文档内容
专题 4.2 角平分线模型
一．选择题（共6小题）
1．如图， 中， 为 的角平分线， 为 的高， ，
，那么 是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
故选： ．
2．如图，在 中， 为 延长线上一点， 与 的平分线相交于点 ，
，则 的度数为
A． B． C． D．【解答】解： 的平分线与 的平分线交于点 ，
， ，
，
即 ，
，
，
．
故选： ．
3．如图，在三角形 中， ， ， 平分 ， 平分
，其角平分线相交于 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ，
，
平分 ，
，
．
故选： ．
4．如图， ， 分别是内角 和外角 的平分线，若 ，
则A． B． C． D．
【解答】解： ， 分别是 与外角 的平分线，
， ，
，
，
故选： ．
5．如图， ， ， ，则 的大小为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
设 ， ，
， ，
，
，
，，
故选： ．
6．如图， 中，点 是 角平分线的交点， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
、 分别是 的角 、 的平分线，
， ，
，
，
故选： ．
二．填空题（共4小题）
7．如图，已知 、 的外角平分线交于 点． ，那么 ．【解答】解： ， ，
，
， ，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
故答案为 ．
8．如图， 中， ， 的两条角平分线交于点 ， 的度数是
；
【解答】解： 中， ，
，
的两条角平分线交于点 ，
， ，
，
，故答案为： ．
9．如图，在 中， 是三内角平分线的交点， ，则
．
【解答】解： 、 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．10．如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的角平分线，
是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线，若
，则 为 ．
【解答】解： 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
又 ， ，
，
，
同理理可得 ， ，
则 ．
故答案为： ．
三．解答题（共10小题）
11．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在 中， ，图 的 的内角平分线或外角平分线交于点 ，
请直接求出下列角度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ；
如图4， ， 的三等分线交于点 ， ，连接 ，则 ．
（2）如图5，点 是 两条内角平分线的交点，求证： ．
（3）如图6， 中， 的三等分线分别与 的平分线交于点 ， ，若
， ，求 的度数．
【解答】解；（1）如图1，
平分 ， 平分
，；
如图2，
平分 ， 平分
，
如图3，
平分 ， 平分
，如图4，
， 的三等分线交于点 ，
， ， 平分 ， 平分 ， 平
分
故答案为： ， ， ， ；
（2）证明： 平分 ， 平分 ，， ，
．
（3）
，
或由题意，设 ， ，
，
，
，
．
12．在 中， ， 是它的两条角平分线，且 ， 相交于点 ，
于点 ．将 记为 ， 记为 ， 记为 ．
（1）如图1，若 ， ，则 2 0 ， ；
（2）如图2，猜想 与 的数量关系，并证明你的结论；
（3）若 ， ，用含 和 的代数式表示 的度数．（直接写出
结果即可）解：（2） 与 的数量关系是： ．
（3） ．
【解答】（1）解：在 中，
，
平分 ，
，
，
在 中， ，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为：20，55；
（2） 与 的数量关系是： ．
证明：在 中， ， 是它的两条角平分线，
， ，
于点 ，
，
在 中， ，
，
，，
在 中， ，
；
故答案为： ；
（3） ， 是 的两条角平分线，
， ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
整理得， ，
．
故答案为： ．
13．如图1． 的外角平分线 、 交于点 ．
（1）若 ．则 的度数为 ；
（2）如图 2，过点 作直线 ，交 ， 延长线于点 、 ．若设
， ，则 与 满足的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线 绕点 转动．
①如图3，当直线 与线段 没有交点时，试探索 与 ， 之间满足的数量关系，
并说明理由；
②当直线 与线段 有交点时，试问①中 与 ， 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，
，
，
，
又 的外角平分线交于点 ，
，
中 ，
故答案为 ；
（2）如图2，
，
，
又 的外角平分线交于点 ，，
中， ，
又 ， ， ，
