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第四章 一次函数（复习讲义）
1. 了解函数、一次函数（含正比例函数）的意义，体会一次函数各知识点之间的整体联系。
2. 能用函数概念判断函数关系，能识别一次函数和正比例函数的表达式。
3. 理解一次函数y = kx + b的图象是直线，掌握k、b对图象性质（y随x的变化、与y轴交点）的影响。
4. 能利用一次函数建立模型，解决行程、成本利润、方案选择等实际问题。
知识点01 函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那
么就说y是x的函数，x是自变量。
知识点02 一次函数的表达式
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函
数。
知识点03 一次函数的图象与性质b
一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增
k
大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。
知识点04 一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合
图象或性质求解。
题型一 一次函数的图象和性质
【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）．
A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限
C．当 时， D．函数图象与y轴交点坐标为
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的基本性质，需对一次函数的定义和图象性质熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：A项：一次函数 中， ，故y随x的增大而增大，故说法正确；
B项： （图象上升）， （与y轴交于负半轴），图象经过第一、三、四象限，不经过第
二象限，故说法正确；
C项：当 时， ；因 函数递增，故 时 ，故说法正确；
D项：与y轴交点 ，代入得 ，交点为 ，而非 ，故说法错误．
故选：D．
【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于直线 ，下列说法正确的是（ ）
A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限
C．y随x的增大而增大 D．点 在直线l上
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，求一次函数的函数值，求一次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可判断函数经过的象限和增减性，据此可判断B、C；求出 和
时的函数值即可判断A、D．
【详解】解：∵直线l解析式为 ， ，
∴直线l经过第二、三、四象限，且y随x的增大而减小，故B说法正确，C说法错误；
在 中，当 时， ，
∴直线l与y轴交于点 ，故A说法错误；
在 中，当 时， ，
∴点 不在直线l上，故D说法错误；
故选：B．
【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
①函数的图象与 轴的交点坐标是
②函数的图象经过第一、二、四象限
③若 两点在该函数图象上，且 ，则
④函数的图象向上平移1个单位长度得 的图象
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数图像和性质逐
项判断即可．
【详解】一次函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，故本选项不符合题意；
②一次函数 的图象经过第一、二、四象限，正确，故本选项符合题意；
③若 两点在该函数图象上，
∵ ，y随x的增大而减小，
∴ 时， ，不正确，
故本选项不符合题意；④一次函数 的图象向上平移1个单位长度得 的图象，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数 的图象向上平移5个单位长
度得到一次函数 的图象，下列结论错误的是（ ）
A．
B．一次函数 的图象经过点
C．对于一次函数 ，当 时，
D．若点 ， 均在一次函数 的图象上，则
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函
数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项．
先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项
B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合 和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k
值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论．
【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数 向上平移5个单位得
，故 ．
A、由平移规律计算得 ，此选项不符合题意；
B、将 代入 ，得 ，故图象经过点 ，此选项不符合题意；
C、∵ 中 ， 随 增大而减小，当 时， ，
∴ 时， ，此选项不符合题意；
D、∵ ， 随 增大而减小，又 ，
∴ ，此选项符合题意；
故选：D．题型二 利用一次函数的性质求解
【例2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若点 在一次函数 图象上，则
（填 ， 或 ）．
【答案】
【分析】先根据一次函数的表达式，分别求出点 、 对应的函数值 、 ，再比较大小．本题主要考查
了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【详解】解： 点 在 图象上，
∵
．
∴
点 在 图象上，
∵
．
∴
，
∵
．
∴
故答案为： ．
【变式2-1】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴的交点
分别为A、B，则 的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令 ，则 ，令 ，则 ，可得
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当 时， ，，
即 ，
当 时， ，
即 ，
由勾股定理得， ，
故答案为：10．
【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 ，当 时，y的最大值是
．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值．
【详解】一次函数 中， ，y随x增大而减小．
故当 时， ．
故答案为： ．
【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数 ．
（1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ．
（2）当 时，函数y有最大值 ，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
（1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论；
（2）根据题意得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ；（2）在一次函数 中，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，函数y有最大值 ，
∴当 时， ，代入 得， ，
解得： ．
故答案为： ．
题型三 求一次函数的表达式
【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点
.
