文档内容
冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题一 数列（解析版）
第一部——高考真题练
1．（2021·全国·统考高考真题）设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
第二部——基础模拟题
2．（2023·河北张家口·统考三模）已知 是数列 的前 项和， ，则下列递推关系中能使 存在
最大值的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，根据等比数列求和公式求出 ，可得A不正确；对于B，根据等差数列的通项公式可得
B正确；对于C，计算出数列的前四项，结合单调性可得C正确；对于D，推出数列为周期函数，可得D
不正确.
【详解】对于A，由 ， ，可得 ， ，
当 为正奇数且趋近于无穷大时， 也趋近于正无穷大，故 不存在最大值，故A不正确；
对于B，由 ，得 ，又 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以当 或 时， 取得最大值，故B正确；
对于C，由 ， ，得 ， ， ，
，又 ， 递减，所以当 时， 取最大值，故C正确；
对于D，由 ， ，得 ， ， ， ，所以数列 的周期为 ，故 不存在最大值，故D不正确.
故选：BC
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Leonardo Fibonacci）在研究
兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数
都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数
列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 ，因此又称
“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据数列消项求和判断A,B,C选项，化简合并判断D选项.
【详解】因为 ，所以 ，所以
故A正确；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，而 ，故B错误；
，所以
故C正确；，故D正确
答案：ACD.
4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造
新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出
新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列 ；第2次得到数列 ；第 次得
到数列 记 ，数列 的前 项为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第 次得到数列1， ，2 此时 ，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则又
所以 ，则 ，故B项错误；
由B项分析可知 ，故C项正确.
，故D项错误.
故选：AC.
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则数列 是等比数列
D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列
【答案】ABD
【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造 为等比数列可判断B项；利用 与 的关系可求得
通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项.
【详解】对于选项A，由 ，得 ，
则 ，
故A项正确；对于选项B，由 得 ，
所以 为等比数列，首项为 ，公比为2，
所以 ，所以 ，故B项正确；
对于选项C，因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
将 代入 ，得 ，
所以 ，所以数列 不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前 项和公式可得 ，
所以 与n无关，
所以数列 为等差数列，故D项正确.
故选：ABD.
6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，
8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆
心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个
数列.斐波那契数列 的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由已知 且 ，利用 及累加法判断A；利用 及累加
法判断B；利用 及累加法判断C；利用 及累加法判断D.
【详解】由题设 且 ，
由 ， ， ，...， ，
所以 ，
则 ，A错误；
由 ， ， ，...， ，
所以 ，则 ，B正确；
由 ，则 ，所以
，C正确；
由 ，
所以
，D正确.
故选：BCD.
7．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中，已知其前 项和为
，且 等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列 的前 项和为 ，则
【答案】BC
【分析】设等差数列 的公差为 ，利用 ， 等比数列求出 、 ，可判断A；求出
可判断B，利用等差数列求和公式求出 可判断C；求出 ，再利用
错位相减求和可判断D.
【详解】对于A，设等差数列 的公差为 ，由 得 ，①由 等比数列得 ， ，②
由①②解得 ， ，所以 ，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，所以
所以 ，①
，②
① ②得， ，
则 ，故D错误.
故选：BC.
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中
提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐
项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列
2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 ､其前7项分别为
5，9，17，27，37，45，49，设通项公式 .则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： ）
A．数列 为二阶等差数列B．数列 的前11项和最大
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前 项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.
【详解】设 ，
所以数列 前6项分别为 ，
设 ，
所以数列 前5项分别为 ，显然数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，由题中定
义可知数列 为二阶等差数列，因此选项A正确；
，
于是有
，
因此有
，
因为
，所以数列 的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；
因此选项C正确；
，因此选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.
9．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且满足
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的前n项和为
B．数列 的通项公式为
C．数列 不是递增数列
D．数列 为递增数列
【答案】CD
【分析】确定 得到 是首项为 ，公差为 的等差数列，得到 即
的通项公式，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】 ，则 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，故 ，即 ，
， .对选项A： ，错误；
对选项B： ，错误；
对选项C： ， ，故数列 不是递增数列，正确；
对选项D： ，故数列 为递增数列，正确；
故选：CD.
10．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
（ ， 为常数），则下列结论正确的有（ ）
A． 一定是等比数列 B．当 时，
C．当 时， D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用数列的递推关系得 和当 时， ，再利用 ，结合等比数列的
概念对A进行判断；对于B，利用A的结论，结合等比数列的通项公式得 ，当 时，利用
等比数列的求和，计算出 ；对于C，当 时，利用指数幂的运算，对C进行判断；对于D，利用
，计算得 ，对D进行判断.【详解】对于A，在数列 中，因为 ， 为非零常数 ，
所以当 时， ，解得 ，
当 时， ，
由 得 ，即 ，又因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确；
对于B，由 得 ，因此当 时， ，
所以 ，故B正确；
对于C，由 得 ，因此当 时， ，
所以 ，故C正确；
对于D，由 得 ，
因此 ，
，
所以 ，故D错误．
故选：ABC．
11．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，B为坐标原点，点P在圆 上，若对于 ，存在数列 ， ，使得 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 为公差为2的等差数列 B． 为公比为 的等比数列
C． D． 前n项和
【答案】CD
【分析】由圆的方程写出P的参数坐标，由两点距离公式判断 ，由等比中项性质判断 为
等比数列，即可依次求得 的通项公式，即可逐个判断，其中 由错位相减法求和.
【详解】对AB，由点P在圆 上，则由参数方程得 ，
则 ，∴ .
对于 ，存在数列 ， ，使得 ，即 ①， ②，
② ①得 ，
令 ，则 ，则 是以 为首项，
公比为 的等比数列.
