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专题 4.2 认识一次函数
1. 结合“匀速运动”“费用计算”等实例，感受变量的均匀变化规律，理解一次函
数、正比例函数的概念，掌握解析式y=kx+b（k≠0）的特征。
教学目标 2. 能辨析一次函数与正比例函数的区别与联系，会判断给定函数是否为一次函数。
3. 经历从实际问题中抽象出一次函数关系式的过程，初步体会模型思想，发展抽象
思维。
1.重点
（1）核心是理解一次函数的概念本质，即变量间的线性对应关系，准确把握其解析
式中k≠0、x为一次项的关键特征。
（2）能根据具体情境（如弹簧长度、耗油量）中的数量关系，列出一次函数表达
教学重难点 式，并明确正比例函数是其特殊形式。
2.难点
（1）难以从实际问题的复杂信息中提炼出线性关系，对“均匀变化”的感知不敏
锐，抽象出函数关系式时易出错。
（2）对解析式中k≠0的限制条件理解模糊，判断函数类型或求参数值时，常忽略此关键前提。
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，
其中 是 的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行
判断作答即可．
【详解】解：① ，是一次函数，正确，故符合要求；
② ，是一次函数，正确，故符合要求；
③ ，不是一次函数，错误，故不符合要求；
④ ，不是一次函数，错误，故不符合要求；
综上可知， 是 的一次函数有2个．
故选：B．
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知 .
(1)当m，n为何值时， 是 的一次函数？
(2)当m，n为何值时， 是 的正比例函数？
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】正比例函数的定义
【详解】解：（1） 是 的一次函数，
且 ， 为任意实数，解得 .
（2） 是 的正比例函数，
且 ， ，解得 ，
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为 ，根据表达式特点对选项进
行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．
【详解】解：A、 ，是正比例函数，符合题意；
B、 ，是反比例函数，不合题意；
C、 ，是二次函数，不合题意；
D、 ，是一次函数，不合题意；
故选：A．
2．写出下列各题中 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数，是否为 的正比例函数．
①等边三角形的周长 与边长 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量 （升）与已行驶的
距离 （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步
价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用
（元）与乘车距离 （千米）（ ）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为 ，底面是正方形，求这个长方体的体积 （ ）与底面边长 （ ）之间
的关系．
【答案】见解析
【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关
键．
根据三角形周长公式表示出 与 之间的关系式即可；②根据余油量 耗油量 原油量表示出 与 之
间的关系式即可；③根据乘车费 起步价 燃油附加费 加收的乘车费表示出 与 之间的关系式即可；④根据长方体的体积 底面积 高表示出 与 之间的关系式即可．
【详解】解：① ，是一次函数，也是正比例函数．
② ，是一次函数，不是正比例函数．
③ 是一次函数，不是正比例函数．
④ ，既不是一次函数，也不是正比例函数．
题型01 正比例函数的定义
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进
行判断：形如 （ 是常数， ）的函数叫作正比例函数．
【详解】A． 是正比例函数，故本选项符合题意；
B． 不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C． 是常值函数，故本选项不符合题意；
D． ，分母含有自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，由 （ ）进行判断即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，故符合题意；
B. 中 是分式，不是正比例函数，故不符合题意；
C. 是一次函数，含有常数项，故不符合题意；
D. 自变量的次数不是 ，不是正比例函数，故不符合题意；
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如 为常数且 的函数是正比例函数，需满足：①
自变量 的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可．
【详解】解：A． 是正比例函数，符合题意；
B． ，是反比例函数，不符合题意；
C． ，未知数的次数是二次，不符合题意；
D． ，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意．
故选：A．
【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列各函数中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义，形如 （k为常数且 ）的函数是正比例函数．据此逐一分析各
选项即可．
【详解】A． 含常数项1，不符合 的形式，故不是正比例函数．
B． 中x的次数为2，不符合 的形式，故不是正比例函数．
C． 符合 的形式，故是正比例函数
D． 中x在分母，不符合 的形式，故不是正比例函数．
故选：C
题型02 一次函数的识别
【典例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②④ B．①③ C．①② D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如 （ 是常数，且 ）的函数是
一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：① 是一次函数，符合题意；
② ，即 ，则 是一次函数，符合题意；
③ 不是一次函数，不符合题意；
④ 是一次函数，符合题意；∴一次函数的有①②④，
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据一次函数的定义， （ ， 为常数， ），当 时，函数为正比例函数，据此进行逐
项分析，即可作答．
【详解】解：A、 不是一次函数，故该选项不符合题意；
B、 ，变形为 ，是正比例函数，故该选项不符合题意；
C、 ，不是一次函数，故该选项不符合题意；
D、 是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，① ；② ；③
；④ ，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解．
【详解】解：一次函数的为： ， ，共有 个，
故选：C．
【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）有下列五个式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，表示y是x的一次函数的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：k，b为常数， ，自变
