文档内容
2022-2023 学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练
第 4 章《一次函数》
知识互联网
知识导航
知识点01：函数的相关概念
x y x y
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确
x y x
定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
y x x a y b b a
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
知识点02：一次函数的相关概念y kxb k b k b
一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， ≠0.特别地，当 ＝0时，一次函数
y kxb y kx k
即 （ ≠0），是正比例函数.
知识点03：一次函数的图象及性质
1、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图
形，就是这个函数的图象.
细节剖析：
y kxb y kx b b b
直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 ＞0时，向上平移；当 ＜0时，
y kxb y kx
向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）细节剖析：
k b ykxb
理解 、 对一次函数 的图象和性质的影响：
k y kxb b y
（1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小——倾斜程度）， 决定它与 轴交
k b ykxb
点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限．
l y k xb l y k xb
（2）两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定：
k k l l
1 2 1与 2相交；
k k b b l l
1 2，且 1 2 1与 2平行；
k k b b l l
1 2，且 1 2 1与 2重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
xa y b
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图象.
知识点04：用函数的观点看方程、方程组、不等式
函 数 问 题
方程（组）、不等式问题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于x、 y 的一元一次 确定直线 y axb与 x轴
x为何值时，函数 y axb的
方程axb＝0（a≠0）
（即直线
y
＝0）交点的横坐
值为0？
的解 标
求关于x、 y 的二元一次
ya xb， x为何值时，函数 y a xb 确定直线 y a xb 与直线
1 1 1 1 1 1
方 程 组 的
ya xb． 与函数y a xb 的值相等？ y a xb 的交点的坐标
2 2 2 2 2 2
解．
求关于 x 的一元一次不等 确定直线 y axb在 x轴
x为何值时，函数 y axb的
式axb＞0（a≠0）的
（即直线
y
＝0）上方部分的
值大于0？
解集 所有点的横坐标的范围
考点提优练
考点01：一次函数图象与几何变换
1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（ ）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若A（x，y），B（x，y）两点在该函数图象上，且x＜x，则y＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
解：A、令y＝﹣2x+4中y＝0，则x＝2，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项不符合题意；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，即函数的图象不经过第三象限，故本选项符合题意；
C、根据平移的规律，函数的图象向上平移 4个单位长度得到的函数解析式为y＝﹣2x+4+4，即y＝﹣
2x+8，故本选项不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∴若A（x，y），B（x，y）两点在该函数图象上，且x＜x，则y＞y，故本选项不符合题意．
1 1 2 2 1 2 1 2
故选：B．
2．（2020秋•碑林区校级期中）将直线 y＝﹣3x沿着x轴向右平移 2个单位，所得直线的表达式为
（ ）
A．y＝﹣3x+6 B．y＝﹣3x﹣6 C．y＝﹣3x+2 D．y＝﹣3x﹣2
解：根据题意，得直线向右平移2个单位，
即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，
所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．
故选：A．
3．（2021秋•溧水区期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，
将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 y ＝﹣ 0. 5x + 5 ．
解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点A（2，4）
∴4＝2k，
解得：k＝2，∴y＝2x；
∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，
∴OB＝2，AB＝4，
∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，
∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4
∴C（6，2）
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得： ，
解得： ，
所以解析式为：y＝﹣0.5x+5
4．（2020秋•盱眙县期末）将函数y＝3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式