则 ，AB错；
对C， ，C对；对D， ，
，
两式相减得，
.
∴ ，D对.
故选：CD.
12．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 为 的前 项和．则下列说
法正确的是（ ）
A． 取最大值时， B．当 取最小值时，
C．当 取最大值时， D． 的最大值为
【答案】AD
【分析】由题意知 ，即可得到 的取值范围，从而得到 令
，即可得到 ，从而得到 ，即可判断A、B，再利用基本不等式求出
，即可判断C、D.
【详解】由题意知 ，则 ，因为 ，所以 ，
令 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 或 ，又 ，故 ．
当 取最大值时， ，此时 ，则 ， ，
故 ，故A正确；
当 取最小值时， ，此时 ，则 ， ，
故 ，故B不正确；
由 ，知 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
故当 取最大值时， ，
此时 ，故C不正确，D正确．
故选：AD
13．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）定义：若数列 满足，存在实数M，对任意 ，都
有 ，则称M是数列 的一个上界．现已知 为正项递增数列， ，下列说法正确
的是（ ）
A．若 有上界，则 一定存在最小的上界
B．若 有上界，则 可能不存在最小的上界C．若 无上界，则对于任意的 ，均存在 ，使得
D．若 无上界，则存在 ，当 时，恒有
【答案】ACD
【分析】AB选项，由 有上界判断；C.根据 无上界，且为正项递增数列，可得 判断；D.
用反证法判断.
【详解】A.若 有上界，则 一定存在最小的上界，故正确；
B.若 有上界，则 一定存在最小的上界，故错误；
C.若 无上界，又 为正项递增数列，则 时， ， ，
则 ，所以 ，故正确；
D.假设对任意 时，恒有 ，
不妨设 ，则 ，
取 ，当 时， ，
与假设矛盾，故假设不成立，
所以若 无上界，则存在 ，当 时，恒有 ，故正确；
故选：ACD
14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如 如
何表示成两个整数的比值呢？ 代表了等比数列 的无限项求和，可通过计算该
数列的前 项的和，再令 获得答案.此时 ，当 时， ，即可得 .
则下列说法正确的是（ ）A．
B． 为无限循环小数
C． 为有限小数
D．数列 的无限项求和是有限小数
【答案】AD
【分析】按照题中所给方法求解可判断A；取 验证可判断BC；利用等比数列求和公式求和，然后可
得 的无限项求和，可判断D.
【详解】对于选项A， ， 代表了等比数列 的无限项求和，该
数列的前 项的和为 ， ， ，所以 ，故选项A成立；
对于选项B：令 与条件矛盾，故选项B不成立；
对于选项C：令 与条件矛盾，故选项C不成立；
对于选项D：数列 的前 项和为 时， ，所以数列 的无限项求和为
，是有限小数，故选项D成立.
故选：AD
15．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图
案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，
G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法
一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为 ，后续各正方形边长依次为 ， ，…，
，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， ，…，，…．则（ ）
A．数列 是以4为首项， 为公比的等比数列
B．从正方形 开始，连续 个正方形的面积之和为32
C．使得不等式 成立的 的最大值为3
D．数列 的前 项和
【答案】ACD
【分析】根据题意， ， 都是等比数列，从而可求 ， 的通项公式，再对选项逐个判断即可
得到答案．
【详解】对于A选项，由题意知， 且 ，
所以 ，又因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知， ， ， ， ，
所以 ，故B错误；对于C选项， ，
易知 是单调递减数列，且 ， ，
故使得不等式 成立的的最大值为 ，故C正确；
对于D选项，因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD．
16．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）在数列 中， （ ， 为非零常数），
则称 为“等方差数列”， 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等差数列，又是等方差数列
【答案】BC
【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求 判断B，根据等方差数列定义及
等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.
【详解】设 ，则 不为非零常数，所以 不是等方差数列，故A错误；
由题意 ，则 ，由 是等比数列，得 ，解得 或 （舍去），
当 时， 满足题意，故B正确；
设数列 为等比数列，不妨设 ，则 ，所以 ，
若 为常数，则 ，但此时 ，不满足题意，故C正确；
若数列 既是等差数列，又是等方差数列，
不妨设 ，（ 为非零数）， ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 为常数列，这与 矛盾，故D错误.
故选：BC.
17．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若数列 和 均为等差数列，
且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先依据题给条件求得等差数列 的公差，进而求得 ， 的解析式，代入求得 ， ， ，
的值即可判断各个选项的正误情况.
【详解】数列 为等差数列，设其首项为 ，公差为d，
则 ，
，
由数列 为等差数列，可得则 ，
两边平方整理得， ，
两边平方整理得， ，解之得 ，
则 ， ，
选项A： .判断错误；
选项B： .判断正确；
选项C： .判断错误；
选项D： .判断正确.
故选：BD
18．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，
则（ ）
A． B．当 时， 最小
C．当 时， 最小 D．存在 ，使得
【答案】AC
【分析】由等比数列的性质、数列的单调性及不等式的性质可对每个选项进行判断即可得出.
【详解】对于A，∵ ， ，∴ ，又 ， ，
∴ ，故A正确；
对于B，C，等比数列 满足 ，公比 ， ，
， ， ， 为递增数列，
由等比数列的性质， ，又 ， ，
， ，
∵ ， ，
，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ， ，
，即 ，
为递增数列，故当 时， 最小，故B错误，C正确；
对于D，当 时， ， 为递增数列， ，
故D错误.
故选：AC
19．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，
，且 ，则（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】由题意可证得 是以 为首项， 为公比的等差数列，求出 的通项公式，取 可判
断A，B；取 ，可判断C；由 可得 ，求出 ，可得 可判断D.