量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：① ，变形为 ，符合一次函数的定义，
② 不符合一次函数的定义，③ 符合一次函数的定义，
④ ，变形为 ，符合一次函数的定义，
⑤ 不符合一次函数的定义，
综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个，
故选：C．
题型03 根据一次函数的定义求参数
【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数 ．
（1）当 时， 是 的一次函数；
（2）当 时， 是 的正比例函数．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：k、b为常数， ，自变
量次数为1．
（1）根据一次函数的定义可知 ，求出 的取值范围即可；
（2）根据正比例函数的定义可知 且 ，从而可求得m的值．
【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知： ，
解得： ．
（2）∵函数 是正比例函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ； ．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若 是关于x的一次函数，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可得 ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：2．
【变式2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，
系数不为0的条件．
根据一次函数要求 且 ，联立解答．【详解】解：∵ 是一次函数，
∴ ，
解得 ．
故答案为：2．
【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数 是一次函数，则k的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 ， 、 是常数）的
函数，叫做一次函数．
根据一次函数的定义得到 且 ，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得 且 ，
解得 ．
故答案为：2．
题型04 求一次函数自变量或函数值
【典例4】（2025·江苏泰州·三模）已知点 在一次函数 的图象上，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数
图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即
可．
【详解】解：将点 坐标代入 得，
，
则 ，
所以 ，
故答案为： ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在一次函数 的图象上，则
的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键．
直接把点 代入一次函数解析式得到 ，再整体代入求值即可．
【详解】解；∵点 在一次函数 的图象上，∴
∴
∴
故答案为：0．
【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点 在直线 上，则代数式 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点
代入直线解析式，得到 ，再整体代入计算求值即可．
【详解】解： 点 在直线 上，
，
，
，
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数 ．
(1)求当 时，函数y的值；
(2)求当 时，自变量x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解
题的关键．
（1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解；
（2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：当 时， ；
（2）解：当 时， ，
解得： ．
题型05 列一次函数解析式并求值
【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10
(2)P（7，3）【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x
的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；
（2）把S=12代入函数解析式即可．
【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，
∴y=10-x，
∴OA=8，P（x，10-x）
∴S= ×8(10-x)=-4x+40．
又∵x>0，且10-x>0，
∴0<x<10．
（2）当S=12时，即12=40-4x，
解得x=7，
∴y=10-7=3，
∴S=12时，P点坐标（7，3）．
【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算．
【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表
示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【答案】（1） ，y是x的一次函数；（2）
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为： （km），即 ；
当火车到达甲地时，即
∴ ，即火车行驶1.5h到达甲地
∴
y是x的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得： ．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【变式2】如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以 的速度向丙地行驶．设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ， 是 的一次函数；（2）140
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km
∴y=100+80x
∴y是x的一次函数；
（2）当 时，得：y=100+80×0.5=140．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，
某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，
多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本
笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和 本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
元，选择第二种方案购买所需费用为 元．
(1)请分别写出 ， 与x之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为
优惠．
【答案】(1) 与x之间的关系式为 ， 与x之间的关系式为
(2)选择方案②更为优惠
【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可；
（2）将 分别代入 、 求出结果比较大小即可．
【详解】（1）解：方案①： ，
方案②： ，
与x之间的关系式为 ， 与x之间的关系式为 ；
（2）当 时， ； .