为 y ＝ 3x ﹣ 1 ．
解：∵y＝3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝3x﹣1，
即y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
5．（2022春•宁陵县期末）因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们
定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．
（1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数： y ＝﹣ 3x ﹣ 2 ；
（2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B、C两点，
如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析
式．
解：（1）根据题意可得：函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：y＝﹣3x﹣2；
故答案为：y＝﹣3x﹣2；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO，
∴设AO＝BO＝CO＝x，根据题意可得： x×2x＝16，
解得：x＝4，
则B（﹣4，0），C（4，0），A（0，4），
将B，A分别代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
故其函数解析式为：y＝x+4，
故其“镜子”函数为：y＝﹣x+4．
6．（2021•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平
移得到，且经过点（1，2）．
（1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象并求该一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，求出m的取
值范围．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2），解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
7．（2022秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l，l，给出如下定义：
1 2
将图形G先沿直线l翻折得到图形G，再将图形G沿直线l翻折得到图形G，则称图形G是图形G的
1 1 1 2 2 2
＜l，l＞双反图形．
1 2
例如：点P（1，2）的＜x轴，y轴＞双反图形是点P'（﹣1，﹣2）．
（1）点Q（3，﹣2）的＜x轴，y轴＞双反图形点Q'的坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，3），直线m经过点（﹣1，﹣1）．
①当t＝﹣2，且直线m与y轴平行时，点C的＜x轴，m＞双反图形点C'的坐标为 （ 0 ，﹣ 3 ） ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的＜x轴，m＞双反图形上只存在两个与x轴的距离为1的点，直接写
出t的取值范围．
解：（1）由题意知（3．﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（3，2）；（3，2）沿y轴翻折得点坐标为（﹣3.2），
∴点Q（3，﹣2）的＜x轴，y轴＞双反图形点Q'的坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3.2）；
（2）①当t＝﹣2时，C点坐标为（﹣2，3），
∵直线m经过点（﹣1，﹣1），且直线m与y轴平行，
∴直线m为x＝﹣1，
∴（﹣2.3）沿x轴翻折得点坐标为（﹣2，﹣3），
（﹣2，﹣3）沿直线x＝﹣1翻折得点坐标为（0，﹣3），
∴C′（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）；
②∵直线m经过原点，且经过点（﹣1，﹣1），
∴直线m为y＝x，
A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：（t，﹣1）、（t﹣4，﹣1）、（t，﹣3），
A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣4）、（﹣3，t），
由题意可知：|t|＜1或|t﹣4|＜1，
解得：﹣1＜t＜1或3＜t＜5，
∴t的取值范围为﹣1＜t＜1或3＜t＜5．
8．（2017秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：
（1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 4 ；
（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是 ﹣ 4 ≤ y ≤ 4 ；
（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．
解：（1）令y＝0，解得x＝2，
∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣4），
∴此三角形的面积S＝4（2）画图如下：
由图可知，y的取值范围为﹣4≤y≤4．
（3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，将（﹣3，1）代入，解得b＝7．
∴函数解析式为y＝2x+7．
故答案为：4；﹣4≤y≤4
考点02：待定系数法求一次函数解析式
9．（2022•灞桥区校级模拟）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴距
离为4，则直线OM的表达式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴距离为4，M在第二象限，
∴M（﹣4，3），
设OM的解析式为y＝kx+b，
将点O（0，0），M（﹣4，3）代入，得
，
∴ ，
∴y＝﹣ x，
故选：B．
10．（2021秋•襄都区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），B（1，2），C（5，
