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冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题二 三角函数与解三角形（解析版）
第一部——高考真题练
1．（2000·全国·高考真题）已知 ，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若 、 是第一象限角，则
B．若 、 是第二象限角，则
C．若 、 是第二象限角，则
D．若 、 是第四象限角，则
【答案】CD
【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.
【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ， ，
此时 ，故A错；
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边， ，
∴ ，故B错；如图(2)，角α，β的终边分别为OP、OQ， ，
∴ ，故C正确；
如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，
∴ ，故D正确.
故选：CD.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的图像关于点 中心对称，则
（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．3．（2021·全国·统考高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
4．（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确
结果.
【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
不妨令 ,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求
待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x ，
0
则令ωx ＋φ＝0(或ωx ＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.5．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ，下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 是 的整数倍
B．函数 的图象可由函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，
再向左平移 单位得到
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 在 上单调递增
【答案】CD
【分析】利用诱导公式可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可
判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，若 ，
则 或 ，
可得 或 ，A错；
对于B选项，因为 ，
所以，函数 的图象可由函数 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的 ，再向左平移 个单位得到，B错；
对于C选项，因为 ，所以，函数 的图象关于点 对称，C对；
对于D选项，当 时， ，
所以，函数 在 上单调递增，D对.
故选：CD.
第二部——基础模拟题
6．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知函数
是 的一个极值点， 是与其相邻的一个零点，则（ ）
A． B．
C．直线 是函数 的对称轴 D．
【答案】BC
【详解】对于A，根据正弦型函数的周期性的性质，结合周期计算公式，可得答案；
对于B，利用整体思想，根据正弦函数的极值性质，建立方程，可得答案；
对于C，利用整体思想，根据正弦函数的对称性，建立方程，可得答案；
对于D，利用函数解析式，可得答案.
【分析】对于A，因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以
，故A项错误；
对于B，因为 是 的一个极值点，所以 ，所以 ，因为，所以 ，故B项正确；
对于C， ，当 时， ，故C项正确；
对于D， ，故D项错误.
故选：BC
7．（2023·河北张家口·统考三模）关于函数 ，下列选项正确的有（ ）
A． 为偶函数
B． 在区间 上单调递增
C． 的最小值为2
D． 在区间 上有两个零点
【答案】ABD
【分析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据 可得C不正确；分
段解方程 可得D正确.
【详解】由 ，得 ， ，得 ， ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为偶函数，故A正确；
当 时， ， ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，故B正确；
因为 ，故C不正确；
当 时， ， ，
令 ，得 ，无解；
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，无解，
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
当 时，函数 无意义，
当 ， ， ，
令 ，得得 ，无解，
当 时，函数 无意义，
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
综上所述： 在区间 上有两个零点 和 .故D正确.
故选：ABD8．（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数 ，则（ ）
A． B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】ABC
【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；
【详解】 选项A正确；
所以函数 的最小正周期为 选项B正确；
根据余弦函数图像性质， （余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，
选项C正确；
根据余弦函数图像性质， （余弦函数对应的单调递增区间），函数不
单调，选项D错误；
故选：ABC.
9．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知 是
的导函数（ ）
A． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 得
到的
B． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 得
到的
C． 的对称中心坐标是D． 是 的一条切线方程.
【答案】BC
【分析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A，B；由三角函数的性质可判断C；由导数的几何意义可判
断D.
【详解】 ，
是由 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移 ，故A错误；
函数 图象将横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得 ，
再向右平移 个长度单位，得 ，即 ，故B正确；
因为 ，令 ，
则 ，则 的对称中心坐标是 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
由导数的几何意义令 ，可得： ，
即 ，解得:
，所以切点为 ，
而 不在 上，故D错误.
故选：BC.
10．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数 ， ，则正
确的是（ ）
A． B． 是函数 的零点C．函数 是非奇非偶函数 D． 为 图象的一条对称轴
【答案】ACD
【分析】由三角恒等变换将函数 化简得 ，根据正弦型三角函数的值域、零点、奇
偶性、对称性逐项判断即可.
【详解】 因为 ，
所以 ，故A正确；
由于 ，故 不是函数 的零点，故B不正确；
，且 ，故函数 是非奇非偶函数，故C
正确；
由于 ，所以 为 图象的一条对称轴，故D正确.
故选：ACD.
11．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，把函数的图象
向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 时，方程 有实根，则实数 的取
值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数 的解析式，由可得出 ，求出函数 在 上的值域，即可得出实数 的不等式，解之
即可.
【详解】因为
，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则 ，
当 时， ，则 ，
由 得 ，可得 ，所以， ，解得 ，
故选：CD.
