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第 3 课时一次函数的图像
基础篇
1．下面哪个点在正比例函数 的图象上（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别把各点代入正比例函数的解析式进行检验即可．
【详解】
解：A、∵当x=1时，y=-2≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵当x=-1时，y=2，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
C、∵当x=2时，y=-4≠1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵当x=-2时，y=4≠1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析
式是解答此题的关键．
2．下列四组点中，在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可．
【详解】
A、∵ ，∴两点在同一个正比例函数图象上；B、∵ ，∴两点不在同一个正比例函数图象上；
C、∵ ，∴两点在同一个正比例函数图象上；
D、∵ ，两点不在同一个正比例函数图象上；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同是解题的
关键．
3．关于直线 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象必过点 B．图象经过第一、三、四象限
C．与 平行 D． 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质分别进行判断，由函数图象经过的点必能满足解析式，进而得到A的正误，由k和b
的值可判定B、C的正误；根据k＝4>0可判断出D的正误，进而可得答案．
【详解】
解：A、∵（1，2）不能使 左右相等，因此图象不经过（1，2）点，故此选项错误；
B、∵k＝4>0，b＝1>0，∴图象经过第一、二、三象限，故此选项错误；
C、∵两函数k值不相等，∴两函数图象不平行，故此选项错误；
D、∵k＝4>0，∴y随x的增大而增大，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质的相关内容并熟练运用知识进行数形
之间的转化．4．已知正比例函数 的图像上有两点且 ， ，且x ＞x ，则y 与y 的大小关
1 2 1 2
系是（ ）
A． B． C． D．不能确定．
【答案】B
【分析】
先根据正比例函数的系数k判断出函数的增减性，再由x ＞x 即可得出结论．
1 2
【详解】
解：∵正比例函数y=kx中，k＞0，
∴此函数是增函数．
∵x ＞x ，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性与系数k的关系是解答此题的关键．
5．对于一次函数y＝x＋1的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．y随x的增大而增大； B．函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）；
C．函数图象经过第一、二、三象限； D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 ．
【答案】B
【分析】
由一次函数图像的性质可知：一次函数y＝x＋1中， ，可判断A、C，把 分别代
入一次函数即可判断B、D．
【详解】
∵一次函数y＝x＋1，
∴ ，
∴函数为递增函数，
∴y随x的增大而增大，A正确；
令 ，得： ，∴函数图象与x轴的交点坐标为 ，
∴B不正确；
∵ ，
∴函数图象经过第一、二、三象限，
∴C正确；
令 ，得： ，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为： ，
∴D正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解答本题的关键．
6．一次函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数的图象与性质得到一次函数图象过第一、三象限，与y轴的交点坐标为（0，-1），然后分别
进行判断．
【详解】
，∵ ， ，
∴一次函数图象过第一、三象限，与y轴的交点坐标为（0，-1）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象：一次函数 （k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象
限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据函数为减函数判断出k＜0，再根据kb＞0判断出b＜0，再根据一次函数图象的特点解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＞0，∴b＜0，
∴函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点睛】
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，
y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．8．直线 经过一、三、四象限，则直线 的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据直线 经过一、三、四象限判断出k和b的正负，从而得到直线 的图象经过的象
限．
【详解】
解：∵直线 经过第一、三、四象限，
∴ ， ，
∴ ，
∴直线 经过第二、三、四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据系数的正负判断函数图象经过的象限的方法．
9．设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，
使得下列四个备选答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先假设y=ax+b正确，得出a、b的符号，再对y=bx+a的图象进行分析即可．
【详解】解：A、假设y=ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y=bx+a的图象过一、三、四象限，故本选项错误．
B、假设y=ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数y=bx+a的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误；
C、假设y=ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y=bx+a的图象过一、三、四象限，因为函数y=ax+b与
y=bx+a的交点坐标为（1，a+b），由图象可知a≠-b和b＞a，两结论矛盾，故本选项错误；
D、假设y=ax+b正确，则a＞0，b＞0，因为b＞a，所以函数y=bx+a与y轴的交点在y=ax+b与y轴交点的
下方，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
10．下列图象中，表示一次函数 与正比例函数 （ 是常数且 ）图象的是 （
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论 的符号，然后根据 、 同正时，同负时，
