专题 4.2 角的旋转问题
【典例1】已知如图1，∠AOB=40°
1
(1)若∠AOC= ∠BOC，则∠BOC= ;
3
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋
转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
1 3
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB；②OC在
3 4
1 3
∠AOB外部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB．
3 2
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，
即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36
＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72
时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，1
∵∠AOC= ∠BOC，
3
3
∴∠BOC= ∠AOB=×40°=30°，
4
②OC在∠AOB外部时，如下图，
1
∠AOC= ∠BOC，
3
3 3
∴∠BOC= ∠AOB= ×40°=60°，
2 2
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）
证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1
∴∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （60°-5t°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=20°+10t°，
4
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
1
∵∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+ ∠COM=20°+ （5t°-60°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=10t°+20°，
4
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1 1 5
∴∠AON=∠CON+∠COA= ∠COM+∠COA= （5t°-60°）+20°=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+360°-5t°=380°，
4
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠CON-∠COA= ∠COM-∠COA= （420°-5t°）-20°=85°- t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（85°- t°）+360°-5t°=700°-10t°，
4
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （420°-5t°）= t°-85°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（ t°-85°）+360°-5t°=20°，
4
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当 36≤t≤48时，4∠AON+∠COM 为定值 380°；当 68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值
20°．
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：
∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的
下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为 ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线
恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
【思路点拨】
（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON=90°；
（2）分两种情况，画出图形，根据角的和差可得答案．
【解题过程】
（1）解：依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON=90°．
故答案为：90；
（2）解：设运动时间为t秒，
∵∠AOC：∠BOC=2：1，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，
如图，
当ME平分∠BOC时，
1
∴∠AOM=∠BOE= ∠BOC=30°，
2
∴15t=60°，解得t=4；
如图，
当OM平分∠BOC时，
1
∴∠BOM= ∠BOC=30°，
2
∴15t=360°-120°，解得t=16．
答：当t 运动4秒或16秒，OM所在直线恰好平分∠BOC．2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分
∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出
∠AOC和∠DOE之间的数量关系
【思路点拨】
(1)由补角及直角的定义可求得的∠BOC度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
1 1
(2)由角平分线的定义可得∠EOF=∠BOE−∠BOF= (∠BOC−∠BOD)= ∠COD，进而可求解；
2 2
(3)可分两种情况：①当0＜t≤6时，∠AOC=36°−6°t，求出∠DOE=18°−3°t，得出答案；②当
6＜t＜60时，∠AOC=6°t−36°，得出∠DOE=198°−3°t，进而得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
1 1
∴∠COE= ∠BOC= ×140°=70°，
2 2
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−70°=20°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
1 1
∴∠BOE= ∠BOC，∠BOF= ∠BOD，
2 2
1 1
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF= (∠BOC−∠BOD)= ∠COD，
2 2
∵∠COD=90°，
∴∠EOF=45°；（3）①当0＜t≤6时，由题意可得
∴∠AOC=36°−6°t，
1
∴∠DOE=∠COD−∠COE=∠COD− (180°−∠AOC)，
2
1
=90°− [180°−(36°−6°t)]
2
=18°−3°t，
∴∠AOC=2∠DOE；
②当6＜t＜60时，如下图，
∴∠AOC=6°t−36°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE
1
=90°+ [180°−(6°t−36°)]=198°−3°t，
2
∴∠AOC+2∠DOE=360°
3．（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比
为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出
发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说
明理由．
【思路点拨】
（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情
况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