2），直线l经过B，C两点的中点，则直线l的表达式为（ ）注：点A（x，y），点B（x，y）两点的中点坐标公式是（ ， ）．
A A B B
A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+6
解：∵B（1，2），C（5，2），
∴线段BC的中点坐标为（ ， ），即（3，2），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（2，4），（3，2）分别代入得 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+8．
故选：B．
11．（2021秋•无锡期末）当光线射到x轴进行反射，如果反射的路径经过点A（0，1）和点B（3，4），
则入射光线所在直线的解析式为 y ＝﹣ x ﹣ 1 ．
解：设反射光线的直线解析式为y＝kx+b，
∵反射的路径经过点A（0，1）和点B（3，4），
∴ ，
解得k＝1，b＝1，
∴反射光线的直线解析式为y＝x+1，
根据入射光线和反射光线轴对称，
故知入射光线的解析式为y＝﹣x﹣1，
故答案为y＝﹣x﹣1．
12．（2021秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣1，2），C（3，2），
直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为 y ＝﹣ 2x + 4 ．解：设直线l与BC交于点D，
∵直线l经过点A，并将△ABC分成面积相等的两部分，
∴AD是△ABC的中线，
又∵B（﹣1，2），C（3，2），
∴D点坐标为（ ， ），即D（1，2），
设直线l的表达式为y＝kx+b，把A（0，4），D（1，2）代入，可得：
，
解得 ，
∴直线l的表达式为y＝﹣2x+4，
故答案为：y＝﹣2x+4．
13．（2022秋•市中区期中）如图，已知点A（6，0）、点B（0，4）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）着C为直线AB上一动点，当△OBC的面积为3时，求点C的坐标．解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
由题意得 ，
解得k＝﹣ ，b＝4，
∴直线AB所对应的函数表达式为y＝﹣ x+4．
（2）由题意得OB＝4．
又∵△OBC的面积为3，
∴△OBC中OB边上的高为3．
当x＝﹣ 时，y＝﹣ x+4＝4；
当x＝ 时，y＝﹣ x+4＝3．
∴点C的坐标为（﹣ ，4）或（ ，3）．
14．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系内有三点A（0，4），B（﹣3，1），C（1，6）．
（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）．
（2）判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由．
解：（1）设A（0，4），B（﹣3，1）两点所在直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式y＝x+4．
（2）当x＝1时，y＝1+4≠6，
∴点C（1，6）不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．
15．（2022•陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …
输出y … ﹣6 ﹣2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为 8 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．
解：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，
故答案为：8；
（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得 ，
解得 ；
（3）令y＝0，
由y＝8x得0＝8x，
∴x＝0＜1（舍去），
由y＝2x+6，得0＝2x+6，
∴x＝﹣3＜1，
∴输出的y值为0时，输入的x值为﹣3．
考点03：一次函数与一元一次方程
16．（2019秋•宁德期末）如图，已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x
的方程ax﹣1＝mx+4的解是（ ）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝4
解：∵一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点P（3，1），
∴ax﹣1＝mx+4的解是x＝3．
故选：C．
17．（2021秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x
＝b﹣2的解为 x ＝ 3 ．
解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．
∵直线y＝x+b和ax+2交于点P（3，﹣1），
∴当x＝3时，x+b＝ax+2＝﹣1，
即关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
18．（2021春•呼和浩特期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y＝ x的图象相
交于点M（a， ），则关于x的方程（k﹣ ）x＝b的解为x＝ ．
解：把M（a， ）代入y＝ x得： ＝ a，
解得a＝ ，
∴M（ ， ），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝ x的解为 ，
∴关于x的方程（k﹣ ）x＝b的解为x＝ ．
故答案为： ．19．（2021春•汉阴县期末）如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程
3x+b＝ax﹣2的解为x＝ ﹣ 2 ．
解：∵直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，
∴当x＝﹣2时，3x+b＝ax﹣2，
∴关于x的方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2．
