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专题 4.2 认识一次函数
1. 结合“匀速运动”“费用计算”等实例，感受变量的均匀变化规律，理解一次函
数、正比例函数的概念，掌握解析式y=kx+b（k≠0）的特征。
教学目标 2. 能辨析一次函数与正比例函数的区别与联系，会判断给定函数是否为一次函数。
3. 经历从实际问题中抽象出一次函数关系式的过程，初步体会模型思想，发展抽象
思维。
1.重点
（1）核心是理解一次函数的概念本质，即变量间的线性对应关系，准确把握其解析
式中k≠0、x为一次项的关键特征。
（2）能根据具体情境（如弹簧长度、耗油量）中的数量关系，列出一次函数表达
教学重难点 式，并明确正比例函数是其特殊形式。
2.难点
（1）难以从实际问题的复杂信息中提炼出线性关系，对“均匀变化”的感知不敏
锐，抽象出函数关系式时易出错。
（2）对解析式中k≠0的限制条件理解模糊，判断函数类型或求参数值时，常忽略此关键前提。
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，
其中 是 的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知 .
(1)当m，n为何值时， 是 的一次函数？
(2)当m，n为何值时， 是 的正比例函数？
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B． C． D．
2．写出下列各题中 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数，是否为 的正比例函数．
①等边三角形的周长 与边长 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量 （升）与已行驶的
距离 （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步
价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用
（元）与乘车距离 （千米）（ ）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为 ，底面是正方形，求这个长方体的体积 （ ）与底面边长 （ ）之间
的关系．题型01 正比例函数的定义
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列各函数中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 一次函数的识别
【典例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②④ B．①③ C．①② D．②④
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，① ；② ；③
；④ ，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）有下列五个式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，表示y是x的一次函数的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
题型03 根据一次函数的定义求参数【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数 ．
（1）当 时， 是 的一次函数；
（2）当 时， 是 的正比例函数．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若 是关于x的一次函数，则 ．
【变式2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数．
【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数 是一次函数，则k的值是
．
题型04 求一次函数自变量或函数值
【典例4】（2025·江苏泰州·三模）已知点 在一次函数 的图象上，则 的值为
．
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在一次函数 的图象上，则
的值是 ．
【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点 在直线 上，则代数式 的值是
．
【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数 ．
(1)求当 时，函数y的值；
(2)求当 时，自变量x的值．
题型05 列一次函数解析式并求值
【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表
示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【变式2】如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以 的速度向丙地行驶．
设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；（2）当 时，求 的值．
【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，
某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，
多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本
笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和 本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
元，选择第二种方案购买所需费用为 元．
(1)请分别写出 ， 与x之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为
优惠．
题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式
【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．
【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点 在（1）中函数的图象上，求a的值．
【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与 成正比例，当 时 ；
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当 时，求x的值．
【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点 在这个函数的图象上，求a的值．
(3)试判断点 是否在此函数图像上，说明理由．
一、单选题
1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．2．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若 是正比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．1
4．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数
其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（19-20八年级上·浙江温州·期末）已知点 ， 都在函数 的图象上，下列对
于 ， 的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知函数 ，当 时，y的值是 ．
7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在一次函数 中，图象过点 ，则 的值是 ．
8．（24-25八年级下·山东滨州·期末）函数 是 关于 的一次函数，则 ．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点 在函数 上，则 ．
10．（24-25八年级下·江西上饶·期末）一次函数 的图像过定点 ，则点 到原点距离
为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函
数？是否为正比例函数？
(1)正方形的面积 与它的边长x（ ）之间的关系；
(2)某地居民用电收费标准是0.53元/（ ），应缴电费y（元）与用电量x（ ）之间的关系；
(3)汽车从离A站 的B地出发，以 的速度沿射线 方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（
）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系．
12．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数 ．
(1)当 ， 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 ， 为何值时，此函数是正比例函数？13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在该函数的图象上，求 的值．
14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手
机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按 元/ 计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用
按 元/ 计．
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（ ）之间的关系；
(2)若每月平均通话时间为 ，你选择哪种套餐？并说明理由．
15．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有
甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人 元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲
旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过 人，每人都按九折收费，超过 人，
则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为 人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 与 之间的函数关系式；
(2)若王老师组团参加两日游的共有 人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总
费用较少的一家．
16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，
已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花m元，设批发甲种蔬菜 ，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
