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第四章 一次函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数 的定义条件是：k、b为常数，
，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如 （k是常数， ）的函数，其中k叫做比例系
数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意；
B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；
C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意；
D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；
故选：C．
2．若点 在直线 上，则 （ ）
A．15 B．9 C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，将点 代入 ，得到关于 的一元一次方程，解方
程即可求解．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴ ，
解得： ，故选：C．
3．已知 是一次函数 图象上的两点，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ，y随x的增大而增大； ，y随x的增大而减小”是
解题的关键．由 ，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合 ，即可得出 与
的大小关系．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵ 是一次函数 图象上的两点，且 ，
∴ ．
故选：A．
4．如图表示的是一次函数 （ 、 为常数， ）的图象，则关于x的方程 的解是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
0时，求相应的自变量的值．
观察图象找到当 时 的值即为本题的答案．【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点 ，
即当 时 ，
所以关于 的方程 的解为 ，
故选：A．
5．已知一次函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而增大 B．图像必经过点
C．当 时，图象经过第一、二、四象限 D．当 时，
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据一次函数的性质，分析各选项是否符合条件．
【详解】解：A．若 ，则 ，一次函数 ， 随 的增大而增大；当 时，不是一
次函数，该选项错误．
B．∵一次函数 ，∴ ，即 ，将 代入 ，得 ，
解得 ，与题意矛盾，该选项错误．
C． 当 时， ，且 ，此时函数图像经过第一、二、四象限，该选项正确．
D． 当 时，当 ，即 ，则 ；当 ，即 ，y随着x增大而减小，即
y小于2，即该选项错误．
故选C．
6．若实数 满足 ，且 ，则一次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加法法则，一次函数的图象，由 ，且 ，可得 ， ，进
而得到一次函数 的图象经过一、三、四象限，即可判断求解，由题意判断出 的符号是解题的关键．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选： ．
7．已知 是 的函数；若函数图象上存在一点 ，满足 ，则称点 为函数图象上的“姐妹
点”．例如：直线 上存在的“姐妹点” ．直线 上的“姐妹点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，
及“姐妹点”的定义是解决问题的关键．
先设直线 上的“姐妹点”的坐标是 ，再根据“姐妹点”定义得 ，然后将点M
代入 之中求出m即可得出答案．
【详解】解：设直线 上的“姐妹点”的坐标是 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点M是直线 上的“姐妹点”，
，
∴ ，
∴点 ，
故答案为：D．
8． ， 两地相距 ，甲、乙两辆汽车从 地出发到 地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿
同一路线行驶，设甲、乙两车相距 （ ），甲行驶的时间为 （ ）， 与 的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是 ，乙车行驶的速度是 ；
②甲出发 后被乙追上；
③甲比乙晚到 ；
④甲车行驶 或 ，甲，乙两车相距 ；
其中错误的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关
键．
根据图象可得甲车行驶的速度是 ，再由甲先出发 ，乙出发 后追上甲，可得到乙车行驶的速度
是 ，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达 地时，甲乙相距 ，从而得到甲比乙晚到
，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达 地时和当乙车到达 地后时，
可得④不正确．
【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是 ，
∵甲先出发 ，乙出发 后追上甲，
∴ ，
∴ ，
即乙车行驶的速度是 ，故①正确，不符合题意；
②∵当 时，乙出发，当 时，乙追上甲，
∴甲出发 后被乙追上，故②正确，不符合题意；
③由图可得，当乙到达 地时，甲乙相距 ，
∴甲比乙晚到 ，故③正确，不符合题意；④设甲车行驶 ，甲，乙两车相距 ，
由图可得，当乙车在甲车前，且未到达 地时，则
解得 ；
当乙车到达 地后时， ，
解得 ，
∴甲车行驶 或 ，甲，乙两车相距 ，故④不正确，符合题意；
综上所述，错误的个数是1个．
故选：B．
9．如图，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作 垂直于直线 交
于点 ，过点 作 垂直于x轴交x轴于点 ，过点 作 垂直于直线 交 于点 ，过点