一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：A.由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确；B. 由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确；
C. 由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论一致，故
本选项正确；
D. 由一次函数的图象可知， 故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数 的图象有四种情况：
当 函数 的图象经过第一、二、三象限；
当 函数 的图象经过第一、三、四象限；
当 函数 的图象经过第一、二、四象限；
当 函数 的图象经过第二、三、四象限．
11．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝bx+k的图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先看一个直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．【详解】
A、一条直线反映k＞0，b＞0，一条直线反映k＞0，b＜0，故本选项错误；
B、一条直线反映出k＞0，b＜0，一条直线反映k＞0，b＜0，一致，故本选项正确；
C、一条直线反映k＜0，b＞0，一条直线反映k＞0，b＜0，故本选项错误；
D、一条直线反映k＞0，b＜0，一条直线反映k＜0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线
与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12．将函数y＝-4x的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”得出即可．
【详解】
解：将函数y=-4x的图象沿y轴向下平移2个单位后，
所得图象对应的函数关系式为：y=-4x-2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
13．如图，已知点 ，和 都在直线 上，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．大小不确定
【答案】A【分析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3＜−2即可得出结论．
【详解】
由图可知，直线走下坡，
∴ ，y随x的增大而减小，
又∵ ，∴ ．
故选A．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
14．函数 的图象可由函数 的图象沿 轴（ ）
A．向上平移 个单位得到 B．向下平移 个单位得到
C．向左平移 个单位得到 D．向右平移 个单位得到
【答案】A
【分析】
根据平移规律“上加、下减”，即可找出平移后的函数关系式．
【详解】
解：将函数 的图象沿y轴向上平移4个单位得到 ，即函数y=4x的图象．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，运用平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
15．对于一次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A． 的值随着 值的增大而增大 B．函数图象与 轴交点坐标是
C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与 轴正方向形成的锐角是45°角
【答案】B
【分析】
根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】A、因为 ，所以 随着 的增大而增大，此项说法正确；
B、当 时， ，则函数图象与 轴的交点坐标是 ，此项说法错误；
C、因为 ， ，所以图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，此项说法正确；
D、因为 ，所以函数图象与 轴正方向成的锐角是 角，此项说法正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
16．已知点（﹣3，y ）、（1，3）、（2，y ）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y 、y 、3的大小关系是
1 2 1 2
（ ）
A．3＜y ＜y B．y ＜3＜y C．y ＜y ＜3 D．y ＜3＜y
2 1 1 2 2 1 2 1
【答案】D
【分析】
首先求出函数解析式，再把（﹣3，y ）、（2，y ）代入可得y ，y 的值，然后可得答案．
1 2 1 2
【详解】
解：∵（1，3）在一次函数y＝kx+5的图象上，
∴3＝k+5，
解得：k＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣2x+5，
∵点（﹣3，y ）、（2，y ）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，
1 2
∴y ＝6+5＝11，
1
y ＝﹣4+5＝1，
2
∵1＜3＜11，
∴y ＜3＜y ，
2 1
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
17．在一次函数 图象上有 和 两点，且 ，则 _____ （填“>”，“<”或“=”）．
【答案】＜
【分析】
利用一次函数的增减性判断即可．
【详解】
解：由题可知，一次函数 ，k=-2<0，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】
本题考查利用一次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键．
提升篇
18．已知关于 的一次函数 的图象经过点A（ ， ），B（ ， ），则 ， 的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合a+1＞a即可得出n＞m．
【详解】
解：∵3＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵a+1＞a，
∴n＞m．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关
键．
19．将直线 沿 轴向上平移6个单位，所得到的直线解析式是____________．
【答案】
【分析】
根据平移特征解题：左加右减，上加下减解题．
【详解】
解：根据正比例函数图象平移的性质，可得直线 沿 轴向上平移6个单位，所得到的直线解析式
是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查一次函数图象的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．如图所示，直线 经过点 ，将直线 向上平移3个单位长度，则平移后的直线的解析式为
______．
【答案】
【分析】
结合题意，根据一次函数性质，得到直线 解析式；再根据一次函数平移性质计算，即可得到答案．
【详解】
结合题意，直线 经过点
设一次函数解析式为∴
∴
∴
结合题意，将直线 向上平移3个单位长度，得：
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数解析式和图像的性质，从而完成求解．