【详解】因为 ，且 ，则 ，，两边同时除以 可得： ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，所以 ，
对于A，取 ，则 ，则 ，故A正确；
对于B，取 ，则 ，则 ， ，
故 ，故B正确；
对于C，取 ， ，
当 时， 恒成立， 恒成立，
所以 恒成立，即 ，
当 ， ， ，
所以 ，故 ，使得 ，故C正确；
对于D，因为 ，若 ，
则 ，得 ，即 ，
则 时， ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，故D不正确.故选：ABC.
20．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为
，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.
【详解】由题意， 同号，即 与 同号， ， 又 有 …①或
…②；
若为①，则有 ，即 ；
若为②，则有 ， 则不可能大于1，即②不成立；
，并且 ， ，即 是递减的正数列， A错误；
所以 ，B正确；
，即 对任意的n都成立，C错误；
当 时， ，当 时， ， 是 的最大值，D正确；
故选：BD.
21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知集合 ，
，集合 ，将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列 ， 为数列 的前n项和，则（ ）
A．
B． 或2
C．
D．若存在 使 ，则n的最小值为26
【答案】ABC
【分析】由集合A和集合B中元素的特征，判断集合C中元素特征和顺序，验证各选项中结论.
【详解】对于选项A，由题意 的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9， ，故A正确；
对于选项B，集合A为奇数集，集合B中的元素都是偶数，按照从小到大排列，
若连续的两个数是奇数，则 ，
若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则 ，故B正确；
对于选项C，令 ，∵ 比 小1，
∴ 的前k项中，来自集合A的有 个，来自集合B的有n个，
∴ ，
即 ，故C正确；
对于选项D， 的前26项包括A集合的1，3，5，…，41共21个，B集合的2，4，8，16，32共5个，
∴ ，
∵ ， ， ，不符合条件，故D错误．
故选:ABC．22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 的定义域均为
.若 时 ，且 时 ，
则（ ）
A． B．函数 的图像关于点 对称
C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件先求出 ，再根据 求值判断A，结合已知 ，
然后利用对称中心的概念判断B，根据数列知识及函数性质求出函数值的和即可判断C、D.
【详解】因为 时 ，
所以 ，
又 时 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
故选项A正确；
由 得 ，
由 知 是奇函数，所以 ，
上面两个式子相加得 ，所以 关于 对称，所以 错误；
，故选项 错误；
由 得，
所以 正确.
故选：AD
23．（2023·全国·模拟预测）已知数列1，1，2，3，5，8，…被称为“斐波那契数列”该数列是以兔子繁
殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”，斐波那契数列 满足 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据数列的递推关系逐项验证即可判断.
【详解】A选项：由题意知： ， ， ， ， ， ，
所以 ，所以A正确；
B选项：由 得，当 时， ，
即 ，于是 ，
故B正确；
C选项： ，所以C正确；
D选项：当 时， ，而 ，则 ，故D不正确.
故选：ABC.
24．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，记数列的前 项和为 ，若存在正整数 ， ，使得 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【分析】根据数列的递推公式确定数列的通项公式，即可求得 的表达式，进而判断 的可能
取值，分类讨论，求得m的值，即得答案.
【详解】由题意数列 满足 ， ， ，
可得数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，
偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，
故 ，
所以 ，
故
，
，
故 ，
由 可知 都大于3，
所以 只能是 其中之一，
若 ，即 ，即 ，无解；若 ，即 ，
若 ，即 ，
故选：AB
25．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为
C． 取最小值时
D．设 ，则
【答案】AC
【分析】对于A：根据题意列式求解 ，即可得结果；对于B：根据等差数列性质可得 ，再结
合基本不等式分析运算；对于C：根据等差数列通项的正负性分析判断；对于D：利用错位相减法分析运
算.
【详解】对于选项A：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：若 ，则 ，即 ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
但 ，所以 的最小值不为 ，故B错误；
对于选项C：令 ，解得 ，
又因为 ，可得 的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以 取最小值时 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
则 ，
可得 ，
两式相减得：
，
所以 ，故D错误；
故选：AC.
26．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知首项为 ，公比为 的等比数列 ，其前 项
和为 ， ，且 ， ， 成等差数列，记 ， ，则（ ）
A．公比
B．若 是递减数列，则
C．若 不单调，则 的最大项为D．若 不单调，则 的最小项为
【答案】BC
【分析】由等差中项的性质即可判断A，由等比数列前 项和 即可判断B，由 以及 与 的关系即可
判断CD.
【详解】由 ， ， 成等差数列，
得 ，即 ，
，得 ，故A错误；
当 时，数列 不单调，当 时，数列 单调递减，
若 是递减数列，则 ，故B正确；
若 不单调，则 ，则 ，
，是关于 的增函数，当 时， 有最大值为 ，则 的最大项为 ，故C正确；
当 时， 有最小值为 ，则 的最小项为 ，故D错误．
故选：BC．
27．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有
封不同的信，投入 个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 例如两
封信都投错有 种方法，三封信都投错有 种方法，通过推理可得： .高等
数学给出了泰勒公式： ，则下列说法正确的是（ ）A．
B． 为等比数列
C．
D．信封均被投错的概率大于
【答案】ABC
【分析】根据分类加法原理求 ，由此判断A，根据等比数列定义判断B，利用累加法求 ，判断C，由
泰勒定理求 ，结合比差法判断D.