(1)求一次函数的表达式；
(2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一
次函数图象的平移规律是解题的关键．
（1）将点 的坐标代入 计算即可；
（2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可．
【详解】（1）解： 一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
即该一次函数的表达式为 ；（2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题综合考查了正比例的定义，函数图象上点的坐标特征．正确理解正比例的定义是解题的关键；
（1）根据正比例的定义设 ，然后把 ， ，代入计算求出 值，再整理即可；
（2）将点 代入（1）中所求的函数解析式求 的值．
【详解】（1） y与 成正比例
可设 ，
把 ， 代入 得， ，
解得 ，
；
（2）若点 在这个函数的图象上，则 ，
解得 ．
【变式3-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一
部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
(1)求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式；(2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？
【答案】(1)
(2) 千克
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小
李销售此种水果的利润为150元．
【详解】（1）解：设降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为 ，
把点 代入得：
，
解得： ，
∴降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为 ；
（2）解：设当销售量为a千克时，小李销售此种水果的利润为150元，根据题意得：
，
解得： ，
答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元．
【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形 中，动点 在边上沿
的路径匀速运动． 的面积 与点 走过的路程 的关系图象如图2所示．
(1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
(2)探究 与 之间的关系表达式．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）直接观察函数图象，即可求解；
（2）分三段：当点E在 边上时，当点E在 边上时，当点E在 边上时，利用三角形的面积公式
解答，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）解：当点E在 边上时， ，此时 ，
；
当点E在 边上时，此时 ，
∴ ；
当点E在 边上时， ，此时 ，
∴ ；综上所述， ．
题型四 画一次函数的图象
【例4】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数 的图象的过程．
列表：
x … 0 1 …
_____ _____ _____
y … …
_ _ _
描点并连线：
请根据上面的信息回答问题：
(1)补全表格中y对应的值．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数 的图象．
(3)若点 在函数 的图象上，求出m的值．
【答案】(1) ； ；2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可．
（2）根据描点法画图象解答即可．（3）根据点 在函数 的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，
解方程求出m的值．
本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： 2．
（2）解：根据题意，如答图所示，
图象即为所求．
（3）解： 点 在函数 的图象上，
将 代入 ，
得 ．
解得 ．
【变式4-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于
点 ， ．(1)请直接写出 ， 两点坐标： ：______， ：______；
(2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）；
(3)点 是一次函数 上一动点，则 的最小值为______．
【答案】(1) ，
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理．
（1）根据题目即可求出A、B两点的坐标；
（2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象；
（3）先利用勾股定理求出 ，当 与一次函数 的图象垂直时， 有最小值，再根据等面积
法，即可求出 的最短距离．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴A、B两点的坐标为 ；
（2）解：画图如图所示：（3）解：如图，过 作 于 即可；
∴此时 最短，
∵A、B两点的坐标为 ；
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ 的最小值为： ．
【变式4-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）已知一次函数
x 1y
(1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的
图象：
(2)根据图象回答下面的问题
①y的值随x的值的增大而______；
②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______；
③原点O到直线 的距离为______；
将直线 向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______．
【答案】(1)3；2；函数图象见解析
(2)①减小；② ；③ ；④
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，函数值，点的坐标的特征，三角形的面积，函数图象平
移的特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用一次函数的解析式解答即可；
（2）①利用一次函数图象的性质解答即可；
②依据函数的图象，令 ，求得 值即可；
③求得点 坐标，利用勾股定理求得 的长度，再利用三角形的面积公式列方程解答即可；
④利用一次函数的图象平移的性质解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ，
．
故答案为：3；2；
画出函数的图象如下图：
（2）解：①根据图象： 的值随 的值的增大而减小，
故答案为：减小；
②令 ，则 ，
点 的坐标是 ．
故答案为： ；
③由函数图象可知： ，
，
，
，
，
设原点 到直线 的距离为 ，
，
，
．故答案为： ；
④将直线 向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为
．
故答案为： ．
【变式4-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数
的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题．
(1)列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 1 a b c 0 1 …
表中 ， ， ；
(2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象；
(3)观察：观察图象，归纳一下两条性质：
图象关于直线 对称；
根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ；
(4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线 围成的区域内（不
包括边界）整点的个数为 ．
【答案】(1)0； ；
(2)见解析
(3)1；小；
(4)9
【分析】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的
关键．（1）把 或1或2代入函数解析式，即可解；
（2）描点、连线，在图中画出该函数图象即可；
（3）观察图形即可得出结论；
（4）根据图象可直接得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为：0； ； ；
（2）解：函数图象如下图所示：
，
（3）解：观察图象得：
图象关于直线 对称；
根据所画的图形可以发现该函数有最小值，该值是 ；
故答案为：1；小； ；
（4）解：画出直线 ，根据整点的定义可知，有九个整点．
.