故答案为﹣2．
20．（2017秋•芷江县校级月考）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象
信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？
解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝4时，x+1＝4，
解得：x＝3，∴方程kx+b＝4的解为x＝3．
21．（2021秋•永登县校级期中）已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；
（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
解：（1）∵一次函数y＝kx﹣6的图象过点（4，0），
∴4k﹣6＝0，
∴k＝ ；
（2）列表：
描点：在平面直角坐标系中描出两点（0，3）、（1，0），
连线：过点（0，3）、（1，0）画直线，得出一次函数y＝﹣3x+3的图象；
（3）一次函数y＝kx﹣6与y＝﹣3x+3的图象交于点（2，﹣3），
则关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解为x＝2．考点04：根据实际问题列一次函数关系式
22．（2021春•遂宁期末）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（ ）
A．y＝20﹣2x B．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5x D．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，则20﹣2x＞0，
解得：x＜10，
由两边之和大于第三边，得x+x＞20﹣2x，
解得：x＞5，
综上可得：y＝20﹣2x（5＜x＜10）
故选：B．
23．（2013秋•岱岳区期末）油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q
（升）与流出的时间t（分）间的函数关系式是（ ）
A．Q＝20﹣5t B．Q＝ t+20 C．Q＝20﹣ t D．Q＝ t
解：∵100分钟可流完20升油，
∴1分钟可流油20÷100＝ 升，
∴t分流的油量为 t，
∴Q＝20﹣ t．
故选：C．
24．（2021•饶平县校级模拟）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）
的函数关系式为 y ＝ 3x +1 0 （不需要写出自变量取值范围）
解：弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10，
故答案为：y＝3x+10
25．（2021春•漳平市月考）某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个
零件，增加收入1.5元．写出该工人一天的收入y（元）与他生产的零件x（个）的函数关系式 y ＝
1. 5x ﹣ 2 ．
解：∵他一天生产零件x个，定额20，
∴一天超额生产零件的收入为：1.5×（x﹣20），
∴该工人一天的收入y（元）与他生产的零件x（个）的函数关系式为：y＝28+1.5×（x﹣20），即y＝
1.5x﹣2．
故答案为：y＝1.5x﹣2．
26．（2019春•城固县期末）一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．
（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
解：（1）∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y＝105﹣10t（0≤t≤10.5）；
（2）∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0，
∴105﹣10t＝0，
解得：t＝10.5，
∴该蚊香可点燃10.5小时．
27．（2018秋•桐城市期末）已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关
系式，并求出自变量x的取值范围．
解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，即x＜10，
∵两边之和大于第三边，
∴x＞5，
综上可得5＜x＜10．
考点05：一次函数的应用
28．（2022春•镇平县月考）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千
米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（ ）
A．两车同时到达乙地
B．轿车行驶1.3小时时进行了提速
C．货车出发3小时后，轿车追上货车
D．两车在前80千米的速度相等
解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故选项A错误；
轿车行驶了（2.5﹣1.2）＝1.3小时时进行了提速，故选项B正确；
货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC段对应的速度是：80÷（2.5﹣1.2）＝ 千米/时，
故选项D错误；
设货车对应的函数解析式为y＝kx，
5k＝300，得k＝60，
即货车对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段轿车对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得 ，
即CD段轿车对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令60x＝110x﹣195，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，
故选：B．
29．（2022秋•定远县校级月考）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所
示的长方形菜园ABCD，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边
BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（ ）A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12） B．y＝﹣ x+6（4＜x＜12）