【解题过程】
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
1
∴∠AOC = ∠AOB =60°．
2
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
15
∴t= ．
4
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
15
∴t= ．
7
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
15 15
综上所述：t= 或 或3．
4 7
4．（2022·湖南永州·七年级期末）如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器
控制，已知AO⊥BC，垂足为O．现从点O同时发出两条旋转光线，一条光线为OD，从OB开始，绕点
O顺时针方向旋转，旋转速度为每秒3°，另一条光线OE，从OC开始，绕点O逆时针旋转，旋转速度为每
秒2°；设两条光线同时旋转的时间为t秒．
(1)旋转多少秒，两条光线第一次重合？
(2)当0<t≤60时，若OD⊥OE，求t的值；
(3)0<t≤240时，当两条光线在绕点O的旋转过程中，t为何值时，∠DOE=60°？
【思路点拨】
（1）两条光线第一次重合，转过的角度和为180°，根据题意列出方程即可；
（2）当0＜t≤60时，若OD⊥OE，则转过的角度和90°或270°，根据题意列出方程即可；
（3）容易发现，0＜t≤240时，两条光线有7次夹角是60°，第一次可得2t°+3t°=180°-60°，第二次可得2t°
+3t°=180°+60°，第三次在第一次的基础上加360°，据此可得转过的度数和分别是120°、240°、480°、
600°、840°、960°、1200°，分别列出方程解答即可．
【解题过程】
解：（1）两条光线第一次重合，转过的角度和为180°，
由题意得，2t°+3t°=180°，解得t=36（秒），
答：旋转36秒时两条光线第一次重合；
（2）若OD⊥OE，则转过的角度和90°或270°，
第一次OD⊥OE时，2t°+3t°=90°，
解得t=18（秒），
第二次OD⊥OE时，2t°+3t°=270°，
解得t=54（秒），
答：当0＜t≤60时，若OD⊥OE时，t的值为18秒或54秒；
（3）当0＜t≤240时，两条光线有7次夹角是60°，转过的度数和分别是120°、240°、480°、600°、840°、
960°、1200°，
第一次夹角为60°时，2t°+3t°=180°-60°，解得t=24（秒），
第二次夹角为60°时，2t°+3t°=180°+60°，解得t=48（秒），
第三次夹角为60°时，2t°+3t°=480°，解得t=96（秒），
第四次夹角为60°时，2t°+3t°=600°，解得t=120（秒），
第五次夹角为60°时，2°t+3°t=840°，解得t=168（秒），
第六次夹角为60°时，2°t+3°t=960°，解得t=192（秒），
第七次夹角为60°时，2°t+3°t=1200°，解得t=240（秒），
综上所述，0＜t≤240时，当两条光线在绕点O的旋转过程中，∠DOE=60°，t的值为24秒或48秒或96秒
或120秒或168秒或192秒或240秒．
5．（2022·成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校七年级期末）如图所示，OA,OB,OC是以直线EF
上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以点O为端点作射线
OP,OQ分别与射线OF,OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ
从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，
设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
(1)当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．(2)当射线OQ的转速为4°/s,t=21s时，求∠POQ的值．
(3)若射线OQ的转速为3°/s，
①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．
②当∠POQ=70°时，求射线OP旋转的时间．
【思路点拨】
（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°，当射线OP平分∠AOC时，∠AOP=∠POC=35°，此时OP
旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=55°，旋转的时间：55÷1=55s．
（2）求出射线OP、射线OQ旋转的度数，画出图形，根据角的和差即可求解；
（3）①根据OP和OQ的转速，即可求解；
②设射线OP旋转的时间为ts，则分为2种情况讨论：①当OP和OQ在未重合之前；②当OP和OQ在重合
之后．
【解题过程】
（1）解：∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，
∴当射线OP平分∠AOC时，∠AOP=∠POC=35°，
∴此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s,，
∴旋转的时间：55÷1=55s．
（2）∵射线OQ的转速为4°/s,，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，
∴t=21s时，∠COQ=21×4=84°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，
∴t=21s时，∠FOP=21×1=21°，
如图，
∴∠FOQ=∠FOA+∠AOB+∠BOC−∠COQ=6°，
∴∠POQ=∠FOP−∠FOQ=15°；
10+20+60 45
（3）①当射线OQ和射线OP重合时，t= = (s)；
3+1 245 135°
∴∠COQ= ×3= ；
2 2
②设射线OP旋转的时间为ts，
当OP和OQ在未重合之前，90−t−3t=70，t=5；
当OP和OQ在重合之后，3t+t−70=90，解得t=40；
∵OQ按题目条件射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，
∴.t≤90÷3，即t≤30，
∴t=40时，OQ早已停止运动，但OP未停止，因此第二种情况t=70．
故当∠POQ=70°时，射线OP旋转的时间为5秒或70秒
6．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD
在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．
(1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当
∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系
是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【思路点拨】
（1）由∠AOC＝120°，得到∠BOC＝60°，又OD平分∠AOC，则∠DOC＝60°，由∠DOE＝80°，得到
∠EOC＝20°，最后得到∠EOB=40°；
（2）分两种情况，∠DOE在∠AOC内部时，令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠EOF=80°－2x°，
∠EOC==40°－x°，结论成立；∠DOE的两边在射线OC的两侧时，令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°,
∠DOC=120°-x°，∠EOF=2x°-80°，∠EOC==x°-40°，结论得证．
【解题过程】
（1）解：如图1，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°－∠AOC＝60°，
∵OD平分∠AOC时，
1
∴∠DOC＝ ∠AOC＝60°，
2
∵∠DOE＝80°，
∴∠EOC＝∠DOE －∠DOC＝20°， .