【详解】设 封信分别为 ， ， ， ，当 在第二个信箱时，
有 ， ， 共 种错投方式，
同理可得 在第 与第 个信箱时，也分别有 种错投方式，
故共有 种错投方式，
所以 ，故A正确；
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 为等比数列，首项为 ，公比为 ，故B正确；
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 时， ，故C正确；装错信封的概率为 ，
，
则 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
综上所述：当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，故D错误．
故选：ABC．
28．（2023·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和．下面几个条件中，能推出 是等差数列的为
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ABD
【分析】由 与 的关系得出 与 的关系式即可判断ABD，通过举反例即可判断出C．
【详解】对于A，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，即 ．
所以 是恒为0的数列，即 是公差为0的等差数列，故A正确；
对于B，当 时， 且 ，两式相减可得 ，即 ，
所以 ，即 是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，如果 ，令 可得 ，
当 时， 且 ，
两式相减可得 ，
如果 ，则 ，这并不能推出 是等差数列，
例如：考虑如下定义的数列 ：1，1，2，2，3，3， ，则其通项公式可写成 ， ．
则 ，
．
即数列1，1，2，2，3，3， 满足 对任意正整数 成立，但它并不是等差数列，故C错误；
对于D，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，
所以 ，即 ，
故 ，即 是公差为 的等差数列，故D正确；
故选：ABD．
29．（2023·山东威海·统考二模）已知数列 的首项 ，前n项和为 ．设 与k是常数，若对任意
，均有 成立，则称此数列为“ ”数列．若数列 是“ ”数列，且
，则（ ）A． B． 为等比数列
C． 的前n项和为 D． 为等差数列
【答案】AC
【分析】首先理解题意得 ，再变形得到数列 和 的通项公式，即
可判断ABCD.
【详解】由条件可知， ， ，
则 ，两边平方后，整理为
，即 ，
得 或 ,
若 ，则 ，则 ，这与 矛盾，所以不成立，
若 ，则 ， ，所以数列 是首项为1，公比为9的等比数列，即 ，
故A正确；
由 可得 （ ），两式相减得，
，并且 时， ，即 ，得 ，
那么 ，所以 不是等比数列，故B错误；
，
当 时， ，
当 时，设数列 的前 项和为 ，则
,
当 时， 成立，故 ，故C正确；
， ， ， ，所以数列 不是等差数列，故D错误.
故选：AC
30．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列 为正项等差数列且其前n项和为 ，若 ，则
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据数列 为正项等差数列，且 ，利用等差数列的性质求得 ，再利用项与
项，前n项和与通项的关系逐项判断.
【详解】解：因为数列 为正项等差数列，
所以 ，
所以 ，
因为数列 为正项等差数列，
所以 ，
所以 ， ，，
故选：ABD
31．（2023·湖南岳阳·统考三模）设数列 的前n项和为 ，且
，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列 单调递减
C．当 时， 取得最小值 D． 时，n的最小值为7
【答案】AC
【分析】根据已知条件及累加法求数列 的前n项和为 ，利用 与 的关系求出数列 的通项公
式，再结合已知条件逐项判断即可求解．
【详解】由 ，得 ，
，
解得 ，
当 时， 满足上式，所以
当 时， 所以 ，故A正确；
当 时， 单调递增，又
所以数列 单调递增，且 ，
所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，且 ，
所以当 时， 取得最小值，故B错误，C正确；
又 故D错误．故选：AC．
32．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D
作答.
【详解】对于A， ， 时， ，解得 ，因此 ， ， 是
等差数列，A正确；
对于B， ， ，则 ，而 ， 是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列 的公差为 ，首项是 ，
，
，
因此 ，则 ， 成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列 的公比 ，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
33．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且有 ，则下列
结论正确的是（ ）．A． B．数列 为等差数列
C． D．
【答案】CD
【分析】根据题意和 （ ）可得 ，结合等差数列的定义可证明 是以1为首
项，公差为1的等差数列，进而 、 ，结合选项依次判断即可.
【详解】A： ，当 时， ，由 解得 ，故A错误；
B： ，当 时， ，则 ，
整理得 ，又 、 解得 ，
得 ，有 ，符合上式，
所以 是以1为首项，公差为1的等差数列，故B错误；
C：由选项B的分析可知 ，由 解得 ，
所以 ，故C正确；
所以 ，
D：由选项C的分析可知 ，则 ，
所以 ， ， ，得 ，故D正确.
故选：CD.
34．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）设a， ，数列 满足 ， ，，则下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BCD
【分析】A选项，由 ， 结合基本不等式可得 ， ，即可判断选项正误；
BCD选项，注意到 ，当 时，方程 有解，则当 为方程
的根时，则 ，即可判断选项正误.
【详解】A选项，当 时，因为 ，
所以 ，又 ，当且仅当 取等号.
故 ， .故A正确.
B选项，当 时，
故 时， 为常数列，且 ，所以 不成立.故B错误；
C选项，当 时，
故 或 时， 为常数列，且 或 ，所以 不成立.故C错误；
D选项，当 时，
故 或 时， 为常数列，且 或 ，
所以 不成立.故D错误；故选：BCD
35．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】AD
【分析】根据等差数列和等比数列的中项公式，即可判断.
【详解】A.若a，b，c成等比数列，则 ，则 ，所以 ， ， 成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列 ， ， 不是等差数列，故B错误；
C.若a2，b2，c2成等比数列，则 ， 或 ，若 ，则a，b，c不成等比数列，故
C错误；
D.若a，b，c成等差数列，则 ，则 成立，所以 ， ， 成等比数列，
故D正确.
故选：AD
36．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知 为等差数列，前n项和为 ， ，公差 ，
则（ ）．
A．
B．
C．当 或6时， 取得最大值为30
D．数列 与数列 共有671项互为相反数
【答案】ABC【分析】根据给定的等差数列，求出通项公式判断A；利用性质计算判断B；由单调性结合正负数项计算
判断C；求出两个数列的互为相反数的项数
判断D作答.
