文档内容
第四章 一次函数
4.2认识一次函数（1）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。
（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问
题的能力。
（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
学习重点：理解一次函数、正比例函数意义及解析式特点｡
学习难点：一次函数、正比例函数的解析式特点
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预习自测
一、知识链接
1、在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对
应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2、函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
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教学过程
一、创设情境、导入新课
一个滴水的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个人使用一年吗？设计一个方案估算一下。
2020年，我国生活用水量，城镇（含公共用水）207L/d,农村100L/d
二、合作交流、新知探究
活动1：
将水龙头拧到适当的位置，造成漏水现象，在水龙头下放一个量杯，每隔 1min记录一下量杯的水量，
将记录的数据填入下表。在坐标纸上描出v、t的对应点，探究漏水量的变化规律，估算一下这个水
龙头一天的漏水量。
时间t/min 1 2 3 4 5 6
漏水量v/L 5.5 11 16.5 22 27.5 33v
1、描点，连线
2、思考
（1）连线后这线有什么特点？
.
（2）写出v与Y的关系式。
.
t
活动2：
为了估算一根驱蚊线香可燃烧时间，小颖点燃一根香，每隔 1min测量一次线香燃烧的长度，数据如
下。
时间t/min 1 2 3 4 5 6
可 燃 烧 长 度 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 19.9
L/cm
L
（1）在平面直角坐标系中描出各点。
（2）估计燃烧10min后线香可燃烧的长度。
（3）估计这根线香燃烧的时间。
（4）试写出燃烧时间（t）和可燃烧的长度L的
关系式。
t
从表格中可以看出每分钟燃烧长度是 cm,线香总长度是 cm,所以 min燃烧 厘
米，可燃烧长度 cm;估计这根线香可以燃烧 分钟。关系式是
交流讨论：
燃烧时间增加1min,可燃烧部分减少0.5cm,也就是说随着时间的增加可燃烧长度“均匀”的减少，如
何理解“均匀”？
活动三
在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：厘米）与所挂物体的重量x（单位kg)的关系如下表
X/千克 0 1 2 3 4 5
Y/cm（1）随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长吗？
.
（2）写出Y与x的关系式，并说明理由。
.
活动四
某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
汽车行驶的路程X/千米 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
（1)写出耗油量y与汽车行驶的路程x的关系式
.
（2）写出油箱剩余油量z（单位：L)与行驶的路程x的关系式
.
继续探究
下列等式的结构特征有什么特点。
(1) v=5.5t (2)L=22.9-0.5t (3)y=3+0.5x，
（1）都是含有 个变量等式.其中左边是 ，右边是 ；
（2）自变量的系数都不为 ；
（3）自变量和因变量的次数都是 的.
(4) 自变量增加（减少），函数值就 增 加（减少）
探究小结：
一次函数的定义
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函
数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
一次函数
关系式为：y=kx+b 关系式为：y=kx
正比例函数
(k,b为常数，k≠0） (k为常数，k≠0）
一次函数与正比例函数的关系三、典例精析
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
.
(2) 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
.
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
.
.
四、课堂练习
1. 判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？
是一次函数的是： . 是正比例函数的是 ： .（填序号）
2、写出下列一次函数关系式中的k和b.
（1）y=2x-1，k= ，b= ；
（2）y=-5x， k= ，b= ；
（3） K = ， b= ;
3.下列函数
中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A. B. y=-3x C. y=2(x+3) D.
4.已知函数Y=(m+5)x+m-3
(1）若该函数是一次函数，则m的取值范围为 ；
（2）若该函数是正比例函数，则y与x之间的函数关系式为: .
5.下 列说法中，不正确的是（ ）
A.一次函数不一定是正比例函数 B.正比例函数是一次函数的特例
C. 不是正比例函数就不是一次函数 D.不是一次函数就不是正比例函数
6、某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。y是x的一次函数吗？是正
比例函数吗？7、如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶。
设x（时）表示火车行驶的时间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x之间的关系式，
并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值
能力提升：
8.若 是关于x的正比例函数。则m= .若是一次函数则 m = .
9.若 是关于x正比例函数，M= .
拓展迁移：
10. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1元，另一种是会员卡收费，卡费每月
12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y （元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y （元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
四、总结反思、拓展升华
1、一次函数与正比例函数的概念：
2、一次函数与正比例函数的关系：
（在集合图填上一次函数或正比例函数）
3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式；
五、【作业布置】
基础达标：
1. 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(5)y=3（x+1）
（1）y=-x-4 （2）y=5x2+6 （3）y=2πx2.一次函数y=－3x+2中，k= ,b= .
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A B. C. D.
4.如图， 甲乙两地相距120千米，现有一列火车从乙地出发，以85千米/时的速度驶向丙地。
设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，则y与x之间的关系式为
。
5.当a 时，函数y=（a-2)x+5 是关于x的一次函数.
6.当k= 时，函数y=3x+1-k 是关于x的正比例函数.
7.当m= 时， 函数 是关于x的一次函数.
能力提升：
8.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件是 ,若是正
比例函数，则m,n应该满足是 ，
9.当k= 时,函 数 是关于x的一次函数 .
拓展迁移：
10．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t的部分，
自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水
公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
课堂作业参考答案：
1、①、③、⑥; ①、⑥
（3）y=2πx
2、(1)2,-1; (2)-5,0; (3) ,2;
3、C
4、m≠5; y=8x
5、C
6、答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。7、答：（1） y=100+80x ，y是x的一次函数；
（2）当x=0.5时，y=100+80×0.5=140
8、-2；≠2
9、-2
10解:(1)y =x.
(2)y =0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会
员卡租书方式合算.
课外作业参考答案
1、 (1) y是x的一次函数，不是正比例函数.
(2) y不是x的一次函数，也不是正比例函数.
(3) y是x的一次函数，也是正比例函数.
(4) y是x的一次函数，不是正比例函数
(5) y是x的一次函数，不是正比例函数
.
2、-3；2
3、C
4、y=85x+120
5、 ≠2
6、1
7、4
8、 m≠－2,n为任意实数 m≠－2,n=1
9、3
10、解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x-5）×2.6＝2.6x-3;
所以y=2.6x-3
（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8-3=17.8（元）