∴∠EOB=∠BOC －∠EOC＝40°.
（2）解：不变，∠EOF=2∠EOC.
当∠DOE在∠AOC内部时，如图2，
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠EOF=80°－2x°，
∴∠EOC=120°－（∠AOD＋DOF＋∠EOF）＝120°－（x°+2x°+80°－2x°）=40°－x°，
∴∠EOF=2∠EOC，
当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，如图3，
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°, ∠DOC=120°-x°，∠EOF=2x°-80°,
∠EOC=∠DOE－∠DOC＝80°-（120°-x°）=x°-40°，
∴∠EOF=2∠EOC，
综上可得∠EOF=2∠EOC．7．（2022·全国·七年级专题练习）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角
中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
(1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
(2)如图，∠MPN=60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为________度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45′的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时
停止旋转，设旋转的时间为t(s)．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【思路点拨】
（1）根据其妙线的定义进行判断即可；
（2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可；
②射线PM是∠FPN的奇妙线，PM在∠FPN的内部，PF在∠NPM的内部，然后分三种情况求解即
可．
【解题过程】
（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义，
故答案为：是；
（2）①∠MPN=60°，射线PQ是∠MPN的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论：
当∠NPQ=2∠MPQ时，
∠QPN=40°；
当∠MPQ=2∠NPQ时，
∠QPN=20°；
当∠NPM=2∠MPQ时，
∠QPN=30°；
故答案为：20或30或40；
②∵射线PM是∠FPN的奇妙线
∴PM在∠FPN的内部
∴PF在∠NPM的内部
分三种情况：（Ⅰ）如图，当∠NPM=2∠FPM时，
1 1
∠FPM= ∠NPM= ×60°=30°
2 2
∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°
∵3°45'=3.75°
∴t=90÷3.75=24(s)
（Ⅱ）如图，当∠FPN=2∠MPN时，
∠FPN=2×60°=120°
∴t=120÷3.75=32(s)
（Ⅲ）如图3，当∠FPN=2∠NPM时，
∠FPN=2×60°=120°
∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°
∴t=180÷3.75=48(s)
综上：当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的奇妙线．
8．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，
1
∠DOF= ∠AOD．
3(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之
间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；
（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据
∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，
1 1
∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ ∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；
3 3
（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC ≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC
1 1
＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ ∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当
3 3
90°<∠AOC ≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后
1 1 2
可得∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ ∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝ ∠AOC＋120°，
3 3 3
最后根据周角的定义计算得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵∠AOC＝120°，
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，
1
∴∠DOF＝ ∠AOD＝20°，
3
∴∠EOC＝∠DOF＝20°；（2）解：①∵∠AOC＝α，
∴∠AOD＝180°－α，
1 1
∴∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ α，
3 3
1
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－ α，
3
由题意得：∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝α－60°，
1 2
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－ α＋α－60°＝ α；
3 3
2
②观察①中结果可得：∠EOB＝ ∠AOC，
3
证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，
1 1
∴∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ ∠AOC，
3 3
1
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－ ∠AOC，
3
1 2
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－ ∠AOC＋∠AOC－60°＝ ∠AOC；
3 3
（3）解：①当0°<∠AOC ≤90°时，如图，
∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
1 1
∴∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ ∠AOC，
3 3
1
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－ ∠AOC，
3
1 2
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－ ∠AOC＋∠AOC＋60°＝ ∠AOC＋120°．
3 3
②当90°<∠AOC ≤120°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