C．y＝2x﹣12（0＜x＜12） D．y＝ x﹣6（4＜x＜12）
解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m，
∴2y+x＝12，
∴y＝﹣ x+6，
∵y＞0，x＞y，
∴ ，
解得4＜x＜12，
∴y＝﹣ x+6（4＜x＜12），
故选：B．
30．（2022秋•罗湖区校级期中）小刚从家出发步行去学校，几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回
并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍跑步回家，爸爸追上
小刚后以原速的0.5倍原路步行回家，而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校
（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的时间
x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 16 0 m/min．
解：由图可知，小刚和爸爸相遇后，到小刚爸爸回到家用时17﹣15＝2（分钟），∵爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家，
∴小刚打完电话到与爸爸相遇用的时间为1分钟，
∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，
∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米，
∴小刚后来的速度为：1040﹣720＝320（米/分钟）．
∴小刚步行的速度为：160米/分．
故答案为：160．
31．（2021秋•长清区期末）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，
先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的
时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是 ①②③ （填序号）．
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
③甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒；
④乙到达终点时，甲距离终点还有80米．
解：由图象可知，乙80秒到达终点，
∴400÷80＝5（米/秒），
∴乙的速度为5米/秒，
故①正确；
由图象可知，甲3秒行12米，
∴12÷3＝4（米/秒），
∴甲的速度是4米/秒，
甲、乙两人第一次相遇，则12+4x＝5x，
解得x＝12，
∴5×12＝60（米），
∴甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米，故②正确；
当x＝12时，两人第一次相遇，即y＝0；
当x＝80时，乙行400米，甲行4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
此时两人的距离是68米，
即当x＝80时，y＝68，
设当12≤x≤80时，y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴y＝x﹣12，
当y＝40时，则x﹣12＝40，
解得x＝52，
∴52+3＝55（秒），
当甲距离终点40米时，则12+4x+40＝400，
解得x＝87，
∴87+3＝90（秒），
∴甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒，
故③正确；
由图象可知，乙80秒到达终点，行400米，
此时甲跑的距离为4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
∴乙到达终点时，甲距离终点还有68米，
故④错误，
故答案为：①②③．
32．（2021秋•九龙坡区校级月考）某自动贩卖机售卖A、B两种盲盒，B种盲盒的价格比A种盲盒价格的6
倍少60元，该贩卖机存储的A种盲盒不低于22个，B种盲盒的数量不少于A种的2倍，且最多可存储
两种盲盒100个，某天上午售卖后，工作人员及时补货，将售卖机装满，该天下午，由于系统bug，B
种盲盒的价格变为原来A种的价格，而A种的价格变为原来价格的5倍少50元后再打了个六折，下午A
种盲盒的销量变为上午的2倍，而B种盲盒的销量不变，结果上午的销售额比下午多390元，其中两种
盲盒的价格均为整数，则下午贩卖的盲盒的销售额最多可为 808 0 元．解：设A种盲盒的价格为x元，则B种盲盒的价格为（6x﹣60）元，A种盲盒的数量为a个，B种盲盒的
数量为b个，根据题意得：
，
解得： ，
又因为6x﹣60＞0，
解得：x＞10，
设上午A种盲盒售出m个，B种盲盒售出n个，则上午的销售额为mx+n（6x﹣60），
该天下午，A种盲盒的价格为0.6（5x﹣50）元，即（3x﹣30）元，B种盲盒的价格为x元，
A种盲盒售出2m个，B种盲盒售出n个，则下午的销售额为nx+2m（3x﹣30）＝nx+6mx﹣60m，
由上午的销售额比下午多390元，得：
mx+n（6x﹣60）﹣nx﹣2m（3x﹣30）＝390，且2m≤a，
因为 ，
所以 ，
即（5n﹣5m）x﹣60n+60m＝390，且0＜m≤16，
（n﹣m）（x﹣12）＝78，且0＜m≤16，
下午的销售额y＝nx+6mx﹣60m＝nx+6m（x﹣10），
因为x﹣10＞0，
则当m取最大值的时，销售额取得最大值，
因为0＜m≤16，
所以m＝16，
所以nx+6m（x﹣10）＝nx+6×16×（x﹣10）＝nx+96x﹣960＝（n+96）x﹣960，
令y＝（n+96）x﹣960，
因为n+96＞0，
所以当x取得最大值时，y取得最大值，
因为（n﹣16）（x﹣12）＝78，
且78＝6×13或3×26或2×39或1×78，n≤78，
所以 或 ， 或 ，解得： ， ， ， （舍去），
所以当 时，
y＝（n+96）x﹣960＝（17+96）×80﹣960＝8080．
故答案为：8080．
33．（2022春•沙坪坝区校级月考）“最是一年春好处”，小墩和小融约定好从各自家里出发，自驾去近
郊踏青赏花，小墩家、小融家以及他们的目的地在同一条直线上，小墩从家出发1小时之后，小融才从
