文档内容
专题 4.2 角的旋转问题
【典例1】已知如图1，∠AOB=40°
1
(1)若∠AOC= ∠BOC，则∠BOC= ;
3
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋
转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
1 3
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB；②OC在
3 4
1 3
∠AOB外部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB．
3 2
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，
即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36
＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72
时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，1
∵∠AOC= ∠BOC，
3
3
∴∠BOC= ∠AOB=×40°=30°，
4
②OC在∠AOB外部时，如下图，
1
∠AOC= ∠BOC，
3
3 3
∴∠BOC= ∠AOB= ×40°=60°，
2 2
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）
证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1
∴∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （60°-5t°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=20°+10t°，
4
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
1
∵∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+ ∠COM=20°+ （5t°-60°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=10t°+20°，
4
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1 1 5
∴∠AON=∠CON+∠COA= ∠COM+∠COA= （5t°-60°）+20°=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+360°-5t°=380°，
4
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠CON-∠COA= ∠COM-∠COA= （420°-5t°）-20°=85°- t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（85°- t°）+360°-5t°=700°-10t°，
4
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （420°-5t°）= t°-85°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（ t°-85°）+360°-5t°=20°，
4
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当 36≤t≤48时，4∠AON+∠COM 为定值 380°；当 68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值
20°．
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：
∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的
下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为 ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线
恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
【思路点拨】
（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON=90°；
（2）分两种情况，画出图形，根据角的和差可得答案．
【解题过程】
（1）解：依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON=90°．
故答案为：90；
（2）解：设运动时间为t秒，
∵∠AOC：∠BOC=2：1，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，
如图，
当ME平分∠BOC时，
1
∴∠AOM=∠BOE= ∠BOC=30°，
2
∴15t=60°，解得t=4；
如图，
当OM平分∠BOC时，
1
∴∠BOM= ∠BOC=30°，
2
∴15t=360°-120°，解得t=16．
答：当t 运动4秒或16秒，OM所在直线恰好平分∠BOC．2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分
∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出
∠AOC和∠DOE之间的数量关系
【思路点拨】
(1)由补角及直角的定义可求得的∠BOC度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
1 1
(2)由角平分线的定义可得∠EOF=∠BOE−∠BOF= (∠BOC−∠BOD)= ∠COD，进而可求解；
2 2
(3)可分两种情况：①当0＜t≤6时，∠AOC=36°−6°t，求出∠DOE=18°−3°t，得出答案；②当
6＜t＜60时，∠AOC=6°t−36°，得出∠DOE=198°−3°t，进而得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
1 1
∴∠COE= ∠BOC= ×140°=70°，
2 2
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−70°=20°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
1 1
∴∠BOE= ∠BOC，∠BOF= ∠BOD，
2 2
1 1
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF= (∠BOC−∠BOD)= ∠COD，
2 2
∵∠COD=90°，
∴∠EOF=45°；（3）①当0＜t≤6时，由题意可得
∴∠AOC=36°−6°t，
1
∴∠DOE=∠COD−∠COE=∠COD− (180°−∠AOC)，
2
1
=90°− [180°−(36°−6°t)]
2
=18°−3°t，
∴∠AOC=2∠DOE；
②当6＜t＜60时，如下图，
∴∠AOC=6°t−36°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE
1
=90°+ [180°−(6°t−36°)]=198°−3°t，
2
∴∠AOC+2∠DOE=360°
3．（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比
为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出
发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说
明理由．
【思路点拨】
（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情
况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
【解题过程】
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
1
∴∠AOC = ∠AOB =60°．
2
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
15
∴t= ．
4
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
15
∴t= ．
7
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
15 15
综上所述：t= 或 或3．
4 7
4．（2022·湖南永州·七年级期末）如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器
控制，已知AO⊥BC，垂足为O．现从点O同时发出两条旋转光线，一条光线为OD，从OB开始，绕点
O顺时针方向旋转，旋转速度为每秒3°，另一条光线OE，从OC开始，绕点O逆时针旋转，旋转速度为每
秒2°；设两条光线同时旋转的时间为t秒．
(1)旋转多少秒，两条光线第一次重合？
(2)当010°，
∴∠AOC>20°，即t>10，
∴OD运动至∠AOB外部．
此时，∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，
∴∠AOF−∠BOE=10°，
∵OF平分∠AOC，
1
∴∠AOF= ∠AOC=t°，
2
∴∠BOE=(t−10)°，
又∠AOD=∠BOD−∠AOB=(10t−100)°，
∠BOE t−10 1
∴ = = ．
∠AOD 10t−100 10
12．（2022·浙江·七年级专题练习）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探
究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD
与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的
速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停
止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理
由．
【思路点拨】
（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
1
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD= ∠CPD=30°，利用含t的
2
代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
【解题过程】
（1）解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，
故答案为：85；
（2）解：①如图1所示：由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；
1
∴∠CPB=∠BPD= ∠CPD=30°，
2
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，
35
解得，t= ，
4
35
∴当t= 时，边PB平分∠CPD；
4
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（120°-12°t），
35
解得：t= ，
4
35
因为当t= 时，运动的情况刚好同解答图的图1，
4
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（12°t-120°），
125
解得：t= ．
12
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，
则12°t-135°=2（12°t-120°），
35
解得：t= ，
4
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
125 35
综上所述，当t= 或t= 时，∠BPD=2∠APC．
12 4
13．（2022·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，
过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分线OM．
(1)求∠AOC与∠MOD的度数；(2)作射线OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；
(3)如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON
，当∠MON=20°时，求旋转的时间．
【思路点拨】
（1）根据∠AOB=180°，∠BOC=100°，即可得出∠AOC的度数，根据角平分线的定义得出
1
∠COM= ∠AOC=40°，然后根据∠COD=90°得出∠MOD的度数；
2
（2）根据题意得出∠BOP的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP在∠BOC内部时；②当射线
OP在∠BOC外部时；分别进行计算即可；
（3）根据ON平分∠COD得出∠CON=45°，根据题意画出图形，计算∠BOE的角度，然后计算时间即
可．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，∠AOB=180°，
∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=AOB−∠BOC=80°，
∵OM平分∠AOC，
1
∴∠COM= ∠AOC=40°，
2
∴∠MOD=∠COD−∠COM=50°；
（2）由（1）知，∠AOM=∠AOC−∠COM=40°，
∴∠BOP=90°−∠AOM=50°，
①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），
∠COP=∠BOC−∠BOP=50°；
②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），∠COP=∠BOC+∠BOP=150°，
综上所述，∠COP的度数为50°或150°；
（3）∵ON平分∠COD，
1
∴∠CON= ∠COD=45°，
2
①如图3，
∠COM=∠CON−∠MON=25°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COM=50°，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠BOC=30°，
∴旋转的时间t=30°÷5°=6（秒）；
②如图3（1），
此时，∠COM=∠CON+∠MON=65°，∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COM=130°，
∴∠COE=180°−130°=50°，
∴∠BOE=100°−50°=50°，
∴旋转的时间=(360°−50°)÷5°=62（秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON
1 1
在∠BOD内，∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
3 3
(1)如图2，当∠COD绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，则∠MON= °；
(2)如图3，当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转80°（即∠BOC=80°)时，求∠MON的度数；
(3)当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（即∠BOC=n°，0