21．如图，两条直线 和 的关系式分别为 ，两直线的交点坐标为 ，当
时， 的取值范围为____．
【答案】
【分析】
根据函数图像进行分析即可；
【详解】
由图可知，当 时， 的函数图像在 的函数图像上方，
∴ ；
故答案为： ．【点睛】
本题主要考查了利用一次函数图象比较函数值的大小，准确分析判断是解题的关键．
22．已知函数 ，试回答：
（1） 为何值时， 随 的增大而增大；
（2） 为何值时，图象过点 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）当 时， 随 增大而增大，解出 的值即可；
（2）将点代入即可得出 的值．
【详解】
解：（1）当 时， 随 增大而增大，
解得： ；
（2）将点 代入可得： ，
解得： ．
【点睛】
本题考查一次函数的基本知识，属于基础题，注意一次函数增减性的掌握．
23．如图，已知正比例函数 经过点 ．（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）该直线向上平移4个单位，求平移后所得直线的解析式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）把P（2，4）代入y＝kx得到方程，求出方程的解即可；
（2）设平移后所得直线的解析式是y＝2x＋b，把（0，4）代入求出b即可．
【详解】
解：（1）把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴这个正比例函数的解析式是 ．
（2）设平移后所得直线的解析式是y＝2x＋b，
把（0，4）代入得：4＝b，
∴y＝2x＋4．
答：平移后所得直线的解析式是y＝2x＋4．
【点睛】
本题主要考查对用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式，一次函数与几何变换，解一元一次方程
等知识点的理解和掌握，能用待定系数法正确求函数的解析式是解此题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，与正比
例函数 的图象交于点 ．（1）求 、 、 三点的坐标；
（2）求 的面积；
（3）若动点 在射线 上运动，当 的面积是 的面积的 时，求出此时点 的坐标．
【答案】（1） ， ， ；（2）12；（3） 或 ．
【分析】
（1）在一次函数 中，分别令 ， ，即可求出B、C的坐标，再联立一次函数和正比例
函数即可求出交点A的坐标；
（2）利用（1）中，找到OC， 的长即可求出 的面积；
（3）根据 的面积是 的面积的 时，求出M的横坐标，再分情况讨论即可找到M的坐标．
【详解】
解：（1）∵一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴令 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，故 ，
而A为一次函数 和正比例函数 图象的交点，联立方程得：
，解得： ，∴A的坐标为 ．
故答案为： ， ， ．
（2）由（1）可知： ， ，
∴ ．
故答案为：12．
（3）由题意得： ，
而
∴ |，
∴ ，
分情况讨论：
①当 时， ，故此时M点的坐标为 ，
②若 时， ，故此时M点的坐标为 ，
综上，M点的坐标为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查一次函数综合性质，熟练一次函数综合性质，细心运算，分类讨论是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，直线 经过 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求 的面积．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）设直线的表达式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入求出k、b，即可得出答案；
（2）把P（a，0）代入求出a，根据坐标和三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：(1)设直线 的解析式为： ，
依题意得： 在直线 上，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
(2)依题意得：点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能综合运用知识点
进行求值是解此题的关键．
26．已知y+2与x成正比例，且x=−2时，y=0．
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数图像；
(3)若点（m，6)在该函数图像上，求m的值．
【答案】(1) y=-x-2；(2)见解析；(3)m=-8
【分析】
(1)设y+2=kx，再将x=-2，y=0代入表达式即可求k的值；
(2)一次函数对应的是一条直线，由两点可确定一条直线，再结合(1)中经过点(-2，0)，另外再找出与y轴的
交点即可画出图形；
(3)将点(m，6)代入解析式中即可求m．
【详解】
解：(1) 由y+2与x成正比例，则设y+2=kx，
∵当x=-2时，y=0，
∴2=-2k，∴k=-1，
∴y=-x-2，
故答案为：y与x之间的函数关系式为y=-x-2；
(2)令函数y=-x-2中x=0，解得y=-2，即函数经过点(0,-2)，
又函数经过(-2，0)，由两点确定确定一条直线可知，
函数y=-x-2的图像如下所示：
(3)∵点(m，6)在该函数的图象上，
∴-m-2=6，解得m=-8，
故答案为：m=-8．
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法；点在直线上，就是将点的坐
标代入解析式中，等号两边相等即可．27．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（-1，4）和点P（m，
n）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n=2时，求直线 AB，直线 OP与 x轴围成的图形的面积；
（3）当 的面积等于 的面积的2倍时，求n的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）n的值为7或3．
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）设直线AB交x轴于C，如图，则C（-5，0），然后根据三角形面积公式计算 即可；
（3）利用三角形面积公式得到 ，解得m=2或m=-2，然后利用一次函数解析式计
算出对应的纵坐标即可．
【详解】
解：（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b，
把点A（0，5），点B（-1，4）的坐标代入得：
，
解得： ,
所以这个一次函数的解析式是y=x+5；
（2）设直线AB交x轴于C，
如图， 当y=0时，x+5=0，解得x=-5，
则C（-5，0），
当n=2时， ，
即直线AB，直线OP与x轴围成的图形的面积为5；（3）∵当 的面积等于 的面积的2倍，
∴ ，
∴m=2或m=-2，
即P点的横坐标为2或-2，
当x=2时，y=x+5=7，此时P（2，7）；
当x=-2时，y=x+5=3，此时P（-2，3）；
综上所述，n的值为7或3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：考查了直线与坐标轴围成的图形的面积，掌握以上知识是解题
的关键．