【详解】数列 为等差数列，前n项和为 ， ，公差 ，
则有 ，A正确；
因为 ，所以 ，B正确；
因为 ，即数列 为递减等差数列，且当 时， ，
因此数列 的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负，
所以当 或6时， 取得最大值 ，C正确；
令数列 的第n项 与数列 的第m项互为相反数，即 ，
于是 ，而 ，则 为偶数，令 ，有 ，
因此数列 与数列 成互为相反数的项构成等差数列 ，且 ，
显然 ，即 ，又 ，则 ，
所以数列 与数列 共有670项互为相反数，D错误.
故选：ABC
37．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题
时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第
三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，
现将 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 ，数列 的前n项和为 ，数列
的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】ABD
【分析】根据数列特征得到 为 ， ， ， ， ， ， ，周期为 的数列，从而得到
，A正确， ，B正确，根据数列 的周期求和得到
或 ，所以C错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，
数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列 为 ， ， ， ， ， ， ，
则数列 为周期数列，且周期为 ，
所以 ，故A正确；
因为
，故B正确；
因为 ，
，且 ， ， ，
所以 或 ，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD38．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 ，如果 是奇
数㩆乘以3再加1，如果 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参
照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 ，各项均为正整数的数列 满足 ，
则（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 为奇数时，
D．当 为偶数时， 是递增数列
【答案】ACD
【分析】当 时，结合条件求出 可判断A，求出 可判断B；由数学归纳法可证明C；据
与零的关系，判断数列 单调递增可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，
， ， ， ，
，故A正确；
对于B，当 时，由A选项知： ，故B不正确；
对于C，因为 ，当 为奇数时， 且 为偶数， ．假设 为奇数时， ； 为偶数时， ．
当 为奇数时， ，且 为偶数；
当 为偶数时， ．
所以若 为奇数，则 ；若 为偶数，则 ．
因此对 都有 ，故C正确；
对于D，当 为偶数时，若 为奇数，则 为奇数．
因为 为奇数，所以归纳可得，对 ， 均为奇数，则 ，
所以 ，
所以数列 单调递增，故D正确.
故选：ACD.
39．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，等差数列 的前n
项和为 ，且 ， ，若 恒成立，则实数λ的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【答案】CD
【分析】由 变形为 ，得出 为等比数列并求出通项，再根据
累加法求出 ；根据等差数列的通项公式及前n项和公式求出 ，再求解 的最小值得出结果.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 为等比数列，公比 .所以 .
由累加法得
，
当 时， 相符，
所以 .
已知等差数列 的前n项和为 ，
则 ，且 ，
解得 ，则 .
已知 恒成立，又 ，
则 ，设
因为当 时，
因为当 时， ，
又 ， ， ， ，
故 的最小值为 ，
所以 ，
故选：CD.
40．（2023·安徽淮北·统考二模）已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手
抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99
站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为 ，
（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意直接判断选项A和B；然后根据题意求出递推公式即可判断选项C，根据递推公式判断
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，等比数列求和进而判断选
项D.
【详解】根据题意，棋子跳到第1站则掷出正面，所以 ，故选项A正确；
棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在 ；
第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为 ；
第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为 ，因此 ，故选项B错误；
由题意易知棋子先跳到第 站，再掷出反面，其概率为 ；棋子先跳到第 站，再掷出正面，其
概率为 ，因此有 ，
则 ，故选项C正确；
因为 ，则有 ，
即 .
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
因此有 .由此得到 ，
所以 ，故选项D错误，
故选：AC.
第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，
这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列 、 进行“美好成长”，第一次得到数列 、 、 ；
第二次得到数列 、 、 、 、 ； ；设第 次“美好成长”后得到的数列为 、 、 、 、 、 ，
并记 ，则（ ）
A． B．
C． D．数列 的前 项和为
【答案】ACD
【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得： ，利用构造法结合等比
数列分析运算；对C：根据第 次“美好成长”与第 次“美好成长”的关系分析运算；对D：由
，利用构造法结合等比数列可得 ，利用裂项相消结合分组求和运算求解.
【详解】对于A选项， ，A对；
对于B选项，设第 次“美好成长”后共插入 项，即 ，共有 个间隔，且 ，
则第 次“美好成长”后再插入 项，则 ，可得 ，且 ，
故数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，故 ，B错；
对于C选项，由题意可知：
，C对；
对于D选项，因为 ，且 ，
所以， ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，故 ，
所以， ，
所以，数列 的前 项和为 ，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现 时，构造等差数列；
（2）当出现 时，构造等比数列；
（3）当出现 时，用累加法求解；（4）当出现 时，用累乘法求解.
42．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在 上的函数 ，其导函数分别为
，若 ， ，则（ ）
A． 是奇函数
B． 关于 对称
C． 周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件 ，即得结果.对于选项B，由题意可推导出 为偶函
数， 为奇函数，所以 ，即 即可证明；对于选项
C，由 关于 对称和 关于 对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结
论 和已知条件 ，由等差数列的前 项和即得结果.