家出发，先到的人在目的地等待，他们二人与小墩家的距离y（千米）与小墩行驶的时间x（小时）之
间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）小墩的速度为 5 0 千米/小时，小融的速度为 7 5 千米/小时；
（2）当小融追上小墩时，他们与目的地的距离为多少千米？
（3）小融从家里出发后，当两人相距10千米时，一辆花车沿同一路线从后面追上他们其中一人，已知
这辆花车的速度为90千米/小时，当花车继续前行追上前方另一人时，求前一个被花车追上的人此时与
目的地的距离．
解：（1）小墩的速度为150÷3＝50（千米/小时），
小融的速度为（150﹣30）÷（2.6﹣1）＝75（千米/小时），
故答案为：50，75；
（2）由（1）可知小墩行驶的路程与时间的函数关系为y＝50x，
设小融行驶的路程与时间的函数关系为y＝kx+b，
将（1，30），（2.6，150）代入可得： ，
解得 ，
∴小融行驶的路程与时间的函数关系为y＝75x﹣45，
令50x＝75x﹣45，解得x＝1.8，
∴在小墩出发1.8小时后被小融追上，
此时距离目的地距离：150﹣1.8×50＝60 （千米），
当小融追上小墩时，他们与目的地的距离为60千米；
（3）①小墩在小融前10千米处，
由题意可得：50x＝75x﹣45+10，
解得：x＝1.4，
∴在1.4小时处，花车追赶上小融，
此时花车追赶小墩的时间：10÷（90﹣50）＝0.25（小时），
∴在1.65小时处，花车追赶上小墩，
此时小融距离目的地的距离为：150﹣（75×1.65﹣45）＝71.25（千米），
故前一个被花车追上的人此时与目的地的距离为71.25千米；
②小融在小墩前10千米处，
由题意可得：50x+10＝75x﹣45，
解得：x＝2.2，
∴在2.2小时处，花车追赶上小墩，
此时花车追赶小墩的时间：10÷（90﹣75）＝0.4 （小时），
∴在2.6小时处，花车追赶上小融，
此时小墩距离目的地的距离为150﹣50×2.6＝20 （千米），
故前一个被花车追上的人此时与目的地的距离为20千米．
综上，前一个被花车追上的人此时与目的地的距离71.25千米或20千米．
34．（2022•无棣县一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v、v（单位：km/h，且v＞
1 2 1
2v）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v匀速返回甲地，设慢车行驶的时间
2 1
为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x
之间的函数关系．
（1）甲乙两地相距 900 km；点A实际意义： 快车行驶 6h 时到达乙地，此时慢车距离乙地 54 0k m
；
（2）求a，b的值；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？解：（1）由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km，
如图，过点B向y轴作垂线，过点A作x轴的垂线，
由图可知，AB段表示快车在乙地停留的2h，
此时，慢车走的路程为60×2＝120（km），
∴c＝540﹣120＝420（km），a＝ ＝8（h），
∴a﹣2＝6（h），
∴A（6，540），
∴点A的实际意义是：快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km，
故答案为：900；快车行驶6h时到达乙地，此时慢车距离乙地540km；
（2）由OA段可知，快车的速度﹣慢车的速度＝ ＝90（km/h），
∴快车的速度为150（km/h），快车的速度为 ＝150（km/h），
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝900﹣60x，
1
所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝（60+150）（x﹣10）＝210x﹣2100；
2
根据快车的运动可知，点D表示的含义是当快车行驶xh时，快车到达甲地，乙车距离甲车的距离为b，
又点D的横坐标为：900×2÷150+2＝12+2＝14，此时b＝60×14＝840（km），
即a的值为8，b的值为840；
（3）如图，作y＝480，
①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y＝90x（0≤x＜6），
3
令y＝480，得x＝ ，
3
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣60x+900（6≤x＜8），
1
令y＝480，得x＝7，
1
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝210x﹣2100（10≤x＜14），
2
令y＝480，得x＝ ．
2
答：慢车出发 h，7h， h后，两车相距480km．
35．（2021秋•锡山区期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图 1，在相距100个单位长度
的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定
不低于甲的速度匀速往返干端点B、A之间，他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇
这两种．
设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相
遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
【观察】请直接写出：当x＝20时，y的值为 6 0 ；当x＝40时，y的值为 8 0 ；
【发现】兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（如图2中的线段OM，但不包
括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝ ；②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象，标出关键点的坐标；
【拓展】设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相
遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是 0 ＜ x ≤ 8 或