1 1
∴∠DOF＝ ∠AOD＝60°－ ∠AOC，
3 3
1
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－ ∠AOC，
3
1 2
∴∠EOC＋∠BOC＝60°－ ∠AOC＋∠AOC＋60°＝ ∠AOC＋120°，
3 3
2 2
∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－ ∠AOC－120°＝240°－ ∠AOC．
3 3
9．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每
秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运
动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可；
1 1 1
（2）根据角平分线的定义得到∠AON= AOD，∠BOM= ∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-
2 2 2
(∠AOD+∠BOC)，计算可得；
（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回
时，分两种情况；分别画出图形列方程解答．
【解题过程】解：(1)∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；
(2)∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，
1 1
∴∠AON= AOD，∠BOM= ∠BOC，
2 2
1
∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB- (∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°；
2
(3)当OC未到达OB时，分两种情况：
①如图：
此时30t+20-10t=120，
解得t=5；
②如图：
360-30t-20+10t=120，
解得t=11；
当OC到达OB后返回时，分两种情况：
①如图：此时30t-360-（300-15t-20）=120，
8
解得t=16 ；
9
②如图：
此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，
5
解得t=19 ，
9
8 5
综上，t的值为5或11或16 或19 ．
9 9
10．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针
方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时
间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过
180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
【思路点拨】
（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．
（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度
数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。
（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即
OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过
60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，
此时求出的t．
【解题过程】
（1）解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，
∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，
故答案为：60°．
（2）存在满足条件的t值。
①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，
此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，
若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，
∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，
∴15t−360=180−5t，解得：t=27，
②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，
∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，
∴720-15t=5t-180，解得：t=45，
（3）(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：
15t−5t=180°−60°，解得：t=12，②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：
15t−5t=180°+60°，解得：t=24，
③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，
得：15t−5t=180°+360°−60°，
解得：t=48，符合题意，
综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线
OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点O逆时针旋转ts．
(1)当t=10时，求∠COD的度数；
(2)若0≤t≤15．
①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；
②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF=110°，求∠BOE
的值．
∠AOD
【思路点拨】
（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明OD运动至∠AOB外部．由
∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，可以得到
1
∠AOF−∠BOE=10°，又因为OF平分∠AOC，则∠AOF= ∠AOC=t°，从而求出
2
∠BOE=(t−10)°，再求得∠AOD=∠BOD−∠AOB=(10t−100)°，即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：依题意，当t=10s时，射线OD运动的度数为10t=100°，
∵∠AOB=100°，
∴此时OD与OA重合，
射线OC运动的度数为2t=20°，
即∠AOC=20°，
∴当t=10s时，∠COD=20°．
（2）①若0≤t≤15时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，
当∠DOA=∠COA时，100−10t=2t，
25
∴t= ，符合0≤t≤15．
3
（ii）如图2，1
当∠AOD=∠COD时，10t−100= ⋅2t，
2
100
∴t= ，符合0≤t≤15．
9
（iii）如图3，
当∠AOC=∠COD时，2t=10t−100−2t，
50
∴t= ，不在0≤t≤15范围内，舍去．
3
25 100
综上所得t= s或t= s．
3 9
②如图4，∵0≤t≤15，
∴0°≤2t≤30°，0°≤10t≤150°，
∴∠AOC最大度数为30°，∠BOD最大度数为150°．
∵∠AOB=100°，
∴当∠EOF=110°时，∠AOF>10°，
∴∠AOC>20°，即t>10，
∴OD运动至∠AOB外部．
此时，∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，