故答案为：9．题型五 一次函数的实际应用
【例5】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从 ， 向甲、乙两地运送蔬菜， ， 两个蔬菜市场
各有蔬菜 吨，其中甲地需要蔬菜 吨，乙地需要蔬菜 吨，从 到甲地运费 元/吨，到乙地 元/吨；
从 地到甲运费 元/吨，到乙地 元/吨．
(1)设 地到甲地运送蔬菜 吨，请完成下表：
运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)
(2)设总运费为 元，请写出 与 的函数关系式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了列代数式、一次函数的应用，理解题意是解此题的关键．
（1）根据题意填写表格即可；
（2）根据题意表示出总费用即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：设 地到甲地运送蔬菜 吨，
运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)
（2）解：由题意可得：
．
【变式5-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，
现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往 农场和 农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦
化工厂运往 农场和 农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知 农场需要化肥1100吨， 农场需要化
肥1400吨．
(1)如果设从长城化工厂运往 农场 吨化肥，求此时所需的总运费 （元）与 （吨）之间的函数关系式
（直接写出自变量 的取值范围）．
(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．【答案】(1)
(2)当从长城化工厂运往 农场1000吨，从安秦化工厂运往 农场肥料100吨，从安秦化工厂运往 农场
1400吨时总运费最少，最少运费是114600元．
【分析】此题考查了一次函数的应用．
（1）从长城化工厂运往 农场 吨化肥，从安秦化工厂运往 农场化肥 吨，则从安秦化
工厂运往 农场，据此列出一次函数解析式即可；
（2）根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解： 从长城化工厂运往 农场 吨化肥，
从长城化工厂运往 农场 吨化肥，
从安秦化工厂运往 农场化肥 吨，则从安秦化工厂运往 农场 吨，
（2）由于 是一次函数， ，
随 的增大而减小．
， 当 时，运费最少，最少运费是114600元，
当从长城化工厂运往 农场1000吨，从安秦化工厂运往 农场肥料100吨，从安秦化工厂运往 农场
1400吨时总运费最少，最少运费是114600元．
【变式5-2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营
店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案：
方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售；
方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠．
设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款 元，已知
关于x的函数图象如图所示．(1)a的值为 ，b 的值为 ．
(2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围．
(3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值．
【答案】(1)8，100
(2)
(3)400
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）由题意得 ，再结合图象将 代入，得 ，即可求出a的值；观察函数
图象结合题意即可得出b 的值；
（2）结合函数图象，可知 在 上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出 ，当
时， ，令 ，解得x的值，再结合函数图象可得答案；
（3）当 时， ，结合题图可知，当 时，不存在符合题意的x的值，当
时，令 ，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意知 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
由题图知 ，
故答案为：8，100；
（2）解：由（1）知 ，
由题意知，当 时， ，
令 ，解得 ，
结合题图知，当 时，选择方案一购买更合算；
（3）解：当 时， ， ，
∴此时 ，
结合题图可知，当 时，不存在符合题意的x的值，
当 时，令 ，
解得 ，
答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400．
【变式5-3】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从
体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人
一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强
出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家．
(2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式．
(3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间．
【答案】(1)150；10
(2)
(3)张强出发 分或 分或35分后与妈妈相距1000米
【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键．
（1）直接根据图象求解即可；
（2）利用待定系数法解答即可求解；
（3）求出直线 、 的解析式，分三种情况讨论即可求解．【详解】（1）解：张强返回时的速度是 米/分；
∵ 米，
∴妈妈原来的速度为 米/分，
分，
即妈妈比按原速返回提前10分钟到家；
故答案为：150；10
（2）解：观察图象得：点A的坐标为 ，点C的坐标为
设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为 ；
（3）解：如图，
设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴点 ，
∵ ，∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
∵张强出发后与妈妈相距1000米，
∴ 或 或 ，
解得： 或 或 ，
即张强出发 分或 分或35分后与妈妈相距1000米．
题型六 一次函数与几何图形的综合
【例6】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图
像与 轴、 轴分别交于点 、 ．
(1)求点A、B的坐标；
(2)若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可；（2）设点 的坐标为 ，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：在 轴上的点，其纵坐标 ．