【详解】因为 可得为 偶函数，所以 ，则 为奇函数，故A正确；
因为 ， 偶函数， 时偶函数，
所以 为偶函数，所以 关于 对称，
因为 ， 为奇函数， 为奇函数，
所以 为奇函数， 关于 对称，，
则 其中 为常数，又 故 ，有 关于 对称，B正确；
令 等价于 ， ，所以 ，
因为 关于 对称，所以 ，
所以令 等价于 ，所以 ，所以 ，
故可看成数列 ，
而因为 关于 对称，所以 ， ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列，
是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 没有周期性，故C不正确；
，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数
有关的函数性质，有如下结论：
①若 连续且可导，那么若 为奇函数，则 为偶函数；若 为偶函数，则 为奇函数；
②若 连续且可导，那么若 关于 对称，则 关于点 对称；若 关于 对
称，则 关于 对称.43．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）已知数列 ，如果存在常数 ，对于任意给定的正数
（无论多小），总存在正整数 ，使得 时，恒有 成立，就称数列 收敛于 （极限为
），即数列 为收敛数列.下列结论正确的是（ ）
A．数列 是一个收敛数列
B．若数列 为收敛数列，则 ，使得 ，都有
C．若数列 和 为收敛数列，而数列 一定为收敛数列
D．若数列 和 为收敛数列，则数列 不一定为收敛数列
【答案】ABC
【分析】根据新定义证明 是一个收敛数列，A正确，取 得到B正确，证明
、 一定为收敛数列，得到C错误D正确，得到答案.
【详解】对选项A：存在 ，取 ， ，当 时， ，
则 是收敛数列，A正确；
对选项B：当 时， ，则 ，
当 时， 中最大的项为 ，取 ，则 ，B正确；
对选项C：对任意的 ，取 ，当 时，恒有 ，
当 时， ，故当 时，
则 ，故数列 一定为收敛数列，
C正确；
对选项D：对任意的 ，令 ，取 ，
当 时，恒有 ，当 时，恒有 ，
故当 时，则
，
故数列 一定为收敛数列，D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中利用数列的新定义，构造类似 的关系，是解题的关键.
44．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，则（ ）
A．
B．当 时，
C．当 时， 为等差数列
D．当数列 单调递增时， 的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，由 ，多写一项，两式相减得到 ，注意检验 时是
否成立即可；对于B，先根据题意求得 ，从而得到 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，偶数
项是以 为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前 项和公式即可求解；
对于C，结合B选项求得 ， ，得到数列 为 ，进而判断即可；
对于D，先结合选项C求得 ， ，再根据数列 单调递增，则必有
，且 ，求解即可得出 的取值范围．
【详解】对于A，因为 ，当 ， ，
两式相减得 ，
但当 时， ，即 ，得 ，不符合，故A错误；
对于B，结合A选项有 ，所以 ，
两式相减得 ，
又 ，
令 ，则 ， ，得 ，又 ，所以 ，
令 ，则 ， ，得 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
则
，所以B正确；
对于C，结合B选项有 ， ， ，又 ，
则 ，
，
即数列 的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列 为 ，
所以数列 不是等差数列，故C错误；
对于D，结合选项C有 ， ，
又数列 单调递增，则必有 ，且 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，所以D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，
或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．
45．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）定义在 的函数 满足 ，且
， 都有 ，若方程 的解构成单调递增
数列 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若数列 为等差数列，则公差为6
C．若 ，则D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对于A：根据题意结合周期性运算求解；对于B：根据题意结合图象分析判断；对于B：整理可
得 ，结合图象分析判断；对于D：根据图象结合对称性分析可得数列 是
以首项为7，公差为12的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解.
【详解】因为 都有 ，即
令 ，则 ，即 ，
可知 在 内的图象关于点 对称，
根据题意作出 在 内的图象，如图所示：
对于选项A：因为定义在 的函数 满足 ，
则 ，故A正确；
对于选项B：由图象可知：若数列 为等差数列，则 ，
此时 与 在 内有且仅有一个交点，因为 ，则 ，
所以公差为6，故B正确；
对于选项C：若 ，则 ，
可得 ，
则 ，即 与 在 内有且仅有2个交点，
结合图象可得 ，故C错误；
对于选项D：若 ，则 与 在 内有且仅有3个交点，且 ，
因为 ，则 ，
所以数列 是以首项为7，公差为12的等差数列，
可得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
46．（2023·山东日照·三模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，则（ ）
A．
B．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是C．若方程 恰有三个实数根，则 的取值范围是
D．函数 在区间 上的最大值为 ，若存在 ，使得 成立，则
【答案】ABD
【分析】由 ， 可判断A，解出不等式 可判断B，当 时
的图像有3个交点，即可判断C，根据条件可得当 时
，然后可得 ，然后可得 ，判断出数列
的单调性可判断D.
【详解】函数 的定义域为 ，满足 ，即 ，且当 时，
，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
依次，当 时，即
作出函数图象对于A， 代入 ，故正确；
对于B，对任意 ，都有 ，
，
，解得
，对任意 ，
都有 ，则 的取值范围是 ，正确；
对于C，当 时， 的图像有3个交点，故错误；
对于D.
最大值
存在 ，使得 成立， 的最大值，
，则 增， 减， ，即 ，正确.
故选：ABD
47．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）若 为函数 的导函数，数列 满足
，则称 为“牛顿数列”.已知函数 ，数列 为“牛顿数列”，其中
，则（ ）
A．
B．数列 是单调递减数列
C．
D．关于 的不等式 的解有无限个
【答案】BCD
【分析】对函数求导，得出数列递推关系，构造等比数列，求出通项，根据数列的函数性质及不等式证明
逐一判断各选项.
【详解】对于A，由 得 ，所以 ，故A错误；
对于B，由 得 ， ，所
以 ，数列 是单调递减数列，故B正确；
对于C， ， ，由 ，得 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以数列 是公比为2的等比数列，又 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，即 .
对于C，，
下面用数学归纳法证明： .
当 时， ，命题成立；
假设当 时，命题成立，即 ；
当 时，即 ，
，命题成立；
所以 命题成立；
综上 成立.