∴∠AOF−∠BOE=10°，
∵OF平分∠AOC，
1
∴∠AOF= ∠AOC=t°，
2
∴∠BOE=(t−10)°，
又∠AOD=∠BOD−∠AOB=(10t−100)°，
∠BOE t−10 1
∴ = = ．
∠AOD 10t−100 10
12．（2022·浙江·七年级专题练习）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探
究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD
与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的
速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停
止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理
由．
【思路点拨】
（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
1
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD= ∠CPD=30°，利用含t的
2
代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
【解题过程】
（1）解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，
故答案为：85；
（2）解：①如图1所示：由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；
1
∴∠CPB=∠BPD= ∠CPD=30°，
2
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，
35
解得，t= ，
4
35
∴当t= 时，边PB平分∠CPD；
4
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（120°-12°t），
35
解得：t= ，
4
35
因为当t= 时，运动的情况刚好同解答图的图1，
4
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（12°t-120°），
125
解得：t= ．
12
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，
则12°t-135°=2（12°t-120°），
35
解得：t= ，
4
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
125 35
综上所述，当t= 或t= 时，∠BPD=2∠APC．
12 4
13．（2022·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，
过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分线OM．
(1)求∠AOC与∠MOD的度数；(2)作射线OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；
(3)如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON
，当∠MON=20°时，求旋转的时间．
【思路点拨】
（1）根据∠AOB=180°，∠BOC=100°，即可得出∠AOC的度数，根据角平分线的定义得出
1
∠COM= ∠AOC=40°，然后根据∠COD=90°得出∠MOD的度数；
2
（2）根据题意得出∠BOP的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP在∠BOC内部时；②当射线
OP在∠BOC外部时；分别进行计算即可；
（3）根据ON平分∠COD得出∠CON=45°，根据题意画出图形，计算∠BOE的角度，然后计算时间即
可．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，∠AOB=180°，
∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=AOB−∠BOC=80°，
∵OM平分∠AOC，
1
∴∠COM= ∠AOC=40°，
2
∴∠MOD=∠COD−∠COM=50°；
（2）由（1）知，∠AOM=∠AOC−∠COM=40°，
∴∠BOP=90°−∠AOM=50°，
①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），
∠COP=∠BOC−∠BOP=50°；
②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），∠COP=∠BOC+∠BOP=150°，
综上所述，∠COP的度数为50°或150°；
（3）∵ON平分∠COD，
1
∴∠CON= ∠COD=45°，
2
①如图3，
∠COM=∠CON−∠MON=25°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COM=50°，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠BOC=30°，
∴旋转的时间t=30°÷5°=6（秒）；
②如图3（1），
此时，∠COM=∠CON+∠MON=65°，∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COM=130°，
∴∠COE=180°−130°=50°，
∴∠BOE=100°−50°=50°，
∴旋转的时间=(360°−50°)÷5°=62（秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON
1 1
在∠BOD内，∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
3 3
(1)如图2，当∠COD绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，则∠MON= °；
(2)如图3，当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转80°（即∠BOC=80°)时，求∠MON的度数；
(3)当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（即∠BOC=n°，0<n<180且n≠60a，其中a为正整
数）时，则∠MON= °．
【思路点拨】
1 1
（1）根据题意可得∠AOM= ∠AOC=40°，∠BON= ∠BOD=20°，根据
3 3
∠MON=∠AOB+∠BOD−∠AOM−∠DON，即可求解；
1 40 1 20
（2）同理求得∠AOM= ∠AOC=( )°，∠BON= ∠BOD=( )°，根据
3 3 3 3
∠MON=∠AOB+∠BOD−∠AOM−∠DON，即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当0<n<60时，②当60<n<120时，③当120<n<180时，结合图形即可求解．
【解题过程】
1 1
（1）解： ∵∠AOM= ∠AOC=40°，∠BON= ∠BOD=20°，
3 3
∴∠DON=60°−20°=40°，
∴∠MON=∠AOB+∠BOD−∠AOM−∠DON
=120°+60°−40°−40°=100°；
故答案为：100；
（2）∵∠BOC=80°，∠AOB=120°，∠COD=60°，
∴∠AOC=120°−80°=40°，∠BOD=80°−60°=20°，
1 40 1 20
∵∠AOM= ∠AOC=( )°，∠BON= ∠BOD=( )°，
3 3 3 3
40 20
∴∠MON=120°−( )°−( )°=100°；
3 3
（3）①当0<n<60时，如图1，
∵∠BOC=n°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−n°，