作 垂直于x轴交x轴于点 ，依此规律作下去，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过 分别作 垂足分别为 ，根据正方形
的判定和性质，坐标的规律，解答即可．
本题考查了正方形的判定和性质，一次函数的性质，坐标的规律，准确发现坐标规律是解题的关键．
【详解】解：过 分别作 垂足分别为 ，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ，
，
，
，
可得四边形 是正方形，
同理可得四边形 ，四边形 也是正方形，
点 ，可求 ，
点 ，同理 ，即，
……
，即 ，
故选：B．
10．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段 的中点，点P
为 上一动点，当 的值最小时，点P的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，
解题的关键是求出直线 的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利
用待定系数法求出函数解析式是关键．
根据一次函数解析式求出点 、 的坐标，再由中点坐标公式求出点 、 的坐标，根据对称的性质找出
点 的坐标，结合点 、 的坐标求出直线 的解析式，令 即可求出 的值，从而得出点 的坐标．
【详解】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 的值最小，最小值为
，如图．
令 中 ，则 ，
点 的坐标为 ；
令 中 ，则 ，解得： ，
点 的坐标为 ．
点 、 分别为线段 、 的中点，
点 ，点 ．
点 和点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
直线 过点 ， ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ．令 ，则 ，解得： ，
点 的坐标为 ．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过第 象限．
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的
图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
12．已知函数 是关于 的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】利用一次函数的定义，即函数形式应为 ，其中 和 为常数，且 ，通过比较给定函
数形式与一次函数的标准形式，列出关于 的方程，然后求解．本题主要考查了一次函数的定义及其性质，
熟练掌握一次函数的定义，即函数形式为 （其中 和 为常数，且 ），是解题的关键．
【详解】解：∵函数 是关于 的一次函数，
∴ ， ，
由 ，可得 或 ，
考虑 ，可得 ，
∴ ．
故答案为：
13．晋中市日间出租车价格规定：不超过 千米，付车费 元，超过的部分按每千米 元收费．已知李老
师乘出租车行驶了 千米，付车费 元，则所付车费 （元）与出租车行驶的路程 （千米）之间的
关系式为 ．【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，根据题意表述：不超过 千米，付车费 元，超
过的部分按每千米 元收费．可表示出 与 的函数关系．
【详解】解：由题意可知，总费用等于2千米以内的费用与超出2千米部分的费用之和，
因此可列式 ，化简后得
故答案为： ．
14．一次函数 经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一次函数的图象性质、截距概念及三角形面积公式的应用，同时需要结合象限的符
号特征进行取舍．先表示出一次函数 与 轴、 轴交点坐标，再根据图象信息确定 取值范围，
最后根据“一次函数 两条坐标轴围成的三角形面积为2”，确定 的值．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
一次函数 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
一次函数 经过第一象限，且
一次函数 图象与 轴、 轴交点均在正半轴，即
一次函数 两条坐标轴围成的三角形面积为2
即
或 （舍）
故答案为：2．
15．已知一次函数 ，当 时，y的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出 时的函数值，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
当 时， ，∴当 时，y的最大值是 ．
故答案为：
16．如图，直线 分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为 ，过点B的直线交x轴
正半轴于点C，且 ，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与 全等，
此时点D的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各
知识点并灵活运用是解题的关键．
先求出 ，则 为等腰直角三角形，则 ，可得 ，则 ，然后分两种情况
讨论，根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵直线 分别与x轴交于A，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，①当 时，如图：
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上：点D的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．若y与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点 在该函数的图象上，求m的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式、求自变量的值：
（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把点 代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：∵y与 成正比例，
