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第四章 一次函数
知识点01 函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那
么就说y是x的函数，x是自变量。
知识点02 一次函数的表达式
形如 y = kx + b （k，b为常数， k ≠ 0 ）的函数叫做一次函数。当 b = 0 时， y = kx （ k ≠ 0 ）叫做正比例函
数。
知识点03 一次函数的图象与性质
b
一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如 ( 0 , b ) 和 (- , 0 ) ）画出。当k>0时，y随x的增
k
大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点 ( 0 , b ) 。
知识点04 一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合
图象或性质求解。易错点1 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错
1. 要明确一次函数y = kx + b中k≠ 0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m - 1)x +
2是一次函数，需保证m - 1≠0即m≠1。
2. 对于正比例函数y = kx，除k ≠ 0外，还需注意b = 0的隐含条件。如y=(n + 2)x + n是正比例函数，
需同时满足n + 2≠0且n = 0，即n = 0。
例题：已知函数 是一次函数，则 ．
【答案】5
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系
数不等于0即可求解，掌握一次函数 的定义条件是： 、 为常数， ，自变量次数为1，是
解题关键．
【详解】解：根据题意得： 且
解得： ．
故答案为： ．
易错点2 对正比例函数的定义理解不透彻致错
1. 需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足**y = kx（k≠0）**，即系数k不为0且不含
常数项。若忽略k≠0，如y = mx，当m = 0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y = 3x
+ 1，因含常数项1，也不符合定义。
2. 遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k\neq0和常数项为0两个条件。例如y=(a + 1)x + a是正
比例函数，需满足a + 1≠0且a = 0，即a = 0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。
例题：已知：y与 成正比例，且 时， ．
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)点 在这个函数的图像上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的
值是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为 ，将 ， 代入得， ，可求 ，进而
可得y与x之间的函数关系式；
（2）将 代入 得， ，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴ ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：将 代入 得， ，
解得， ．
易错点3 实际问题中忽略自变量的取值范围致错
1. 实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，
如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。
2. 解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，
销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。
例题：综合与实践
《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学
校 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】
实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
4
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 54
2
【探索发现】
（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为
坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是
______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达
式（自变量取值范围不写）
【结论应用】
（2）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为
100厘米）．
【答案】（1）①图见解析，②一次函数， ；（2）①供水时间达到 小时时，箭尺的读数为
厘米，②当箭尺读数为 厘米时是 点钟．
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为
，利用待定系数法即可求解；
（2）①利用前面求得的函数表达式求出 时， 的值即可得出箭尺的读数；
②利用前面求得的函数表达式求出 时， 的值，由本次实验记录的开始时间是上午 ，即可求解．
【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图，
②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，
设这条直线所对应的函数表达式为： ，把点 ， 代入得：
，
解得： ，
∴一次函数表达式为： ，
故答案为：一次函数， ；
（2） 当 时， ，
∴供水时间达到 小时时，箭尺的读数为 厘米；
当 时，则 ，
解得： ，
∴供水时间为15小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，
，∴当箭尺读数为 厘米时是 点钟．
易错点4 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错
1. 一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y = kx + b与
两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。
2. 解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标
轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。
例题：如图，已知一次函数 的图象与坐标轴交于A、B点．
(1)求 的面积．
(2)若 轴上有一点 ，且 ，求直线 的表达式．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合：
（1）先求出 ，得到 ，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式得到 ，则 或 ，再利用待定系数法求解
即可．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
同理可得当 时，直线 的解析式为 ，
综上所述，直线 的解析式为 或 ．