∠BOD=∠COD−∠BOC=60°−n°，
∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON
2 1
= (120°−n°)+n°+ (60°−n°)
3 3
2 1
=80°− n°+n°+20°− n°
3 3
=100°；
②当60<n<120时，如图2，
∵∠BOC=n°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−n°，
∠BOD=∠BOC−∠DOC=n°−60°，
∴∠MON=∠MOC+∠BOC−∠BON2 1
= (120°−n°)+n°− (n°−60°)
3 3
2 1
=80°− n°+n°− n°+20°
3 3
=100°；
③当120<n<180时，如图3，
∵∠BOC=n°，
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=n°−120°，
∠BOD=∠BOC−∠DOC=n°−60°，
∴∠MON=∠BOC−=∠MOC−∠BON
2 1
=n°− (n°−120°)− (n°−60°)
3 3
2 1
=n°− n°+80°− n°+20°
3 3
=100°；
综上所述：∠MON的度数为100°．
故答案为：100．
15．（2022·江苏·七年级单元测试）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射
线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直
线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR
是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填
“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆
时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分
∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度
数．
【思路点拨】
（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或
∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论
的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即
可求得结论．
【解题过程】
（1）解：∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS=∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR=2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．
当∠AOC=2∠AOB时，如图，
则：90-4t=2×40．
5
解得：t= ，
2
当∠AOB=2∠AOC时，如图，
则：40=2（90-4t）．
35
解得：t= ，
2
5 35
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为 或 ；
2 2
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON=∠CON．
∴90+2t=4t．
∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．当∠COM=2∠COD时，如图，
即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），
则：180-4t=2（4t-70-2t）．
解得：t=40．
∴∠CON=4°×40=160°．
当∠COD=2∠COM时，如图，
即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．
则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．
解得：t=43．
∴∠CON=4°×43=172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为
160°或172°．
16．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，
且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度
为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ
旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另
两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度
列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
【解题过程】
（1）解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
1
∴∠AOG= ∠AOB=30°，
2
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
50
此时OP的运动时间t= =10（秒）；
5
故答案为：10；
（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
10
∴t= ；
3
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
50
∴t=
3
90
∵OQ停止运动时间t= =22.5，
4
∴以上两种情况均符合
10 50
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为 或 秒；
3 3
（3）解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则3t−10=90−3t−5t，
100
解得：t= ；
11②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则90−5t−10=3t−(90−5t)，
170
解得：t= ；
13
100 170
综合上述，t= 或t= ；
11 13
17．（2022·江苏·七年级专题练习）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题
吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不
变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【思路点拨】1
（1）先根据角平分线的定义可得∠COE= ∠AOC=15°，再根据角的和差、角平分线的定义可得
2
1
∠COF= ∠COB=35°，然后根据∠EOF=∠COE+∠COF即可得；
2
（2）先根据角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根据角平分线的定义可得
1 1
∠COE= ∠AOC,∠COF= ∠COB，然后根据∠EOF=∠COE+∠COF即可得；
2 2
1 1
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得∠COE= ∠AOC,∠COF= ∠COB，再分①射
2 2
线OC在∠AOD的内部，②射线OC在∠DOM的内部，③射线OC在∠BOM的内部三种情况，分别根据
角的和差即可得．
【解题过程】
（1）解： ∵OE是∠AOC的平分线，∠AOC=30°，
1
∴∠COE= ∠AOC=15°，
2
∵∠AOB=100°，
∴∠COB=∠AOB−∠AOC=70°，