∴设 ，
∵当 时， ，则 ，
∴ ，
∴函数的表达式 ．
（2）解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得： ，
∴m的值为 ．
18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B
地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距 地的路程 与各自行驶的时间 之间的关系
如图所示．
(1) 两地相距 ， ；
(2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义；
(3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
【答案】(1)540，6(2) ；甲、乙出发3h后在距离B地 处相遇
(3) 或
【分析】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．
（1）根据图象和题意直接得出结论；
（2）先求出甲的速度，再求出乙的速度，然后求出乙的路程，从而求出E点坐标，并说出E的实际意义；
（3）根据乙的图象，用待定系数法分段求出函数解析式；
【详解】（1）解：由图象可知： 两地相距 ，
乙在 时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到 地，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意知： （ ），
∴（ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地 处相遇；
（3）解：当 时，图象过原点和E点，
∴ ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时，设 ，
把 和 代入得，
，解得： ，
∴ ，
综上： ；
19．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求 的长及点O到直线l的距离；
(3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线 ，直接写出l与 之间的距离．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)12
【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律
是解题关键．
（1）令 和 时，代入解析式得出坐标即可；
（2）利用勾股定理求得 ，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离；
（3）根据三角形面积公式即可得到结论．
【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，
将 代入 ，得到： ，
∴ ，
将 代入 ，得到 ，解得： ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设点O到直线l的距离为h，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴点O到直线l的距离为； ；
（3）如图，过O作 于C，反向延长 交 于D，
将直线l向下平移20个单位长度得到直线 ，
∴直线 为 ， ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴直线l与 之间的距离为12．
20．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长
或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略
不计）加长或缩短．设单层部分的长度为 ，双层部分的长度为 ，经测量得到如下数据：
单层部分的长度
… 4 6 8 10 …
双层部分的长度
… 75 74 73 72 …
(1)求出y关于x的函数解析式，并求当 时y的值；
(2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为 时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
(3)设挎带的长度为 ，求t的取值范围．
【答案】(1) ，2
(2)
(3)
【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当 时，求出对应y的值即可；
（2）根据 列关于x的一元一次方程并求解即可；（3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当 时，求出对应x的值，
即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可．
【详解】（1）解：根据表格，x增加 ，y减小 ，
则 ，
关于x的函数解析式为 ，
当 时， ，
当 时， 的值为2；
（2）解：根据题意，得 ，即 ，
解得 ，
答：此时单层部分的长度是 ；
（3）解： ，
当 时，得 ，
解得 ，
，
，
的取值范围为 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程
及一元一次不等式的解法是解题的关键．
21．已知一次函数 （ 为常数，且 ）．
(1)若 ，且 ， 两点均在该函数的图象上，试比较 ， 的大小；
(2)若 时， 有最小值 ，求 的值；
(3)已知 ， ，若该函数的图象与线段 没有公共点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握
并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由 ，则一次函数为 ，故该函数 随 的增大而增大，又 ， 两
点均在该函数的图象上，且 ，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由当 时， 有最小值 ，从而可分①当 时和②当 时，分别进行分析
计算可以得解；
（3）依据题意，由 ，可得一次函数 必过 ，然后作出图象进行分析即可判
断得解．
【详解】（1）解：由题意， ，