把 代入 ，可得 ，
解得 ，
所以 ．
在 轴上的点，其横坐标 ．
把 代入 ，可得 ，
所以 ．
所以 ；
（2）设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
【变式6-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点
，点C在直线 上，其纵坐标为5．(1)点B的坐标为________，点C的坐标为________；
(2)在x轴上找一点P，连接 ，使 的值最小，并求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，分别令 和 即可求出点B、C的坐标；
（2）将B点关于x轴对称为 ，将 转化为 ，数形结合即可求出最值时P的位置，求出
此时 的解析式，令 即可求出P的坐标．
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上
就是“将军饮马”问题是解题的关键．
【详解】（1）解：对于 ，
令 ，得 ，
故点B的坐标为 ；
令 ，得 ，
故点C的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）解：作点B关于x轴的对称点 ，连接 ，
∴ ，当且仅当 三点共线时，等号成立，
∴ 的最小值为 ，此时P是 与x轴的交点．
设 所在直线的表达式为 ，根据题意，得 ，
将①代入②，得 ，
∴ ： ，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ．
【变式6-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
在y轴上有一点 ，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
(3)在M运动过程中，当 时，直接写出此时M点的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)当 时，此时M点的坐标为 或 ．
【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定，
对于（1），由直线l的函数解析式，令 求A点坐标， 求B点坐标；对于（2），由面积公式 求出S与t之间的函数关系式；
对于（3），当 时，可得 并得到M点坐标．
【详解】（1）解：对于直线 ，
当 时， ；当 时， ，
则A、B两点的坐标分别为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ，
综上， ；
（3）解：M点的坐标为 或 ；
理由如下：
∵ ，
∴只需 ，则 ，
即 ，
此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为 ；
M在x轴的负半轴，则M点的坐标为 ，
综上，当 时，此时M点的坐标为 或 ．
【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在
轴上， 边落在 轴上，且 ，动点 以 个单位每秒的速度从点 出发沿射
线 方向运动，运动时间为 ．(1)求点 的坐标；
(2)在点 的运动过程中，连接 ，设 的面积为 ，用含 的代数式表示 ，并直接写出 的取值范围；
(3)在点 的运动过程中是否存在某一时刻，使 是以 为斜边的直角三角形？如存在，求出 点坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P坐标为
【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出 ，求出 ， ，得出
，即可得出结果；
（2）分两种情况：①当点P在线段 上时，②当点P在射线 上时，利用两个三角形等高求解即可．
（3）先利用待定系数法求出 的解析式，设 ，由勾股定理得出 ，解方程求
出 ，进一步即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴点B的坐标为（2）解：分两种情况：①当点P在线段 上时，
由（1）知： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 等高，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
②当点P在射线 上时，即 ，
同理可得出： ，
，
∴
综上：
（3）解：存在，点P坐标为 ；
由（1）知： ， ， ，∴ ， ， ，
设 的解析式为： ，
则 ，
解得 ，
∴ 的解析式为： ，
设 ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴
∴点P的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的综合题，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，掌握这些知识是
解题的关键．
基础巩固通关测
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数 图象上的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式
是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标
对比，判断该点是否在函数图象上．
【详解】解：当 时， ．故 不在一次函数 图象上；
当 时， ．故 不在一次函数 图象上；
当 时， ．故 在一次函数 图象上；
当 时， ．故 不在一次函数 图象上；
故选：C．
2．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）一次函数 的函数值 随 的增大而增大，当 时，
的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，求出 时， 的值，再根据增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
∵一次函数 的函数值 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
∴ 的值可以是 ；
故选D．
3．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）关于函数 有下列结论，其中错误的是（ ）
A．若点 在图象上，则
B．图象经过点C．图象向下平移2个单位长度得解析式为
D．与 轴交点坐标为
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移规律是解题
的关键．
【详解】A．当 时， ；当 时， ，则 ，故A正确，不符合题意；
B．当 时， ，则图象经过点 ，故B正确，不符合题意；
C．图象向下平移2个单位长度得解析式为 ，故C错误，符合题意；
D．令 ，则 ，解得 ， 与 轴交点坐标为 ，故D正确，不符合题意．
故选：C．
4．（2024·江西·模拟预测）碳酸钠的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则下列说法中正
确的是（ ）
A．当温度为 时，碳酸钠的溶解度为
B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．当温度为 时，碳酸钠的溶解度最大
D．当碳酸钠的溶解度为 时，温度为