12．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模） 中，角 所对的边分别为 .以下结论中正
确的有（ ）
A．若 ，则 必有两解
B．若 ，则 一定为等腰三角形
C．若 ，则 一定为直角三角形
D．若 ，且该三角形有两解，则 的范围是
【答案】AC
【分析】根据正弦定理可判断选项A；已知条件得出角 的关系，可判断选项B；化边为角可判断选项
C；根据正弦定理可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A，若 ，则 ，
又 ，所以 必有两解，故A正确；
对于B，若 ，则 或 ，
即 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理得： ，
即 ，而 ，故 ，
所以 一定为直角三角形，故C正确；
对于D，若 ，且该三角形有两解，所以 ，
即 ，也即 ，故D错误.
综上所述，只有AC正确，
故选：AC.
13．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 的初相为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．函数 的一个单调递减区间为
C．若把函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 为偶函数
D．若函数 在区间 上的值域为
【答案】AB
【分析】根据已知条件求出函数 的解析式，然后计算 的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数 的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数
的解析式即可判断C项；由x范围求得 的范围，进而求得 在区间 上的值域即可判断D
项．
【详解】由题意知 ，所以 ．
对于选项A， ，所以 的图象关于直线 对称，故A项正确；
对于选项B，由 ， ，得 ， ，
则当 时，函数 的一个单调递减区间为 ，故B项正确；
对于选项C， 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
所以 为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即： 在区间 上的值域为 ，故D项错误．
故选：AB.
14．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）定义在 上的函数 满足在区间 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，因为 ，
所以将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C错误；对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故D正确．
故选：ABC．
15．（2023·广东东莞·校考三模）已知 ， 且 ，则下列命题中成立的是（ ）
A．若 ， 是第一象限角，则
B．若 ， 是第二象限角，则
C．若 ， 是第三象限角，则
D．若 ， 是第四象限角，则
【答案】BD
【分析】举反例判断A，C；利用角的范围，结合余弦函数以及正切函数的单调性可判断B，D.
【详解】对于A，不妨取 ， ，满足题意，但是 ，A错误；
对于B，由 ， ，因为 ，故 ，由于 在 上单调递减，故
，B正确；
对于C，不妨取 ， ，满足题意，而 ，C错误；
对于D，由 ， ，因为 ，故 ，由于 在 上单调递增，故
，D正确
故选：BD.
16．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，则
（ ）A． 的最大值为2
B． 是偶函数
C． 在 上单调递增
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 对称
【答案】AB
【分析】依题意可求出 ，从而可得 ，结合函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】因为函数 的图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
所以 ，其最大值为2，故A正确；
令 ，
定义域为 ， ，
所以 即 是偶函数，故B正确；
时， ， 在 单调递增，
在 单调递减，故C错误；
把 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，因为 ，
所以 的图象不关于点 对称，故D错误.
故选：AB
17．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）如图是函数 （ ， ，
）的部分图像，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是的函数 的一条对称轴
C．将函数 的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数 （ ）在 上有且仅有两个零点，则
【答案】AD
【分析】先根据图像可得 ，即可判断A；令 解出 即可判断B，接下来求
得 ，即可得到 的解析式，根据图象平移判断C；令 ，解出函数零点，然
后根据在 上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D.
【详解】由图像可知， ， ，即 ，故A正确；，此时 ，
又 在图像上， ，解得 ，
，
， ， ，
当 是函数 的一条对称轴时，此时 不符合题意，故B错误；
将 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意
时， ； 时， ； 时， ；
又因为函数 在 上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确.
故选：AD.
18．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的递增区间是 ，C．函数 的对称中心 ，
D．当 ，函数 的值域是
【答案】ABD
【分析】根据 的最小正周期为 可得 的最小正周期是 ，故A正确；根据 以及余
弦函数的单调性列式可得B正确；根据 ，而 无意义可得C不正确；根据余弦函数以及对数函
数的性质计算可得D正确.
【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 的最小正周期是 ，故A正确；
由 有意义得 ，得 ，
由 ， ，得 ， ，
所以函数 的递增区间是 ， ，故B正确；
因为 ， 无意义，
所以函数 的图象不关于点 对称， .故C不正确；
当 时， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD
19．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）关于函数 ，则下列结论
正确的有（ ）
A． 是奇函数 B． 的最小正周期为C． 的最大值为 D． 在 单调递增
【答案】AC
【分析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断AB；再根据周期性研究函数
在区间 上的最值、以及单调性，判断CD.