，
选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键．题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式
【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把 代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点 在这个函数的图象上，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点 在（1）中函数的图象上，求a的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关
键；
（1）根据题意设设 ，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把点 代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
当 时，
，解得： ，
与x的函数关系式为 ，
即 ；
（2）把 代入 得 ，
∴ ．
【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与 成正比例，当 时 ；
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当 时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相
关知识是解题的关键
（1）设解析式为 ，把 ， 代入，可求 ，进而可得解析式；
（2）将 代入（1）的关系式，计算求解即可．
【详解】（1）解：设解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴解析式为 ；
（2）解：将 代入得： ，
解得 ．
∴x的值为 ．
【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点 在这个函数的图象上，求a的值．(3)试判断点 是否在此函数图像上，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点 不在此函数的图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，
熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．
（1）设 ，将x、y值代入求出k值即可求解；
（2）将点 代入（1）中函数关系式中求解即可；
（3）将 代入（1）中函数关系式中求解判断即可．
【详解】（1）根据题意，设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，即 ，
∴y与x的函数关系式为 ；
（2）将点 代入 得： ，
解得： ；
（3）当 时， ，
则点 不在此函数的图象上．
一、单选题
1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据一次函数的定义逐一验证即可．
【详解】解：A： ，该函数含分式 ，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意；B： ，未明确 ，故该选项不符合题意；
C： ，该函数符合一次函数的标准形式，故该选项符合题意；
D： ，该函数最高次数为2，不符合一次函数的定义，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分别代入 、 、 求出 值，对照各选项
中点的纵坐标后即可得出结论．
【详解】解：A、当 时， ，
∴点 在一次函数 的图象上，故选项符合题意；
B、当 时， ，
∴点 不在一次函数 的图象上，故选项不符合题意；
C、当 时， ，
∴点 不在一次函数 的图象上，故选项不符合题意；
D、当 时， ，
∴点 不在一次函数 的图象上，故选项不符合题意；
故选：A．
3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若 是正比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，形如 （k是常数， ）的函数，叫做正比例函
数，其中k叫做比例系数，正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数．根据正比例函
数的定义可得关于 且 ，求解即可得．
【详解】解：由题意得： 且 ，
解 得 ，
解 得 ，
故 ，
故选：B．
4．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数
其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y与x的函数关系式，判断是否为一次函数即可．
【详解】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为 㡳×高，代入底长3，得 ，
即 ，是正比例函数（一次函数），符合条件；
②：泳池匀速放水，剩余水量 与时间 的关系为 （ 为初始水量， 为放水速度），属于一次
函数，符合条件；
③：铺设总长度固定时，每日铺设长度 与天数 满足 （ 为总长度），不符合一次函数．
综上，满足一次函数关系的是①和②，
故选∶A．
5．（19-20八年级上·浙江温州·期末）已知点 ， 都在函数 的图象上，下列对
于 ， 的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点 、 代入函数解析式，
联立方程消去 ，得到 与 的关系式，然后即可求解.
【详解】解：∵点 在函数 上，
代入得： ,
∴ ，
∵点 在函数 上，
代入得： ，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，即 ，
故选：A.