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键．直接观察图象，逐项
判断即可求解．
【详解】解：A、观察图象得：当温度为 时，碳酸钠的溶解度大于 ，故本选项错误，不符合题意；
B、观察图象得：当温度在 时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符
合题意；C、观察图象得：当温度为 时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意；
D、观察图象得：当碳酸钠的溶解度为 时，温度不低于 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交
点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】 9
【分析】本题考查一次函数图象性质．分别令 ， 可求与x轴和y轴交点，根据直角三角形的面积
计算方法即可求得一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】解：当 时， ，解得 ，
一次函数图象与 轴的交点坐标为 ．
当 时， ，
一次函数图象与 轴的交点坐标为 ．
故一次函数与坐标轴围成的三角形面积为 ．
故答案为： ， ，9．
6．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数 是关于x的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得 ，且 ，从而可得答案．
【详解】解：函数 是关于x的一次函数，
则 ，且 ，
解得 ，
故答案为： ．7．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知直线 是由直线 平移得到的，则直线 与
轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．先结合直线
是由直线 平移得到的，则 ，故 ，再令 ，求出对应的 的值，即可作
答．
【详解】解：∵直线 是由直线 平移得到的，
∴ ，
故 ，
令 ，所以 ，
解得 ，
即直线 与 轴的交点坐标是 ，
故答案为：
8．（21-22八年级下·陕西商洛·期末）若 是y关于x的正比例函数，且点 ，
在该函数的图象上，则a，b的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据正比例函数的定义得 ，即可解出 ，
再根据 ，则 随着 的增大而减小，即可作答．
【详解】解：∵ 是y关于x的正比例函数，
∴ ，
解得 ，∴ ，
∵ ，
∴ 随着 的增大而减小，
∵点 ， 在该函数的图象上， ，
∴ ，
故答案为：
三、解答题
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务： 种使用者先缴50元
月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元； 种不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指
市内通话）．若一个市内通话时间为 分钟，两种通讯方式的费用分别为 元和 元．
(1)写出 与 的关系式；
(2)一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
【答案】(1)
(2)250分钟
【分析】本题考查了一次函数的解析式、一元一次方程的解法，求出函数关系式是解题的关键．
（1）根据“月缴纳的费用 每分钟通话费用 通话时间 月租”就可以求出结论；
（2）当 时，建立方程求出 的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ， ；
（2）解：由题意，得：当 时，
，
解得： ．
答：一个月通话为 分钟时，两种通讯方式的费用相同．
10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知一次函数 ，完成下列问题：(1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
(2)求直线与两坐标轴围成的面积．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质
和数形结合的思想解答．
（1）根据题目中的函数解析式，可以求得相关点的坐标，即可画出相应的函数图象；
（2）根据（1）的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴函数图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ；
函数图象如图所示：
（2）解：直线与两坐标轴围成的面积 ．11．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）已知 是 的正比例函数，且函数图象经过点 ．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)当 时，求对应的函数值 ；
(3)已知点 在此函数图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法，正比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数的定义及性质是解
题的关键．
（1）设 与 的函数关系式为 （ ），把点 代入函数关系式求解即可；
（2）把 代入函数关系式，即可求解；
（3）将点 代入函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是 的正比例函数，
∴设 与 的函数关系式为 （ ），
∵函数图象经过点 ，
，
，
与 的函数关系式为 ．
（2）解：将 代入 ，
，
当 时，函数 的值为 ．
（3）解：∵点 在此函数图象上，
∴ ，
．
12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利
600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件．(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案．
【答案】(1) ， ，且 为整数；
(2)66000元，生产A产品60件，B产品30件．
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品 件，依题意列出函
数关系式即可；
（2）根据题意可得出 ，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品 件，
依题意得：
，且 ， 为整数；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时，获利总额最大，最大总额为： （元），
∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为 元．
13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，点
是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)
(2)当点C运动到 或 的位置时
(3)存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）由 得 ，根据 ，得 ，利用待定系数法即得直线 的解析式为