一、单选题
1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若 关于 的函数 是一次函数，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如 ，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ 关于 的函数 是一次函数，
∴
∴
即
故选：C
2．（2024七年级下·全国·专题练习）某景区有一根长 cm的特大蜡烛，若每小时燃烧 cm，那么蜡烛剩
余长度 （cm）与燃烧时间 （小时）之间的函数关系式用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的题目，根据题意求得函数关系式是解题的关键．
根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的关系式，再由蜡烛长为非负数可求出自变量的
取值范围，据此就可以得出函数图象．
【详解】解：由题意得 ，
． ，
，
，
，
是函数值随着 的增大而减小的函数且图象是一条线段．
故选B．3．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴
分别交于B、C两点，与正比例函数 的图象交于点A．若动点M在射线 上运动，当 的面
积是 的面积的 时，此时点M的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】此题考查了直线与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐
标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．首先联立求出 ，然后求出 ， ，利用
的面积是 的面积的 求出 或 ，然后分别求解即可．
【详解】由 得 ，
．
对于 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
， ．
，
．
由题意，得 ，即 ，，
或 ．
当 时，在 中令 ，得 ，
，
当 时，在 中令 ，得 ，
，
综上所述，M的坐标为： 或 ．
故选：C．
4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线
于点A．若点C是射线 上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三
角形与 全等，则 的长为（ ）
A．3或 B．4或 C．3或 D．4或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨
论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到 ，则 ，令 ，则 ，求得 ， ，
根据勾股定理得到 ，①当 时，如图1，②当 时，如图2，根据全等三角
形的性质即可得到结论．
【详解】解： ，
，，
，
在 中，
令 ，则 ，令 ，则 ，
， ，由勾股定理得 ，
①当 时，如图1，
，
，
；
②当 时，如图2，
，
，
，
综上所述： 的长为 或4．
故选：D．二、填空题
5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若 是关于 的一次函数，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 （ 为常数， ）的函数叫一次函数，根据一
次函数的定义得出 ， ，计算即可得解．
【详解】解：∵ 是关于 的一次函数，
∴ ， ，
解得： ，
故答案为： ．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油 ，每行驶 耗油 ，若不再加油，则行驶
过程中油箱内剩余油量 与行驶路程 之间的函数关系式为 ，自变量 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出 的耗油量，
再根据余油量=原有油量 耗油量，从而得出关系式．
【详解】解：每行驶 耗油 ，则每行驶 耗油为： ，由余油量=原有油量
耗油量得， ，
油可行驶 ，
∴自变量的取值范围为 ，
故答案为： ， ．
7．（24-25八年级上·全国·期末）长方形 的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线 沿y轴向上平移 个单位，若平移后的直线将长方
形 的面积分成 的两部分，则m的值为 ．
【答案】2或5
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的
性质，分为当直线 在 的下方时及当直线 在 的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函
数平移的性质结合几何图形求解即可．
【详解】解： 长方形 的边 在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为 ，
，
，
设将直线 沿y轴向上平移 个单位后与 轴交于点D，与 轴交于点E，
如图，当直线 在 的下方时，
平移后的直线将长方形 的面积分成 的两部分，
，
平移后的函数关系式为 ，
令 ，得 ，解得： ，，
令 ，得 ，
，
，
，
（负值舍去），
如图，当直线 在 的上方时，设直线 交 于点M，交 于点N，
平移后的直线将长方形 的面积分成 的两部分，
，
平移后的函数关系式为 ，
令 ，得 ，解得： ，
，
，
令 ，得 ，
，
，
，
或9（舍去），故答案为：2或5．
8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线 分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标
为 ，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且 ，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D
为顶点的三角形与 全等，此时点D的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各
知识点并灵活运用是解题的关键．
先求出 ，则 为等腰直角三角形，则 ，可得 ，则 ，然后分两种情况
讨论，根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵直线 分别与x轴交于A，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
①当 时，如图：∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上：点D的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数 是关于 的一次函数，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数 的定义条件是： 、 为常数， 是
解题关键．根据一次函数的定义条件即可求解．【详解】解：根据题意得： 且 ，
∴ ．
10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)写出 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值；
(3)若 的取值范围为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
（1）根据题意设 ，然后利用待定系数法代入求解即可；
（2）将点 代入 求解即可；
（3）根据正比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
所以 ，即 ．
（2）解：将点 代入 ，
得 ，
解得 ．
（3）在 中，
因为 ，所以 随 的增大而增大，
