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专题 4.2 角的旋转问题
【典例1】已知如图1，∠AOB=40°
1
(1)若∠AOC= ∠BOC，则∠BOC= ;
3
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋
转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
1 3
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB；②OC在
3 4
1 3
∠AOB外部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB．
3 2
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，
即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36
＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72
时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，1
∵∠AOC= ∠BOC，
3
3
∴∠BOC= ∠AOB=×40°=30°，
4
②OC在∠AOB外部时，如下图，
1
∠AOC= ∠BOC，
3
3 3
∴∠BOC= ∠AOB= ×40°=60°，
2 2
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1
∴∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （60°-5t°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=20°+10t°，
4
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
1
∵∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+ ∠COM=20°+ （5t°-60°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=10t°+20°，
4
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1 1 5
∴∠AON=∠CON+∠COA= ∠COM+∠COA= （5t°-60°）+20°=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+360°-5t°=380°，
4
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠CON-∠COA= ∠COM-∠COA= （420°-5t°）-20°=85°- t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（85°- t°）+360°-5t°=700°-10t°，
4
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （420°-5t°）= t°-85°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（ t°-85°）+360°-5t°=20°，
4
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当 36≤t≤48时，4∠AON+∠COM 为定值 380°；当 68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值
20°．
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：
∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的
下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为 ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线
恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分
∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出
∠AOC和∠DOE之间的数量关系
3．（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比
为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出
发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，
运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说
明理由．
4．（2022·湖南永州·七年级期末）如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器
控制，已知AO⊥BC，垂足为O．现从点O同时发出两条旋转光线，一条光线为OD，从OB开始，绕点
O顺时针方向旋转，旋转速度为每秒3°，另一条光线OE，从OC开始，绕点O逆时针旋转，旋转速度为每
秒2°；设两条光线同时旋转的时间为t秒．
(1)旋转多少秒，两条光线第一次重合？
(2)当0<t≤60时，若OD⊥OE，求t的值；
(3)0<t≤240时，当两条光线在绕点O的旋转过程中，t为何值时，∠DOE=60°？
5．（2022·成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校七年级期末）如图所示，OA,OB,OC是以直线EF
上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以点O为端点作射线
OP,OQ分别与射线OF,OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，
设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
(1)当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．
(2)当射线OQ的转速为4°/s,t=21s时，求∠POQ的值．
(3)若射线OQ的转速为3°/s，
①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．
②当∠POQ=70°时，求射线OP旋转的时间．
6．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD
在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．
(1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当
∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系
是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
7．（2022·全国·七年级专题练习）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角
中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．(1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
(2)如图，∠MPN=60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为________度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45′的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时
停止旋转，设旋转的时间为t(s)．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
8．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，
1
∠DOF= ∠AOD．
3
(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之
间的数量关系．
9．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每
秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运
动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
10．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针
方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时
间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过
180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点O逆时针旋转ts．
(1)当t=10时，求∠COD的度数；
(2)若0≤t≤15．
①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；
②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF=110°，求
∠BOE
的值．
∠AOD
12．（2022·浙江·七年级专题练习）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探
究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD
与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的
速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停
止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2022·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，
过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分线OM．
(1)求∠AOC与∠MOD的度数；
(2)作射线OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；
(3)如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON
，当∠MON=20°时，求旋转的时间．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON
1 1
在∠BOD内，∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
3 3
(1)如图2，当∠COD绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，则∠MON= °；
(2)如图3，当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转80°（即∠BOC=80°)时，求∠MON的度数；
(3)当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（即∠BOC=n°，0<n<180且n≠60a，其中a为正整数）时，则∠MON= °．
15．（2022·江苏·七年级单元测试）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射
线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直
线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR
是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填
“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆
时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分
∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度
数．16．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，
且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度
为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ
旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另
两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
17．（2022·江苏·七年级专题练习）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题
吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不
变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．18．（2022·湖南师大附中博才实验中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且
∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从
OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0<t<12，本题出现的角均不大于平
角）．
(1)当t=2时，∠AOM的度数为________度，∠NOM的度数为________度．
(2)t为何值时，∠AOM=∠AON．
13∠DOM−4∠AON
(3)当射线OM在∠BOC的内部时，探究 是不是一个定值？若是，请求出这个定
3∠MON
值．19．（2022·四川省广安花桥中学校七年级期末）【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若
这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB=60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线OQ从OB出
发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整
个运动随之停止，设运动的时间为t(s)．
(1)如图①，角的平分线 这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若∠AOB=90°，射线OC为∠AOB的“2倍角线”，则∠AOC= ．
(3)如图②，当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
(4)如图②，若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直
接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于180°的角）．20．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，∠AOB=40°,∠COD=60°，OM、ON分别为∠AOB和
∠BOD的角平分线．
(1)若∠MON=70°，则∠BOC= °；
(2)如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合
时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整
个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，
∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得 的值不变？若存在，请直接写出
|∠BOP−∠MON′|
这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