；
（2）可得 的面积 ，当 时， ，可得
， ，即得 ，当 时，同理可得 ；
（3）在 中， ， ， ，分两种情况①若 ，②若
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
， ，
，
，
，
把 代入 得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解： ， ，
的面积 ，当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，∴ ，
综上所述，当点C运动到 或 的位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
（3）解：存在点 ，使 与 全等，
在 中， ， ，
，
①若 ，过 作 交 轴于 ，过 作 于 ，如图：
， ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
而 ，
，
解得 或 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，不符合题意，舍去，∴ ，
同理可知， 时，
， ， ，
，
同理可得 ，
②若 时，如图：
， ，
，
在 中，令 得 ，
，
此时 ， ，符合题意，
，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像不经过第三象限B．点 在直线 上
C．图像与直线 平行
D．若点 ， 在该函数图像上，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的
关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可．
【详解】解：A．∵ ， ，
∴一次函数 的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意；
B．∵ 时， ，
∴函数图像必经过点 ，故本选项正确，不符合题意；
C．∵ 与 的k均为 ，
∴ 的图像与直线 平行，故本选项正确，不符合题意；
D．∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，
∵点 ， 在该函数图像上，且 ，
∴ ，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
2．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交x轴，y轴
于点A，B，把直线 绕点O逆时针旋转 ，交y轴于点 ，交直线 于点C，则 的面积是
（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及直角三角形的性质等知识，依据题意，先求出 的
坐标，再根据直线 绕点 逆时针旋转 求出旋转后的解析式，根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是求出把直线绕点 逆时针旋转 后的解析式．
【详解】解：直线 ： 分别交 轴， 轴于点 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
点 绕点 逆时针旋转 后的坐标为 ，
设直线 绕点 逆时针旋转 后的解析式为
∴ ，
解得： ，
∴ ，
联立方程组 ，
解得： ，
∴ 的面积为： ，
故选：C．
3．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）王红骑自行车去与家相距 的樱花园赏花游玩，王红以
的速度匀速骑行，出发 后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红
行驶的路线骑电动车以 的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥
从家出发到返回家中所用的时间是 ，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开
始，则哥哥和王红之间的距离 与王红的行驶时间 的函数关系图象为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可．
【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当 时， ；
当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为： ，
当 时， ；
当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为 ，
即当 时， ；
通过选项对比，只有B选项符合要求，
故选：B．
4．（2022八年级下·江西·竞赛）如图所示，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点C、D
分别为线段 、 的中点，点 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，
解题的关键是求出直线 的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利
用待定系数法求出函数解析式是关键．
根据一次函数解析式求出点 、 的坐标，再由中点坐标公式求出点 、 的坐标，根据对称的性质找出
点 的坐标，结合点 、 的坐标求出直线 的解析式，令 即可求出 的值，从而得出点 的坐标．
【详解】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 值最小，最小值为 ，
如图．
令 中 ，则 ，
点 的坐标为 ；
令 中 ，则 ，解得： ，
点 的坐标为 ．
点 、 分别为线段 、 的中点，
点 ，点 ．
点 和点 关于 轴对称，如图：
点 的坐标为 ． ，
∴ ，
当 、 、 三点共线时， 最小， 是 与 轴交点
设直线 的解析式为 ，
直线 过点 ， ，
，解得： ，直线 的解析式为 ．
令 ，则 ，
点 的坐标为 ．
故选：A．
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）直线 必经过一点，则该点的坐标是 ，平面直
角坐标系中有 三点，若直线 将 分成面积相等的两部分，则k的
值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形中线的性质，中点坐标公式，待定系数法求一次函数解析式．
求定点：将 两项按k为未知数合并，令k的系数为零，求出x，y的值即可得到定点；根据该定点为
三角形的一个顶点可知，直线 将 分成面积相等的两部分时，直线 为
的边 上的中线所在的直线，利用中点坐标公式求出 的中点坐标，代入直线解析式即可求出k
的值．
【详解】解：∵ ，
令 ，则 ，
∴直线 必经过定点 ．
∵ ，直线过点B，且直线 将 分成面积相等的两部分，
∴直线 为 的边 上的中线所在的直线．
∵ ，
∴ 的中点坐标为 ．
将 代入 ，
得 ，
解得 ．
故答案为： ， ．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业） “一山有四季，十里不同天”反映了海拔高度对气温的影响，海拔越高，气温越低．根据气象研究，在最接近地球表面的对流层内，海拔x（千米）与气温y（℃）的关系如
图所示，则气温为0℃时的海拔为 千米．
【答案】 #
【分析】本题考查了一次函数的应用，先由待定系数法求出一次函数解析式，再令 ，求出 的值即可．
【详解】解：设 ，