， ，
中， ，
，
即 ，
故答案为： ；
（3）① ，理由如下：
如图3，
由（2）可得， ，
，
，
即 ，
②当直线 与线段 有交点时，①中 与 ， 之间的数量关系不成立，
分两种情况：
如图4，当 在线段 上， 在 延长线上时，由（2）可得， ，
，
，
即 ；
如图5，
当 在 的延长线上， 在线段 上时，
由（2）可得， ，
，
，
即 ；
综上所述， 与 ， 之间的数量关系为 或 ．
14．如图，若 点是 三个内角的角平分线的交点．
（1） ， ；（2）用 来表示 ；
（3）猜想： ， ．
【解答】解：（1） 点是 三个内角的角平分线的交点，
， ，
故答案为： ， ；
（2） ， ，
；
（3）猜想： ， ；
理由如下： 平分 ， 平分
，；
同理可得： ．
故答案为： ， ．
15．如图1，点 、 分别在射线 、 上运动（不与点 重合）， 、 分别是
和 的角平分线， 延长线交 于点 ．
（1）若 ，则 6 0 ；若 ，则 ；
（2）若 ．请求出 的度数；（用含 的代数式表示）
（3）如图2，若 ，过 作直线与 交 ．若 时，求
的度数．（用含 的代数式表示）
【解答】解：（1） ，
，
、 的平分线交于点 ，
，
，
；
，
，
、 的平分线交于点 ，
，
；
；故答案为：60，45；
（2）在 中， ，
、 的平分线交于点 ，
，
即 ，
，
；
（3） 、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
，
，
16．如图①， 中， 与 的平分线交于点 ．根据下列条件，求 的
度数．
（1）若 ， ，则 ．
（2）若 ，则 ．
（3）若 ，则 ．
（4）从上述计算中，我们能发现已知 ，求 的公式是：
（5）如图②， ， 分别是 与 的外角平分线，交于点 ．若已知 ，
求 的公式．（写出推理过程）【解答】解：（1） 与 的平分线交于点 ，
， ，
，
故答案为 ．
（2） 与 的平分线交于点 ，
，
，
故答案为 ．
（3） ，
，
，
，
故答案为 ．
（ 4 ） 从 上 述 计 算 中 ， 我 们 能 发 现 已 知 ，
．
故答案为 ．
（5）如图，， 是 的外角
，
， 分别是 与 的外角平分线
，
在 中
．
17．冀教版义务教育七下第14页有这样一个问题：如图1，在 中， ，外角
平分线 和 相交于点 ，求 的度数．
请你先完成这个问题的解答．
嘉琪在完成以上问题的解答后，作如下变式探究：
（2）如图2，在 中， ，若 ， ， 与
交于点 ，则 的度数是 ．
（3）如图3，在 中， ，若 ， ，当射线
与 相交时， 的取值范围是什么？试说明理由．
【解答】解：（1）如图1．外角平分线 和 相交于点 ，
， ．
．
， ，
．
．
．
（2）由（1）知： ．
， ，．
．
故答案为： ．
（3） ，理由如下：
由（1）可知： ．
， ，
．
．
当射线 与 相交时， ，解得 ．
的取值范围是 ．
18．嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在 中， ，角平分线 、 交于点 ．求 的度数．（1）请直接写出 ．
【变式思考】
（2）若 ，请猜想 与 的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在 中，角平分线 、 交于点 ， ，交边 于
点 ，作 的平分线交 的延长线于点 ．若 ，猜想 与 的关系，
并说明理由．
【解答】解：（1）
理由为 ，
，
角平分线 、 分别平分 、 ，
， ，
，
在 中， ，
故答案为： ，
（2） ，
理由为 ，
，
角平分线 、 分别平分 、 ，
， ，，
在 中， ，
故答案为： ，
（3） ，
由（2）结论可知 ，
，
、 分别平分 和 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
19．已知在 中，图1，图2，图3中的 的内角平分线或外角平分线交于点 ．
（1）如图1，点 是 的两个内角平分线的交点，猜想 与 之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．如图2，若 ， 的内角平分线与外角平分线交于点 ，
则 ；如图3，若 ， 的两个外角平分线交于点 ，则
．
【解答】解：（1）猜想： ．
证明 平分 ， 平分 ，
， ，
．
（2）如图2所示． 平分 ， 平分
， ．
．
，
．当 时，
．
故答案为： ．
如图3所 平分 ， 平分 ，
， ．
．
， ，
．
当 时，
．
故答案为： ．20．如图，在 中， ， 为边 上一点（不与点 ， 重合），连接
，在 的延长线上取点 ，连接 ． 的邻补角的角平分线和 的邻补
角的角平分线交于点 ．
（1）当 时，求证：
① ；
② ；
（2）判断 与 的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：① ， ，
，
， ，
；
②记 ， 的延长线上分别有 ， 点，， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
；
（2） ，
理由：设 ， ，
则 ， ，
， ，
由（1）①得 ，
，
由（1）②得 ，
且 ，
，
．