所以当 取最小值时， 值最小．
当 时， ，
解得 ，
所以 的最小值为 ．
11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中， ， ，
三角形 的面积是6；
(1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标；
(2)点 的坐标是 ，连接 、 ，并用含字母 的式子表示 的面积；
(3)在（2）问的条件下，是否存在点 ，使 的面积等于 的面积的 ，如果存在，请求出 的坐
标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
(2)
(3) 或
【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据三角形 的面积得到 ，解得 ，即可求出答案；
（2）作 于点 ，分三种情况画出图形分别进行解答即可；
（3）根据（2）列方程解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，∵三角形 的面积是6
∴
解得
∴ ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
（2）作 于点 ，
如图，当 时，
如图，当 时，
如图，当 时，综上可知，
（3）当 时，
或 ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或
12．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 为
中点，动点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 方向运动（点 不与 重
合），设运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)直接写出 关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当 时 的值．（保留一位小数，误差不超过 ）
【答案】(1)
(2)见解析(3)1或
【分析】（1）根据 ， 为 中点，得到 ，根据题意，得 ，当
时， ；当 时， ；解答即可．
（2）根据两点确定一条直线，画图即可，根据图象，写出一条性质即可；
（3）根据两种解析式，分类计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， 为 中点，
∴ ，
根据题意，得 ，
当 时， ；
当 时， ；
综上所述， ．
（2）解：根据题意，得 ，
画图如下：
当 时，S随t的增大而减小；当 时，S随t的增大而增大．
（3）解：当 时，根据题意，得 ，
解得 ；
符合题意；
当 时，根据题意，得 ，解得 ；
符合题意；
故t的值 1或 ．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，画函数图形，获取函数的性质，分类计算，函数的解析式，熟练
掌握性质，解析式是解题的关键．
13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，点
是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当点C运动到 或 的位置时
(3)存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）由 得 ，根据 ，得 ，利用待定系数法即得直线 的解析式为
；
（2）可得 的面积 ，当 时， ，可得
， ，即得 ，当 时，同理可得 ；（3）在 中， ， ， ，分两种情况①若 ，②若
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
， ，
，
，
，
把 代入 得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解： ， ，
的面积 ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，∴ ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当点C运动到 或 的位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
（3）解：存在点 ，使 与 全等，
在 中， ， ，
，
①若 ，过 作 交 轴于 ，过 作 于 ，如图：， ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
而 ，
，
解得 或 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，不符合题意，舍去，
∴ ，
同理可知， 时，
， ， ，
，
同理可得 ，
②若 时，如图：， ，
，
在 中，令 得 ，
，
此时 ， ，符合题意，
，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
14．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ．
(1)求直线 与 的函数解析式．
(2)求 的面积．
(3)如图2， 是线段 上的一动点， 是线段 上的一动点，连接 ， ， ．若 与全等，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答
本题的关键．
（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分为 或 两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可．
【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 .
将点 ， 代入，
得 解得
直线 的函数解析式为 .
设直线 的函数解析式为 .
将点 ， 代入，
得 解得
直线 的函数解析式为 .
（2）解： 点 ， ， ，
， ，
.（3）解：分两种情况：
①如图1，当 时， ， .
，
，
， .
把 代入 ，得 ，
点 .
②如图2，当 时， ，
.
直线 的函数解析式为 ，
直线 的函数解析式为 .
将 与 联立，解得点 .
综上所述，点 的坐标为 或 ．
15．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中， 交 轴和 轴于 两点，其
坐标分别为 ， 满足 ．
(1)求点 的坐标；
(2)如图②，过点 作 ，截取 ，点 在第一象限内，过点 作 轴于点 ，点 从
点 出发以每秒2个单位长度的速度沿 轴向下运动，连接 ，若点 运动的时间为 秒，三角形
的面积为 ，请用含 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，连接 ，在坐标轴上是否存在点 ，使 与 全等?若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 与 全等时，点M的坐标为 或
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解；
（2）过点D作 于H，证明 ，分 和 两种情况，列分段函数；
（3）点M可能在x轴上，也可能在y轴上，因此需要分两种情况分别计算．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图①，过点D作 于H，
，
，
在 和 中，
，
，
当 时，
由题意得： 则 ，
；
当 时， ，
，
则
（3）解：如图②，，
，
，
，
当 时， ，
，
∴点M在x轴上．
，
，
当 时， ，
∵点 在 轴上，
，
，
，
综上所述： 与 全等时，点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数解析式，熟练
运用分类讨论思想是解题的关键．
