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专题 4.2 认识一次函数
1. 结合“匀速运动”“费用计算”等实例，感受变量的均匀变化规律，理解一次函
数、正比例函数的概念，掌握解析式y=kx+b（k≠0）的特征。
教学目标 2. 能辨析一次函数与正比例函数的区别与联系，会判断给定函数是否为一次函数。
3. 经历从实际问题中抽象出一次函数关系式的过程，初步体会模型思想，发展抽象
思维。
1.重点
（1）核心是理解一次函数的概念本质，即变量间的线性对应关系，准确把握其解析
式中k≠0、x为一次项的关键特征。
（2）能根据具体情境（如弹簧长度、耗油量）中的数量关系，列出一次函数表达
教学重难点 式，并明确正比例函数是其特殊形式。
2.难点
（1）难以从实际问题的复杂信息中提炼出线性关系，对“均匀变化”的感知不敏
锐，抽象出函数关系式时易出错。
（2）对解析式中k≠0的限制条件理解模糊，判断函数类型或求参数值时，常忽略此关键前提。
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，
其中 是 的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行
判断作答即可．
【详解】解：① ，是一次函数，正确，故符合要求；
② ，是一次函数，正确，故符合要求；
③ ，不是一次函数，错误，故不符合要求；
④ ，不是一次函数，错误，故不符合要求；
综上可知， 是 的一次函数有2个．
故选：B．
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知 .
(1)当m，n为何值时， 是 的一次函数？
(2)当m，n为何值时， 是 的正比例函数？
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】正比例函数的定义
【详解】解：（1） 是 的一次函数，
且 ， 为任意实数，解得 .
（2） 是 的正比例函数，
且 ， ，解得 ，
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为 ，根据表达式特点对选项进
行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．
【详解】解：A、 ，是正比例函数，符合题意；
B、 ，是反比例函数，不合题意；
C、 ，是二次函数，不合题意；
D、 ，是一次函数，不合题意；
故选：A．
2．写出下列各题中 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数，是否为 的正比例函数．
①等边三角形的周长 与边长 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量 （升）与已行驶的
距离 （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步
价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用
（元）与乘车距离 （千米）（ ）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为 ，底面是正方形，求这个长方体的体积 （ ）与底面边长 （ ）之间
的关系．
【答案】见解析
【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关
键．
根据三角形周长公式表示出 与 之间的关系式即可；②根据余油量 耗油量 原油量表示出 与 之
间的关系式即可；③根据乘车费 起步价 燃油附加费 加收的乘车费表示出 与 之间的关系式即可；④根据长方体的体积 底面积 高表示出 与 之间的关系式即可．
【详解】解：① ，是一次函数，也是正比例函数．
② ，是一次函数，不是正比例函数．
③ 是一次函数，不是正比例函数．
④ ，既不是一次函数，也不是正比例函数．
题型01 正比例函数的定义
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进
行判断：形如 （ 是常数， ）的函数叫作正比例函数．
【详解】A． 是正比例函数，故本选项符合题意；
B． 不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C． 是常值函数，故本选项不符合题意；
D． ，分母含有自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，由 （ ）进行判断即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，故符合题意；
B. 中 是分式，不是正比例函数，故不符合题意；
C. 是一次函数，含有常数项，故不符合题意；
D. 自变量的次数不是 ，不是正比例函数，故不符合题意；
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如 为常数且 的函数是正比例函数，需满足：①
自变量 的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可．
【详解】解：A． 是正比例函数，符合题意；
B． ，是反比例函数，不符合题意；
C． ，未知数的次数是二次，不符合题意；
D． ，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意．
故选：A．
【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列各函数中， 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义，形如 （k为常数且 ）的函数是正比例函数．据此逐一分析各
选项即可．
【详解】A． 含常数项1，不符合 的形式，故不是正比例函数．
B． 中x的次数为2，不符合 的形式，故不是正比例函数．
C． 符合 的形式，故是正比例函数
D． 中x在分母，不符合 的形式，故不是正比例函数．
故选：C
题型02 一次函数的识别
【典例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②④ B．①③ C．①② D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如 （ 是常数，且 ）的函数是
一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：① 是一次函数，符合题意；
② ，即 ，则 是一次函数，符合题意；
③ 不是一次函数，不符合题意；
④ 是一次函数，符合题意；∴一次函数的有①②④，
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据一次函数的定义， （ ， 为常数， ），当 时，函数为正比例函数，据此进行逐
项分析，即可作答．
【详解】解：A、 不是一次函数，故该选项不符合题意；
B、 ，变形为 ，是正比例函数，故该选项不符合题意；
C、 ，不是一次函数，故该选项不符合题意；
D、 是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，① ；② ；③
；④ ，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解．
【详解】解：一次函数的为： ， ，共有 个，
故选：C．
【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）有下列五个式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，表示y是x的一次函数的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：k，b为常数， ，自变
量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：① ，变形为 ，符合一次函数的定义，
② 不符合一次函数的定义，③ 符合一次函数的定义，
④ ，变形为 ，符合一次函数的定义，
⑤ 不符合一次函数的定义，
综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个，
故选：C．
题型03 根据一次函数的定义求参数
【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数 ．
（1）当 时， 是 的一次函数；
（2）当 时， 是 的正比例函数．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：k、b为常数， ，自变
量次数为1．
（1）根据一次函数的定义可知 ，求出 的取值范围即可；
（2）根据正比例函数的定义可知 且 ，从而可求得m的值．
【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知： ，
解得： ．
（2）∵函数 是正比例函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ； ．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若 是关于x的一次函数，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可得 ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：2．
【变式2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，
系数不为0的条件．
根据一次函数要求 且 ，联立解答．【详解】解：∵ 是一次函数，
∴ ，
解得 ．
故答案为：2．
【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数 是一次函数，则k的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 ， 、 是常数）的
函数，叫做一次函数．
根据一次函数的定义得到 且 ，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得 且 ，
解得 ．
故答案为：2．
题型04 求一次函数自变量或函数值
【典例4】（2025·江苏泰州·三模）已知点 在一次函数 的图象上，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数
图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即
可．
【详解】解：将点 坐标代入 得，
，
则 ，
所以 ，
故答案为： ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点 在一次函数 的图象上，则
的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键．
直接把点 代入一次函数解析式得到 ，再整体代入求值即可．
【详解】解；∵点 在一次函数 的图象上，∴
∴
∴
故答案为：0．
【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点 在直线 上，则代数式 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点
代入直线解析式，得到 ，再整体代入计算求值即可．
【详解】解： 点 在直线 上，
，
，
，
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数 ．
(1)求当 时，函数y的值；
(2)求当 时，自变量x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解
题的关键．
（1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解；
（2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：当 时， ；
（2）解：当 时， ，
解得： ．
题型05 列一次函数解析式并求值
【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，00，且10-x>0，
∴0