4 0 ≤ x ≤ 4 8 （直接写出结果）．
解：【观察】当x＝20时，相遇地点与点A之间的距离为20个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为100﹣20＝80个单位长度，
设电子虫甲的速度为v，
∴电子虫乙的速度为 v＝4v，
∴电子虫甲从相遇点到点B所用的时间为 ，
电子虫乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为 ＝ ，而 ＞ ，
∴电子虫乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和电子虫甲第二次迎面相遇，
∵他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，
根据题意得：20+100+100﹣y＝4（y﹣20），
∴y＝60，
当x＝40时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为100﹣40＝60个单位长度，
设电子虫甲的速度为v'，
∴电子虫乙的速度为 v'＝ v'，
∴电子虫乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为 ＝ ，电子虫甲从相遇点到点B所用时间为 ，
∵ ＞ ，
∴电子虫甲从第一次相遇点到点B，再返回A，在返回A的途中与返回B的电子虫乙第二次迎面相遇，
根据题意得：40+y＝ （60+100﹣y），
∴y＝80，
故答案为：60，80；
【发现】①由函数图象可知，第一次相遇距A地a个单位，第二次相遇距A地第100个单位（B地），
设电子虫甲的速度为v，则电子虫乙的速度为 v，
根据题意知， v＝2v，
∴a＝ ，
故答案为： ；
②当0＜x≤ 时，点M（ ，100）在线段OM上，
∴线段OM的表达式为y＝3x，
当v＜ v时，即当 ＜x＜50，此时，第二次相遇地点是电子虫甲在到点B返回向点A时，
设电子虫甲的速度为v，则电子虫乙的速度为 ，
根据题意知，x+y＝ （100﹣x+100﹣y），
∴y＝﹣3x+200，
即：y＝ ，
补全图形如下：【拓展】①如图，
由题意知， ＝ ，
∴z＝5x，
∵0＜y≤40，
∴0＜x≤8；
②如图，
∴ ＝ ，
∴z＝﹣5x+200，
∵0≤z≤40，
∴32≤x≤40，
③如图，由题意得， ＝ ，
∴z＝5x﹣200，
∵0≤z≤40，
∴40≤x≤48，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤8或40≤x≤48，
故答案为：0＜x≤8或40≤x≤48．
考点06：一次函数综合题
36．（2020秋•福田区校级期中）已知直线l：y＝kx+b与直线l：y＝﹣ x+m都经过C（﹣ ， ），直
1 2
线l交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，
1 2
有以下说法：
①方程组 的解为 ；
②△BCD为直角三角形；
③S ＝6；
△ABD
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：①∵直线l：y＝kx+b与直线l：y＝﹣ x+m都经过C（﹣ ， ），
1 2
∴方程组 的解为 ，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣ ， ）代入直线l：y＝kx+b，可得 ，解得 ，
1
∴直线l：y＝2x+4，
1
又∵直线l：y＝﹣ x+m，
2
∴直线l与直线l互相垂直，即∠BCD＝90°，
1 2
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣ ， ）代入直线l：y＝﹣ x+m，可得m＝1，
2
y＝﹣ x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
1
∴A（﹣2，0），∴AO＝2，
∴S ＝ ×3×2＝3，
△ABD
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣ x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
37．（2020•深圳模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这
八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝ x+ B．y＝ x+ C．y＝ x+ D．y＝ x+
解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，
∴ BP•AB＝5，
∴AB＝2.5，
∴OA＝3﹣2.5＝0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y＝kx+b，则 ，解得 ．
∴直线l解析式为y＝ x+ ．
故选：A．
38．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E
是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 1 或 3
．
解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝ ＝ ，
∴GE＝ ＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝ ，
∴点F（ ，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝ k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
39．（2019•站前区校级一模）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连
接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP
交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 （ ， ）或（ ， ） ．
解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．∵AB⊥OB，
∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，