由图可知，一次函数过点 ， ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
令 ，
解得 ，
即气温为0℃时的海拔为 千米．
故答案为： ．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ．
若 是 轴上一点，且 的面积为5，则点 的坐标为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合，先求出点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．设点 的坐标为 ，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：因为一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
所以当 时， ；当 时， ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
8．（20-21八年级下·湖北荆州·期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线 平分这
8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．过点A作 轴于点C，则 ，结合直线 平
分这8个正方形所组成的图形的面积，可得 ，从而得到点A的坐标为 ，进而得到直线
的解析式，即可求解．
【详解】解：过点A作 轴于点C，则 ，
∵直线 平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，
把 代入 得：
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点B的纵坐标为1，
把 代入 得：
，解得： ，
∴点B的坐标为 ．
故答案为：三、解答题
9．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知直线 与x轴、y轴分别交于点A，B．
(1)请在图中直接画出直线 的图象；
(2)判断点 是否在直线 上，若在，请说明理由；若不在，请求出 的面积．
【答案】(1)图见解析
(2) 不在直线 上； 的面积为8．
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟
练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ．可得 ， ，进而可以作图
得解；
（2）依据题意，由直线为 ，故当 时， ，则可得 不在直线 上，
又结合图象可得 ，进而计算可以得解．
【详解】（1）由题意，∵直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ．
∴ ， ．
∴作图如图1．（2）∵直线为 ，
∴当 时， ．
∴ 不在直线 上．
如图2，
10．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与两坐标轴分别
相交于A、B两点，直线 与 相交于点 ．(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)若直线 将 的面积分成 的两部分，求直线 的函数关系式．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，注意
（2）中C的坐标是两种情况．
（1）分别令 和 ，可求得A、B的坐标；
（2）设C点的坐标为 ，然后分两种情况求得C的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线
的解析式．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ，
， ；
（2）解： ， ，
， ，
，
设C点的坐标为 ，
，
将 的面积分成 的两部分，或 ，
或 ，
解得： 或4，
或 ，
设直线 的解析式为 ，
或 ，
解得 或
直线 的解析式为 或 ．
11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，
爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）
与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)小轩减速前的速度为 米/分钟；
(2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
(3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
【答案】(1)20
(2)
(3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米
【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求得一次函数解析式
成为解题的关键．
（1）根据图象以及速度、路程、时间的关系求解即可；
（2）运用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将 代入（2）所得函数解析式即可解答．【详解】（1）解：由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为
米/分钟．
故答案为：20．
（2）解：设小轩减速后 与 之间的函数表达式为 ，
将 和 代入得：
，
解得： ．
小轩减速后 与 之间的函数表达式为 ．
（3）解：当 时， ，
答：当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米．
12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于A、B两点，
平分 交y轴于E，点C为直线 上在第一象限内一点．求：
(1)求 的长；
(2)点E的坐标，并求出直线 的解析式；
(3)若将直线 沿射线 方向平移 个单位，请直接写出平移后的直线解析式．
(4)求直线 关于直线 对称的直线解析式
【答案】(1)
(2) ，
(3)(4)
【分析】（1）先求解 ， ，结合 ，可得 ；
（2）如图，过 作 于 ，证明 ，可得 ，再进一步求解即可；
（3）如图，过 作 轴于 ，证明 ，当 时，求解 ，可得
将直线 沿射线 方向平移 个单位，相当于将直线 向右平移了 个单位，向上平移了4个单位，
进一步可得答案；
（4）先求解 ， 关于直线 的对称点为 ， ，设直线 为： ，
再进一步解答即可.
【详解】（1）解：∵直线 交坐标轴于A、B两点，
∴当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ .
（2）解：如图，过 作 于 ，
∵ 平分 交y轴于E， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为 .
（3）解：如图，过 作 轴于 ，
∵ 在直线 上，
∴ ，
当 时，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴将直线 沿射线 方向平移 个单位，相当于将直线 向右平移了 个单位，向上平移了4个单
位，
∴平移后的直线为 .（4）解：如图，∵ ， ，
∴ ， 关于直线 的对称点为 ， ，
设直线 为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为： ，
∴直线 关于直线 对称的直线解析式为： .
