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专题 4.2 角的旋转问题
【典例1】已知如图1，∠AOB=40°
1
(1)若∠AOC= ∠BOC，则∠BOC= ;
3
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋
转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
1 3
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB；②OC在
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1 3
∠AOB外部时，由∠AOC= ∠BOC得到∠BOC= ∠AOB．
3 2
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，
即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36
＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72
时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，1
∵∠AOC= ∠BOC，
3
3
∴∠BOC= ∠AOB=×40°=30°，
4
②OC在∠AOB外部时，如下图，
1
∠AOC= ∠BOC，
3
3 3
∴∠BOC= ∠AOB= ×40°=60°，
2 2
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1
∴∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （60°-5t°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=20°+10t°，
4
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
1
∵∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+ ∠COM=20°+ （5t°-60°）=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+5t°=10t°+20°，
4
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
1 1 5
∴∠AON=∠CON+∠COA= ∠COM+∠COA= （5t°-60°）+20°=5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+ t°）+360°-5t°=380°，
4
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠CON-∠COA= ∠COM-∠COA= （420°-5t°）-20°=85°- t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（85°- t°）+360°-5t°=700°-10t°，
4
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
1 1 5
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA- ∠COM=20°- （420°-5t°）= t°-85°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM=4（ t°-85°）+360°-5t°=20°，
4
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当 36≤t≤48时，4∠AON+∠COM 为定值 380°；当 68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值
20°．
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：
∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的
下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为 ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线
恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分
∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出
∠AOC和∠DOE之间的数量关系
3．（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比
为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出
发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，
运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说
明理由．
4．（2022·湖南永州·七年级期末）如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器
控制，已知AO⊥BC，垂足为O．现从点O同时发出两条旋转光线，一条光线为OD，从OB开始，绕点
O顺时针方向旋转，旋转速度为每秒3°，另一条光线OE，从OC开始，绕点O逆时针旋转，旋转速度为每
秒2°；设两条光线同时旋转的时间为t秒．
(1)旋转多少秒，两条光线第一次重合？
(2)当0