二、填空题6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知函数 ，当 时，y的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查求一次函数的函数值，直接把 代入函数关系式，进行求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ；
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在一次函数 中，图象过点 ，则 的值是 ．
【答案】4
【分析】此题考查一次函数图象上的坐标特点，解题关键在于掌握这条直线上的各点的坐标一定适合这条
直线的解析式．直接把 代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵在一次函数 中，图象过点 ，
∴把 代入 ，得 ，
故答案为：4
8．（24-25八年级下·山东滨州·期末）函数 是 关于 的一次函数，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数 的定义条件是：k、b为常
数， ，自变量次数为1．根据一次函数的定义得出 ，求解可得答案．
【详解】解：由函数 是关于x的一次函数，
得： ，
解得：
故答案为：2．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点 在函数 上，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将点的坐标代入函数解析式．将坐标
代入 得到关于 、 的等式，再对所求式子进行变形求值．
【详解】解：因为点 在函数 的图象上，所以 ，整理得 ，两边
同时乘以2得 ．
故答案为：2．
10．（24-25八年级下·江西上饶·期末）一次函数 的图像过定点 ，则点 到原点距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数解析式的图象与性质，两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握上述知识点
是解题的关键，在运用两点间的距离公式时不要与中点坐标公式混淆．根据一次函数 过定点
，求出点 的坐标，后运用两点间距离公式和勾股定理计算即可．
【详解】
在一次函数 一定过定点 ，
点 的坐标为
原点坐标为
点 到原点距离为 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函
数？是否为正比例函数？
(1)正方形的面积 与它的边长x（ ）之间的关系；
(2)某地居民用电收费标准是0.53元/（ ），应缴电费y（元）与用电量x（ ）之间的关系；
(3)汽车从离A站 的B地出发，以 的速度沿射线 方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（
）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系．
【答案】(1) 不是 的一次函数，也不是 的正比例函数
(2) ， 是 的一次函数，也是 的正比例函数
(3) ， 是 的一次函数，但不是 的正比例函数
【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键．
（1）根据正方形的面积 是边长 x（ ）的平方列出函数解析式，再判断即可；
（2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（ ）与用电量x（ ）的乘积，列出函数解析
式，再判断即可；
（3）根据汽车到A站的距离y（ ）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
不是 的一次函数，也不是 的正比例函数；
（2）解：根据题意可得，
， 是 的一次函数，也是 的正比例函数；
（3）解：根据题意可得，
， 是 的一次函数，但不是 的正比例函数12．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数 ．
(1)当 ， 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 ， 为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】(1)当 ， 为任意实数时，这个函数是一次函数
(2)当 ， 时，这个函数是正比例函数
【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键．
（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得： ，
解得 ，
又 即 ，
当 ， 为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）解：根据正比例函数的定义，得： ， ，
解得 ， ，
又 即 ，
当 ， 时，这个函数是正比例函数．
13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在该函数的图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把 代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
把 时， 代入得： ，
解得 ，
，即 ；
（2）解：把 代入 得 ，
解得 ．
14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按 元/ 计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用
按 元/ 计．
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（ ）之间的关系；
(2)若每月平均通话时间为 ，你选择哪种套餐？并说明理由．
【答案】(1)A套餐： ，B套餐：
(2)选B套餐，理由见解析
【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间 之间的关系式即可；
（2）将 分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：A套餐 ，B套餐 ，
所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间 之间的关系分别为：
， ．
（2）解：当 时，
A套餐： （元），
B套餐： （元），
因为 ，
所以选B套餐更优惠．
15．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有
甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人 元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲
旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过 人，每人都按九折收费，超过 人，
则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为 人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 与 之间的函数关系式；
(2)若王老师组团参加两日游的共有 人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总
费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用 与 之间的函数关系式为 ，乙旅行
社收取组团两日游的总费用 与 之间的函数关系式为 ；
(2)若王老师组团参加两日游的共有 人，选择乙旅行社．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
（1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式；
（2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
甲旅行社收取组团两日游的总费用当 时，乙旅行社收取组团两日游的总费用 ，
当 时，乙旅行社收取组团两日游的总费用 ，
∴乙旅行社收取组团两日游的总费用 ，
答：甲旅行社收取组团两日游的总费用 与 之间的函数关系式为 ，乙旅行社收取
组团两日游的总费用 与 之间的函数关系式为 ．
（2）解：当 时，
甲旅行社收取总费用 （元）
乙旅行社收取总费用 （元）
∵ ，
∴乙旅行社收取总费用较少，
答：若王老师组团参加两日游的共有 人，选择乙旅行社．
16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，
已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花m元，设批发甲种蔬菜 ，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】(1)批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ；
(2) ；
(3)至少批发甲种蔬菜 ．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量
之间的关系成为解题的关键．
（1）设批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共 花90元”
列一元一次方程求解即可；
（2）设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可；
（3）设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元”列
不等式求解即可．【详解】（1）解：设批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得： ， 解得： ，
乙蔬菜为： ．
答：故批发甲蔬菜 ，乙蔬菜 ．
（2）解：设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得： ．
答：m与n的函数关系为： ．
（3）解:设批发甲种蔬菜 ，乙蔬菜 ，
由题意得 ， 解得 ．
答：至少批发甲种蔬菜 ．