对于D， ，因为 ，
所以 ，即 ， ，所以不等式的解有无限个,故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由 和 ，构造等比数列 ，考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于偏难题目.
48．（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列 ，使得
B．存在公比为2的等比数列 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【详解】对于A，设数列的首项为 ，则 ，解得 ，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确；
对于B，设首项为 ，则 ，正确；
对于C，欲使得 尽可能地大，不妨令 ，则有
，
又 ，即 ，
，
即 ，正确；
对于D， ， ，即 ，
比如， ，
则 ，D错误；故选：ABC.
【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理.
49．（2023·江苏苏州·校联考三模）若数列 满足：对任意的 ，总存在 ，使
，则称 是“ 数列”.则下列数列是“ 数列”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据“ 数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由 的个位数上奇偶性判断
C.
【详解】A：由 ，要 且 ，
所以，只需 ，显然对任意的 ，总存在 ，满足“ 数列”.
B：由 ，显然 ，不满足“ 数列”.
C：对于任意 ， ，个位数为 均为奇数，所以 必为偶数，显然 不成立，不满
足.
D：由 ，
，
故对任意的 ，总存在 ，满足“ 数列”.
故选：AD50．（2023·全国·模拟预测）数列 满足 ， ， 表示 落在区间
的项数，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知列出数列 的部分项，得出数列的通项，根据数列的基本性质以及错位相减、裂项相消
法求和逐一判断各选项即可.
【详解】列举可得，数列 的前若干项分别为1，2，3，3，4，5，6，6，….不难发现，
.
对于A，区间 ，即 中3的倍数有3个，这些数在 中会出现两次，其它数只出现一次，因
此 ，故A错误.
对于B，当 时， ； 时， ； 时，
； 时， ，均在 中，故
B正确.
对于C，
，故C正确.对于D， 取奇数时， 除以3的余数为2，而 取偶数时， 除以3的余数为1，因此 取奇数时，
取偶数时， ，
所以 ， .则 ，
即 ，
设 ，
，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
.
.
故D错误.
故选:BC.
【点睛】关键点点睛：关于分奇偶列项法求和，主要是对通项做好裂项变形，拆分成合适的项进行消项，
如本题中 ，灵活性比较强.本题属于难题，考察基本数列、数列的基
本性质.
51．（2023·广东广州·统考三模）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ．若
， ，且 为奇函数，则（ ）．
A． ， B．
C． D．【答案】AC
【分析】由 为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明 为周期为 的函数，利用组合
求和法求 判断C，根据条件证明 ，由此判断BD.
【详解】对A，又∵ 为奇函数，
则 图像关于 对称，且 ，
所以 ，A 正确；
对于C，∵ ，则 ，
则 ，又 ，
所以 ，
令 ，可得 ，即 .
所以 ，又
所以 ，
所以 ，
∴ 的周期 ，所以 ，
由 可得，
， ， ，
所以 ， ，
∴ ，C正确；对B， ，则 是周期 的函数， ，B错误；
对D， ， ，所以
，
所以 ，D错误.
故选：AC.
【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识
点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.
52．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）数列 ， ， ，该
数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物
的生长规律，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 为等比数列 D．数列 为等比数列
【答案】ABD
【分析】对于A，根据累加法得出结果；对于B，根据 ， ，累加得出结果；
对于C、D，先假设等比数列公比为q，再结合 进行判断.
【详解】对于A，由 ， ，…， ，两边相加并代入 得
，故A正确；
对于B，因为 ，则 ， 则.
故B正确；
对于C，假设 为公比为q等比数列，
故 ，即 ，
所以 ， ，矛盾，故C不成立.
对于D，假设 为公比为q的等比数列，
故 ，即 ，
由已知得： ， ，解得 ，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活利用数列的递推关系，将选项进行变形转化，由 ，
转化 ，再结合累加得出结果.本题是一个偏难的题目，灵活性强，学生不容易把握.
53．（2023·广东茂名·统考二模）已知数列 和 满足： ， ， ，
， ，则下列结论错误的是（ ）
A．数列 是公比为 的等比数列 B．仅有有限项使得
C．数列 是递增数列 D．数列 是递减数列【答案】ABD
【分析】由题意 ， ，将第二个式子乘以 后与第一和式子相加可得
，令 ，解得 ，取 ，利用等比数列的定义和
通项公式对各选项依次判断即可.
【详解】由题意可知 ，
第二个式子乘以 后与第一和式子相加可得
，
令 ，解得 ，
取 可得 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，选项A说法错误；
因为 ， ，所以 ，
所以当 为正奇数时， ，即 ，
当 为正偶数时， ，即 ，选项B说法错误；
由 ， ， ， ，可知 ， ，且数列 和 均为递增数列，而 ，
所以数列 是递增数列，选项C说法正确；
因为 ，所以数列 是递增数列，选项D说法错误；
故选：ABD
54．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数 定义域为 ，满足 ，当
时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为
，（其中 表示不超过 的最大整数），则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】举例说明判断选项A；分析函数 与 的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、
计算判断选项B、C、D作答.
【详解】对于A，函数 ，显然 ，而 ，即 ，因
此 不是偶函数，故A错误；
函对于B，数 定义域为R，满足 ，当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，当 时， ，
，
因此当 时，函数 在 上递减，
在 上递增，当 时， 取得最大值 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
因此当 时，函数 ，
在同一坐标平面内作出函数 的部分图象，如图，
当 时，函数 的图象有唯一公共点 ，
因为 ，因此 ， ，而满足 的整数有 个，即
，故B正确；
对于C，显然 ，
所以 ，故C正确；
对于D， ，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值
是关键.