∵OF是∠COB的平分线，
1
∴∠COF= ∠COB=35°，
2
∴∠EOF=∠COE+∠COF=15°+35°=50°；
（2）∵∠AOB=100°，
∴∠AOC+∠COB=100°，
∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠COB的平分线，
1 1
∴∠COE= ∠AOC,∠COF= ∠COB，
2 2
1
∴∠EOF=∠COE+∠COF= (∠AOC+∠COB)=50°
2
故答案为：50°
（3）∵OE是∠AOC的平分线，OF是∠COB的平分线，
1 1
∴∠COE= ∠AOC,∠COF= ∠COB，
2 2
由题意，分以下三种情况：①如图，延长BO至点D，当射线OC在∠AOD的内部时，
∵∠AOB=100°，
∴∠COB−∠AOC=100°，
1
∴∠EOF=∠COF−∠COE= (∠COB−∠AOC)=50°；
2
②如图，延长BO至点D，延长AO至点M，当射线OC在∠DOM的内部时，
∵∠AOB=100°，
∴∠COB+∠AOC=360°−∠AOB=260°，
1
∴∠EOF=∠COF+∠COE= (∠COB+∠AOC)=130°；
2
③如图，延长AO至点M，当射线OC在∠BOM的内部时，
∵∠AOB=100°，
∴∠AOC−∠COB=100°，
1
∴∠EOF=∠COE−∠COF= (∠AOC−∠COB)=50°；
2
综上，∠EOF的度数为50°或130°．18．（2022·湖南师大附中博才实验中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且
∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从
OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0<t<12，本题出现的角均不大于平
角）．
(1)当t=2时，∠AOM的度数为________度，∠NOM的度数为________度．
(2)t为何值时，∠AOM=∠AON．
13∠DOM−4∠AON
(3)当射线OM在∠BOC的内部时，探究 是不是一个定值？若是，请求出这个定
3∠MON
值．
【思路点拨】
（1）求出t=2时，∠BOM,∠DON的度数，利用
∠AOM=180°−∠BOM,∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM，进行求解即可；
（2）分别用含t的式子，表示出∠AOM和∠AON，分∠AON在∠AOD内部和∠AOC的内部，两种情
况讨论，利用∠AOM=∠AON，列式求解即可；
13∠DOM−4∠AON
（3）分别用含t的式子表示出∠DOM,∠AON,∠MON，计算 即可得解．
3∠MON
【解题过程】
（1）解：当t=2时，∠BOM=2×15°=30°，∠DON=2×12°=24°，
∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−30°=150°，
∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=24°+90°+30°=144°，
故答案为：150，144；
（2）解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠BOC=90°
由题意得：∠BOM=15°⋅t，∠DON=12°⋅t，
∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−15°⋅t，当∠AON在∠AOD内部时：∠AON=∠AOD−∠DON=90°−12°⋅t
∵∠AOM=∠AON，
∴180°−15°⋅t=90°−12°⋅t，解得：t=30（不符合题意，舍掉）；
当∠AON在∠AOC内部时：∠AON=∠DON−∠AOD=12°⋅t−90°，
∵∠AOM=∠AON，
∴180°−15°⋅t=12°⋅t−90°，解得：t=10；
∴当t=10时，∠AOM=∠AON；
（3）解：∵∠BOM=15°⋅t,∠DON=12°⋅t，
当射线OM在∠BOC的内部时，0<15°⋅t<90°，
∴0<t<6，
∴0°<12°⋅t<72°，
∴射线ON在∠AOD内部，
∴∠DOM=∠BOD+∠BOM=90°+15°⋅t,∠AON=∠AOD−∠DON=90°−12°⋅t，
∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=12°⋅t+90°+15°⋅t=90°+27°⋅t
13∠DOM−4∠AON 13(90°+15°⋅t)−4(90°−12°⋅t)
则： =
3∠MON 3(90°+27°⋅t)
1170°+195°⋅t−360°+48°⋅t
=
270°+81°⋅t
810°+243°⋅t
=
270°+81°⋅t
=3；13∠DOM−4∠AON
∴ 是一个定值：3．
3∠MON
19．（2022·四川省广安花桥中学校七年级期末）【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若
这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB=60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线OQ从OB出
发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整
个运动随之停止，设运动的时间为t(s)．
(1)如图①，角的平分线 这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若∠AOB=90°，射线OC为∠AOB的“2倍角线”，则∠AOC= ．
(3)如图②，当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
(4)如图②，若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直
接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于180°的角）．
【思路点拨】
（1）根据定义判断即可；
（2）分三种情况讨论，由定义列出方程可求t的值；
（3）分三种情况列方程求解；
（4）分六种情况，由“2倍角线”定义列方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”，
故答案为：是；
（2）有三种情况：①若∠BOC=2∠AOC时，且∠BOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=30°；
②若∠AOB=2∠AOC=2∠BOC时，且∠BOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=45°；
③若∠AOC=2∠BOC时，且∠BOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°，
故答案为：30°或45°或60°；
（3）由题意得，运动时间范围为：0<t≤18，则有
①60+20t+10t=180，解得t=4；
②60+20t+10t=360，解得t=10；
③60+20t+10t=180+360，解得t=16；
综上，t的值为4或10或16；
（4）在整个过程中，有如下几个临界点：
当OP、OQ共线时，由（3）知，t=4或10或16，
180
当OP为OA的反向延长线时，t= =9，
20
180−60
当OQ为OA的反向延长线时，t= =12，
10
故分6种情况：
①当0<t≤4时，如图1，
∠AOP=20t°,∠AOQ=60°+10t°，
若∠POQ=2∠AOP时，∠AOQ=∠AOP，即20t=60+10t，
解得t=6（舍去）；
若∠AOP=2∠AOQ，则20t=2(60+10t)，无解；
若2∠AOP=∠AOQ，则20t×2=10t+60，解得t=2；
②当4<t<9时，如图2，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；③当9≤t<10时，如图3，