一次函数为 ， ,
该函数 随 的增大而增大．
又 ， 两点均在该函数的图象上，且 ，
．
（2）解：由题意， 当 时， 有最小值 ，
①当 时，当 时， 取最小值，即 ．
，符合题意．
②当 时，当 时， 取最小值，即 ．
，符合题意．
综上， 或 ．
（3）解：由题意， ，
．
当 时， ．
一次函数 必过 ．
作图如下．由题意，当一次函数 过 时，
则 ，
可得 ；
当一次函数 过 时，
则 ，
可得 ，
该函数的图象与线段 没有公共点，
结合图象可得， 或 ．
22．列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，
B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵
(2)① ；②购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，能够根据一次
函数的性质得出最省方案是解题的关键．
（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗 棵，根据“若购进A，B两种树苗刚好用去1220元”
列出方程求解即可；
（2）①根据所需总费用 种树苗的费用 种树苗的费用列式可得；
②根据“若购进A种树苗的数量不低于9棵”列出不等式，求出x的取值范围，利用一次函数的性质可得x
的值，进而可得最省方案．【详解】（1）解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗 棵，根据题意得：
，
解得 ，
，
答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵；
（2）①根据题意得：
；
② ，
，且a为正整数，
，
随a的增大而增大，
当 时，w最小，且最小值为 元 ，
此时 ，
答：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元．
23．如图1，在四边形 中， ， ，一点 从点 出发沿着 的方
向以每秒2个单位的速度运动，其中 长为10．在运动过程中， 的面积与时间的关系如图2所示．
(1)直接写出 _______， ______；
(2)求出 与 的值；
(3)在点 的整个运动过程中，若设 的面积为 ，请求出 与时间 的函数关系式，并写出自变量 的
取值范围．
【答案】(1)6，8
(2)(3)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数解析式．
（1）根据路程=速度×时间求解即可；
（2）根据当点 运动到点 时， 的面积达到最大可求出m的值，根据时间＝路程÷速度可求出n的
值；
（3）分三种情况求解：①当 时，②当 时，③当 时．
【详解】（1）由图象可知， ， ．
故答案为：6，8；
（2）当点 运动到点 时， 的面积达到最大，即为 的值，
根据三角形面积公式有 ，可得 ，
点 从点 出发沿 运动， ， ， ，
∴总路程 ，
，
综上所述， ；
（3）①当 时，点 在 上运动，
以 为底边， 为高， ，
根据三角形面积公式有 ，
；
②当 时，点 在 上运动，
， ，，
，
，
，
；
③当 时，点 在 上运动，
，
，
；
综上， 与 的函数关系式为
24．对于平面直角坐标系XOY中的任意两点 ， ， 我们把 叫做A， B两点之
间的直角距离，记作 ．
(1)①若点P坐标为 ， 则 ；
②若点 在第一象限内，且满足 则 ；
③若点 在第一象限内，且满足 求出x与y之间满足的关系式，并在平面直角坐标系
内画出符合条件的点Q组成的图形．
(2)设M是一定点，N是直线 上的动点，我们把 的最小值叫做M到直线 的直
角距离，试求点 到直线 的直角距离．【答案】(1)①3② ③ ；图见解析
(2)6
【分析】本题考查了一次函数的应用，坐标系中点的特征，掌握一次函数是解题的关键．
（1）①根据A、B两点之间的直角距离的定义即可直接求解；
②根据条件，利用完全平方公式求出 ；
②根据A、B两点之间的直角距离的定义，以及Q在第一象限，则 ，即可求得函数解析式，从
而作出函数的图象；
（2）N的横坐标是x，则纵坐标是 ，即N的坐标是 ，根据直角距离的定义即可求解 ，
然后根据绝对值的意义即可求解．
【详解】（1）解：① ，
故答案为：3；
②∵点 在第一象限内， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
③ ，即 ，
又∵ 在第一象限，
∴ ，
∴x与y之间满足的关系式为： ，
即 ；（2）解：N的横坐标是x，则纵坐标是 ，
即N的坐标是 ，
则 ，
表示在数轴上到2和 两点的距离的和．
∴ ，
∴点 到直线 的直角距离为6．
25．如图1，已知函数 与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线 于点P，交直线 于点Q．
①若 的面积为 ，求点M的坐标；
②连接 ，如图2，若 ，求点P的坐标．
【答案】(1)(2)① 或 ；② 或
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
（1）先由 求得 ， 。由点 与点A关于 轴对称可得 ，再利用待定系数
法求出直线 的函数解析式即可。
（2）①设 ，则： 、 ，过点B作 于点D，利用
，进行求解即可；
②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可．
正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解：对于 ，
由 得： ，
由 得： ，
解得 ，
∴ ， ，
∵点 与点A关于 轴对称，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，
则 ，
解得 ．
∴直线 的函数解析式为 ；（2）解：①设 ，
则 、 ，
如图1，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，或 ；
②如图，当点 在 轴的左侧时，∵点 与点A关于 轴对称,
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设 ，则 ,， ， ，
，
解得 ．
．
当点 在 轴的右侧时，如图3，
同理可得 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