55．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知等比数列 首项 ，公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，
函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的n的最大值为6
【答案】BCD
【分析】首先求函数的导数，根据条件判断 ，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定
义判断AC；最后数列前 项积的定义判断D.
【详解】函数 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
由等比数列的性质可得 ，
所以 ，所以 ，由 ，可得 ，故B正确；
因为等比数列 首项 ，公比为q，所以 ，
则 ，故 为单调递减的等差数列，故A错误；
设
，则 为常数，
因为 ，所以 ， 单调递减，
所以 为单调递增的等比数列，故C正确；
因为 ，且 ，所以 ， ，
所以使得 成立的n的最大值为6，故D正确．
故选：BCD
56．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“ ”表示不大于x的最大整数，例如： ，
， ．下列关于 的性质的叙述中，正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若数列 中， ， ，则D． 被3除余数为0
【答案】ACD
【分析】A选项，由题意得到 ，变形得到 ；B选项，举出反例即可；C选
项，求出 ，利用等差数列求和公式求出答案；D选项，分析得到
， 被3除余数为1，分组求和后得到 其被3除余数为
1011，而 ，故D正确.
【详解】对于A，由定义“ ”表示不大于x的最大整数可知， ，故 ，
用 代换x，即得 ，故A正确．
对于B，不妨设 ， ，满足 ，但此时 ，B错误．
对于C，由 ，可得 ，故 ，
则 ，故C正确．
对于D，对任意自然数k， 与 均不是整数，且 ，
则 ．
当 时， ，即 被3除余数为1．
当 时， ，
，
则 被3除余数为1，，
由上述分析知其被3除余数为1011，而 ，即M能被3整除，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
57．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知正项数列 满足 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．数列 中的最小项为
B．当 时，
C．当 时，
D．对任意 且
【答案】ABD
【分析】构造函数 ，判断函数的的单调性，得到 是最小的项，且当 时， ，即可
判断A，B；令 ，利用导数可得 在区间 内单调递减，从而判断C；根据
，利用 ， ， ， ，可得
，判断D.【详解】令 ，由 ，得 ，
又 ，则当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，且 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 是最小的项，且当 时， ，所以A，B正确；
由B正确可知，当 时， ，
所以令 ，
则 ，
又 ，
所以 在区间 内单调递减，∴ ，
又因为当 时， ，所以 ，即 ， ，所以C错误；
因为当 时， 且 ， 在区间 内单调递减，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：构造函数 ， ，利用导数判断两个函
数的单调性，利用单调性求解是解题关键.58．（2022·海南·校联考模拟预测）对于无穷数列 ，给出如下三个性质：① ；② ，
；③ ， ， ，定义：同时满足性质①和②的数列 为“s数列”，同时
满足性质①和③的数列 为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为“s数列”
B．若 ，则 为“t数列”
C．若 为“s数列”，则 为“t数列”
D．若等比数列 为“t数列”，则 为“s数列”
【答案】ABD
【分析】根据“s数列”和“t数列”的定义逐一对各选项分析判断即可.
【详解】对于A， ，
，又 ，
数列 为“s数列”，故A正确.
对于B， ， ，又 ，
，又 ，
数列 为“t数列”， 故B正确.
对于C，若 ， ，
又 ，所以数列 为“s数列”，但 ，故C错误.
对于D，若等比数列 为“t数列”，则 ， ，即 （公比为 ）.
（1）若公比 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
此时
因为 ， ， ，所以 ，
即 ，所以 为“s数列”；
（2）若公比 ， 由 得 ，由性质③知 ， ，即 ，
所以 ，但此时 与性质③不符，所以 时 不是“t数列”.
综上，若等比数列 为“t数列”，则 为“s数列”，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：
本题解题的关键是牢牢抓住数列 为“s数列”和数列 为“t数列”所满足的性质对各选项逐一进行
验证.
59．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知数列 为公差为 的等差数列， 为公比为 的
正项等比数列.记 ， ， ， ，则（ ）
参考公式：
A．当 时， B．当 时，
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据等差数列、等比数列的性质及求和公式一一计算即可.
【详解】对于A项，由题意易得：当 时， ， ，显然 时， ，故A错误；
对于B项，由题意易得： ，
即 ，故B正确；
对于C项，由已知可得： ，
所以
若 为偶数，则 ，
当且仅当 时取得等号；
若 为奇数，则
，
当且仅当 时取得等号；
故C正确；
对于D项，由已知得： ，
故 ，
故裂项可得： ，所以 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题考察数列的综合，需要较高的计算能力与逻辑思维能力，属于压轴题.
C项的关键在于化简得 ，再将 用基本不等式分类讨论求最值；
D项的关键在于利用条件化简得 ，再用裂项相消求和判定不等式.
60．（2023·全国·校联考模拟预测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测
并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能
性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这
种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相
格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间
是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性
的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可
以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦
妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 （ ，2，…n） ，定义X的信
息熵 ，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若 ，则 与 正相关
C．若 ， ，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 （j=1,2,…,m）则
【答案】ABD【分析】求出 判断出A；分析 对于 的单调性判断B；利用数列求和求出 判断C；计算出
，利用基本不等式和对数函数的性质判断D作答.
【详解】对于A，若 ，则 ，因此 ，A正确；
对于B，当n=2时， ， ，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递增，所以 与 正相关，B正确；
对于C， ， ，则 ，
，而 ，
于是
，令 ，
则 ，两式相减得
，因此 ， ，C
错误；
对于D，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （ ），
，
，由于 ，即有 ，则 ，
因此 ，所以 ，即 成立，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}
的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