∵∠QOP=360°−60°−20t°−10t°=300°−30t°，∠AOQ=60°+10t°,
∴若∠AOP=2∠AOQ时，∠AOQ=∠POQ，则300−30t=60+10t，解得t=6（舍去），
若∠QOP=2∠AOQ时，则300−30t=2(60+10t)，解得t=3.6（舍去），
54
若2∠QOP=∠AOQ时，2(300−30t)=60+10t，解得t= （舍去）；
7
④当10≤t≤12时，如图4，
则∠QOP=(20°+10°)(t−10)=30t°−300°，∠AOP=360°−20t°，
若∠AOQ=2∠AOP时，∠QOP=∠AOP，则30t−300=360−20t，解得t=13.2（舍去）；
4
若∠QOP=2∠AOP时，则30t−300=720−40t，解得t=14 （舍去）；
7
若2∠QOP=∠AOP时，则60t−600=360−20t，解得t=12；⑤当12<t<16时，如图5，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；
⑥当16≤t≤18时，如图6，
则∠QOA=300°−10t°,∠AOP=360°−20t°，
若∠QOP=2∠AOP时，∠QOA=∠AOP，则300−10t=360−20t，解得t=6（舍去），
若∠QOA=2∠AOP时，则300−10t=720−40t，解得t=14（舍去），
若2∠QOA=∠AOP时，则600−20t=360−20t，无解；
综上，t=2或12．
20．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，∠AOB=40°,∠COD=60°，OM、ON分别为∠AOB和
∠BOD的角平分线．(1)若∠MON=70°，则∠BOC= °；
(2)如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合
时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整
个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，
∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP−∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出
这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小即可；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式
求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定
义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP−∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t
的取值范围．
【解题过程】
（1）解：∵OM为∠AOB的角平分线，∠AOB=40°，
∴∠MOB=20°，∵∠MON=70°，
∴∠BON=∠MON−∠MOB=50°，
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON=∠DON=50°，
∴∠CON=∠COD−∠DON=60°−50°=10°，
∴∠BOC=∠BON−∠CON=50°−10°=40°．
故答案为：40；
（2）如图3，逆时针旋转时，
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′=40°−4t,∠BOD′=∠BOD−4t=100°−4t，
1 1
∠BON′= ∠BOD′= (100°−4t)=50°−2t，
2 2
∵OC′平分∠BON′，
1 1
∴∠BOC′= ∠BON′ ，即40°−4t= (50°−2t)，
2 2
解得：t=5s，
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时，如图4，
同理，当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，由题意可求OC′与OB重合用的时间=∠AOC÷4+∠AOB÷6
80
=(∠AOB+∠BOC)÷4+∠AOB÷6＝ s，
3
80
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′=6(t−
)，
3
80
∴∠BOD′=∠BOC′+60°=6(t− )+60°=6t−100°，
3
1 1
∴∠BON′= ∠BOD′= (6t−100°)=3t−50°，
2 2
∵OC′平分∠BON′，
1
∴∠BOC′= ∠BON′
，
2
80 1
∴6(t− )＝ (3t−50°)，
3 2
解得：t=30s，
综上所述，当OC′平分∠BON′时，t的值为5或30；
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图5，
根据①可知，∠BOC′=40°−4t,∠BOD′=100°−4t,∠BON′=50°−2t，
∴∠AOD′=∠AOB+∠BOD′=140°−4t，
1 1
∴∠AOP＝ ∠AOD'＝ ∠(140°−4t)=70°−2t，
2 2
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=30°−2t，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=70°−2t，
∴|∠BOP−∠MON′|=|30°−2t−70°+2t|=40°，
此段时间0≤t≤10；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t ，
1同理可知，∠BOC′=4t ，∠BOD′=60°−4t
，
1 1
1
∴∠MON′= ∠BON′=30°−2t
，
2 1
∴∠AOD′=∠AOB+∠BOD′=100°−4t
，
1
1
∴∠AOP＝ ∠AOD'＝50°−2t ，
2 1
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=10°−2t ，
1
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=50°−2t
，
1
∴|∠BOP−∠MON′|=|10°−2t −50°+2t |=40°，此时：10<t≤20；
1 1
顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，
设经过OB后运动时间为t ，
2
同理可知：∠BOC′=40°−6t ,∠BOD′=20°+6t
，
2 2
1
∴∠BON′＝ ∠BOD′＝10°+3t
，
2 2
∴∠AOD′=60°+6t ,∠AOP=30°+3t ，
2 2∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=3t −10°，
2
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=30°−3t
，
2
∴|∠BOP−∠MON′|=|3t −10°−30°−3t |=40°，
2 2
80
此时：20<t≤ ；
3
当C′在B上方时，如图⑥，
设经过OB后运动时间为t ，
3
同理可知：∠BOC′=40°+6t ,∠BOD′=100°+6t
，
3 3
1
∴∠BON′= ∠BOD=50°+3t ，
2 3
∴∠AOD′=140°+6t
，
3
∴∠AOP=70°+3t ，
3
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=30°+3t ，
3
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=70°+3t
，
3
80
∴|∠BOP−∠MON′|=|30°+3t −70°−3t |=40°，此时： <t≤50．
3 3 3
综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．
