或 ）．
【变式2-1】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴的交点
分别为A、B，则 的长为 ．
【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 ，当 时，y的最大值是
．
【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数 ．
（1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ．
（2）当 时，函数y有最大值 ，则m的值为 ．
题型三 求一次函数的表达式
【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点.
(1)求一次函数的表达式；
(2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式.
【变式3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求m的值．
【变式3-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一
部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
(1)求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式；
(2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？
【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形 中，动点 在边上沿
的路径匀速运动． 的面积 与点 走过的路程 的关系图象如图2所示．
(1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
(2)探究 与 之间的关系表达式．
题型四 画一次函数的图象【例4】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数 的图象的过程．
列表：
x … 0 1 …
_____ _____ _____
y … …
_ _ _
描点并连线：
请根据上面的信息回答问题：
(1)补全表格中y对应的值．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数 的图象．
(3)若点 在函数 的图象上，求出m的值．
【变式4-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于
点 ， ．
(1)请直接写出 ， 两点坐标： ：______， ：______；(2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）；
(3)点 是一次函数 上一动点，则 的最小值为______．
【变式4-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）已知一次函数
x 1
y
(1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的
图象：
(2)根据图象回答下面的问题
①y的值随x的值的增大而______；
②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______；
③原点O到直线 的距离为______；
将直线 向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______．
【变式4-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数
的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题．
(1)列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 1 a b c 0 1 …
表中 ， ， ；(2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象；
(3)观察：观察图象，归纳一下两条性质：
图象关于直线 对称；
根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ；
(4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线 围成的区域内（不
包括边界）整点的个数为 ．
题型五 一次函数的实际应用
【例5】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从 ， 向甲、乙两地运送蔬菜， ， 两个蔬菜市场
各有蔬菜 吨，其中甲地需要蔬菜 吨，乙地需要蔬菜 吨，从 到甲地运费 元/吨，到乙地 元/吨；
从 地到甲运费 元/吨，到乙地 元/吨．
(1)设 地到甲地运送蔬菜 吨，请完成下表：
运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)
(2)设总运费为 元，请写出 与 的函数关系式．
运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)
【变式5-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，
现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往 农场和 农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦
化工厂运往 农场和 农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知 农场需要化肥1100吨， 农场需要化肥1400吨．
(1)如果设从长城化工厂运往 农场 吨化肥，求此时所需的总运费 （元）与 （吨）之间的函数关系式
（直接写出自变量 的取值范围）．
(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【变式5-2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营
店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案：
方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售；
方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠．
设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款 元，已知
关于x的函数图象如图所示．
(1)a的值为 ，b 的值为 ．
(2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围．
(3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值．
【变式5-3】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从
体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人
一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强
出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家．
(2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式．
(3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间．题型六 一次函数与几何图形的综合
【例6】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图
像与 轴、 轴分别交于点 、 ．
(1)求点A、B的坐标；
(2)若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标．
【变式6-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点
，点C在直线 上，其纵坐标为5．
(1)点B的坐标为________，点C的坐标为________；
(2)在x轴上找一点P，连接 ，使 的值最小，并求出点P的坐标．
【变式6-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
在y轴上有一点 ，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．(1)求A、B两点的坐标；
(2)求 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
(3)在M运动过程中，当 时，直接写出此时M点的坐标．
【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在
轴上， 边落在 轴上，且 ，动点 以 个单位每秒的速度从点 出发沿射
线 方向运动，运动时间为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)在点 的运动过程中，连接 ，设 的面积为 ，用含 的代数式表示 ，并直接写出 的取值范围；
(3)在点 的运动过程中是否存在某一时刻，使 是以 为斜边的直角三角形？如存在，求出 点坐
标；若不存在，请说明理由．
基础巩固通关测
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数 图象上的是（ ）A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）一次函数 的函数值 随 的增大而增大，当 时，
的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）关于函数 有下列结论，其中错误的是（ ）
A．若点 在图象上，则
B．图象经过点
C．图象向下平移2个单位长度得解析式为
D．与 轴交点坐标为
4．（2024·江西·模拟预测）碳酸钠的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则下列说法中正
确的是（ ）
A．当温度为 时，碳酸钠的溶解度为
B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．当温度为 时，碳酸钠的溶解度最大
D．当碳酸钠的溶解度为 时，温度为
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交
点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
6．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数 是关于x的一次函数，则 ．7．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知直线 是由直线 平移得到的，则直线 与
轴的交点坐标是 ．
8．（21-22八年级下·陕西商洛·期末）若 是y关于x的正比例函数，且点 ，
在该函数的图象上，则a，b的大小关系是 ．
三、解答题
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务： 种使用者先缴50元
月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元； 种不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指
市内通话）．若一个市内通话时间为 分钟，两种通讯方式的费用分别为 元和 元．
(1)写出 与 的关系式；
(2)一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知一次函数 ，完成下列问题：
(1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
(2)求直线与两坐标轴围成的面积．
11．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）已知 是 的正比例函数，且函数图象经过点 ．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)当 时，求对应的函数值 ；(3)已知点 在此函数图象上，求 的值．
12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利
600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案．
13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，点
是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像不经过第三象限
B．点 在直线 上
C．图像与直线 平行
D．若点 ， 在该函数图像上，则2．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交x轴，y轴
于点A，B，把直线 绕点O逆时针旋转 ，交y轴于点 ，交直线 于点C，则 的面积是
（）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）王红骑自行车去与家相距 的樱花园赏花游玩，王红以
的速度匀速骑行，出发 后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红
行驶的路线骑电动车以 的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥
从家出发到返回家中所用的时间是 ，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开
始，则哥哥和王红之间的距离 与王红的行驶时间 的函数关系图象为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八年级下·江西·竞赛）如图所示，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点C、D
分别为线段 、 的中点，点 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）直线 必经过一点，则该点的坐标是 ，平面直
角坐标系中有 三点，若直线 将 分成面积相等的两部分，则k的
值是 ．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业） “一山有四季，十里不同天”反映了海拔高度对气温的影响，海拔
越高，气温越低．根据气象研究，在最接近地球表面的对流层内，海拔x（千米）与气温y（℃）的关系如
图所示，则气温为0℃时的海拔为 千米．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ．
若 是 轴上一点，且 的面积为5，则点 的坐标为 ．
8．（20-21八年级下·湖北荆州·期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线 平分这
8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点 ，则点 的坐标为 ．三、解答题
9．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知直线 与x轴、y轴分别交于点A，B．
(1)请在图中直接画出直线 的图象；
(2)判断点 是否在直线 上，若在，请说明理由；若不在，请求出 的面积．
10．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与两坐标轴分别
相交于A、B两点，直线 与 相交于点 ．
(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)若直线 将 的面积分成 的两部分，求直线 的函数关系式．
11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，
爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）
与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)小轩减速前的速度为 米/分钟；
(2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
(3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于A、B两点，
平分 交y轴于E，点C为直线 上在第一象限内一点．求：
(1)求 的长；
(2)点E的坐标，并求出直线 的解析式；
(3)若将直线 沿射线 方向平移 个单位，请直接写出平移后的直线解析式．
(4)求直线 关于直线 对称的直线解析式