∴四边形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴OE＝PE＝BF＝2，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，
∴∠ECP＝∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
，
∴△CPE≌△PDF（AAS），
∴DF＝PE＝2，
∴BD＝BF+DF＝4，
∵BD＝4AD，
∴AD＝1，AB＝OB＝5，
∴CE＝PF＝3，
∴D（5，4），C（0，5），
设直线CD的解析式为y＝kx+b则有 ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝﹣ x+5，
由 解得 ，∴点Q的坐标为（ ， ）．
当点D在直线OP的上方时，同法可得C（0，3），D（3，4），
∴直线CD的解析式为y＝ x+3，
由 ，解得 ，
∴Q（ ， ），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（ ， ）或（ ， ）．
40．（2022秋•定远县校级月考）如图，已知直线y＝kx+b经过点B（1，4），与x轴交于点A（5，0），
与直线y＝2x﹣4交于点C（3，m）．
（1）求直线AB的函数表达式及m的值；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式组2＜kx+b＜4的解集： 1 ＜ x ＜ 3 ；
（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴交直线y＝2x﹣4于点Q，若点C到线段PQ的距离为
1，求点P的坐标和点Q的坐标．
解：（1）将（1，4），（5，0）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴y＝﹣x+5．
将（3，m）代入y＝2x﹣4得m＝6﹣4＝2．
（2）∵点B坐标为（1，4），点C坐标为（3，2），
由图象得1＜x＜3时，2＜kx+b＜4，故答案为：1＜x＜3．
（3）∵点C到线段PQ的距离为1，点C横坐标为3，
∴点P，Q横坐标为3﹣1＝2或3+1＝4，
将x＝2代入y＝﹣x+5得y＝﹣2+5＝3，
∴点P坐标为（2，3），
将x＝2代入y＝2x﹣4得y＝4﹣4＝0，
∴点Q坐标为（2，0），
将x＝4代入y＝﹣x+5得y＝﹣4+5＝1，
∴点P坐标为（4，1），
将x＝4代入y＝2x﹣4得y＝8﹣4＝4，
∴点Q坐标为（4，4），
综上所述，点P，Q坐标为（2，3），（2，0）或（4，1），（4，4）．
41．（2022秋•南山区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经
过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求点P坐标．
（4）在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S ＝ ×9×6＝27，
△ABC
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S ：S ＝1：2时，即S ＝ S ＝9，
△ABG △ACG △ABG △ABC
∴ ×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S ：S ＝2：1时，即S ＝ S ＝18，
△ABG △ACG △ABG △ABC
∴ ×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
（3）设P（n，2n+6），则Q（n，﹣n+6），
∴PQ＝|2n+6+n﹣6|＝|3n|，
∵PQ＝OB＝6，
∴|3n|＝6，
∴n＝2或n＝﹣2，
∴P（2，10）或（﹣2，2）．
（4）若△MAC是等腰三角形可分三种情况：
①若CA＝CM，
∵CO⊥AM，
∴OM＝OA＝3，
∴点M（3，0）．
②若AM＝AC，∵A（﹣3，0），C（0，6），
∴AC＝ ＝3 ，
∴AM＝AC＝3 ，
∴点M为（3 ﹣3，0）或（﹣3 ﹣3，0）．
③若MA＝MC，
设OM＝x，则MC＝MA＝OM+OA＝x+3，
在Rt△MOC中，根据勾股定理可得：x2+62＝（x+3）2，
解得：x＝ ，
∴点M为（ ，0），
综上所述：点M的坐标为（3，0）或（3 ﹣3，0）或（﹣3 ﹣3，0）或（ ，0）．
42．（2022秋•天桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝x，直线l与x轴交于点
1 2
A，与y轴交于点B（0，3），与l交于点C（2，m）．
1
（1）求出直线l的函数关系式；
2
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l、l交于点M、N，
1 2
①当点M在点N的上方，且满足MN＝OB时，请求出点M与点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足
条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点C（2，m）代入y＝x，
∴m＝2，
∴C（2，2），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
2∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+3；
（2）①设M（t，t），N（t，﹣ t+3），
∵点M在点N的上方，
∴t＞2，
∵MN＝OB，
∴ t﹣3＝3，
解得t＝4，
∴M（4，4），N（4，1）；
②存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，理由如下：
点M在点N的下方时，t＜2，
当∠NMQ＝90°时，MN＝MQ，此时Q（0，t），
∴﹣ t+3＝|t|，
解得t＝ 或t＝6（舍），
∴Q（0， ）；
当∠MNQ＝90°时，NQ＝MN，此时Q（0，﹣ t+3），
∴﹣ t+3＝|t|，
∴t＝ 或t＝6（舍），
解得t＝ ，
∴Q（0， ）；当∠MQN＝90°时，MN的中点坐标为（t， t+ ），
∴Q（0， t+ ），
∵|t|＝ （﹣ t+3），
解得t＝﹣6或t＝ ，
∴Q（0，0）或（0， ）；
综上所述：Q点坐标为（0， ）或（0， ）或（0，0）或（0， ）