【详解】由题知， 定义域为 ，
，
所以 是奇函数，故A正确；
因
，
所以 是 的周期，故B错；
，当且仅当 时，等号成立，
由 得 ，
即 ，所以 ，故C正确；
因 ，
，
则 ，
所以 在 上不是单调递增的，故D错.
故选：AC
20．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 （ ）的图象与函数
的图象的对称中心完全相同，且在 上， 有极小值，则（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D． 在 上单调递增
【答案】AD
【分析】根据函数 与 的最小正周期相同，求得 ，经验证求得 ，再求出 值，再对
各个选项逐项验证.
【详解】由题意，函数 与 的最小正周期相同，则 ，且 .当 时， ，其一个对称中心为 ，
也是 的一个对称中心，
所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ， 有极大值，无极小值，不合题意；
当 时， ，其一个对称中心为 ，
也是 的一个对称中心，
所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ， 有极小值，满足题意.
， ，A项正确，B项不正确；
，不是偶函数，C项不正确；
当 时， ，函数 在 上单调递减，则 在 上
单调递增，D项正确.
故选：AD
21．（2023·江苏无锡·校联考三模）在 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【分析】求得 大小关系判断选项A；举反例否定选项B；求得 大小关系判断选项C；求
得 的正负情况判断选项D.
【详解】选项A：在 中，若 ，则 ，则 .判断正确；
选项B：令 ，则 .判断错误；
选项C：在 中，若 ，则 ，
又余弦函数在 单调递减，则 .判断正确；
选项D：在 中，若 ，则 ，
，又正切函数在 单调递增，
则 .判断正确.
故选：ACD
22．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）若函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为π
B． 的图像关于直线 对称
C． 的最小值为-1
D． 的单调递减区间为
【答案】BCD
【分析】先求出 的定义域，再对四个选项一一验证：对于A：利用定义法判断出 的最小正周期；
对于B：由 ，即可判断；对于C：设 ，得到利用导数求出 ，即可判断；对于D：利用复合函数单调性法则直接判断.
【详解】由 得 的定义域为 .
对于A：当 时， 不在定义域内，故 不成立，易知 的最小正周
期为 ，故选项 错误；
对于B：又 ，所以 的图像关于直线 对称，所
以选项 正确；
对于C：因为 ，设 ，所以函数转化为
，
由 得， . 得 .所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故
，即 ，故选项 正确；
对于D：因为 在 上单调递减，在 上单调递增，由 ，令 得 ，
又 的定义域为 ，解得 ，
因为 在 上单调递增，所以 的单调递减区间为 ，
同理函数的递增区间为 ，所以选项D正确.
故选：BCD.
23．（2023·福建漳州·统考模拟预测）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上有2个零点
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为
【答案】BC
【分析】由题意，由函数 的图象变换规律，求得 的解析式，再根据正弦函数的图
象和性质，逐一判断各选项得出结论.
【详解】把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
可得到 的图象；
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
时， ，
则 在 单调递减，在 单调递增，故A错误；
令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，所以 在 上有2个零点，故B正确；
因为 ，为 的最大值，
所以直线 是 的图象的一条对称轴，故C正确；当 时， ， ，故D错误.
故选：BC
24．（2023·广东·校联考模拟预测）如图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由图象求出 的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得.
【详解】设 ，
则 的最小正周期为： ，
所以 ，因为 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故A正确，
，故B不正确；
，故D正确；
，故C不正确.
故选：AD.
25．（2023·广东东莞·统考模拟预测）随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、
声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，
的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 为周期函数，且最小正周期为
D．函数 的导函数 的最大值为3
【答案】ABD
【分析】判断 与 的关系可判断AC；讨论奇偶性可判断B；求出导函数，结合余弦函数的性
质可判断D.
【详解】因为函数 ，定义域为 ，
对于A，，
所以函数 的图象关于直线 对称，故A正确；
对于B， ，所以函数 为奇函数，
图象关于点 对称，故B正确；
对于C，由题知 ，故C错误；
对于D，由题可知 ，且 ，故D正确.
故选：ABD.
26．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知函数 ，则（ ）
A．若 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是
B．若 在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围是
C．若 在区间 上有且仅有一个极大值，则实数 的取值范围是
D．若 在区间 上有且仅有一个最大值，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【分析】由 求出 的范围，然后根据正弦函数的性质对每个选项逐一判断即可.
【详解】当 时， ，
对于A，若 在区间 上为增函数，则 ，解得 ，故正确；对于B，若 在区间 上有两个零点，则 ，解得 ，故错误；
对于C，若 在区间 上有且仅有一个极大值，则 ，解得 ，故正确，
对于D，若 在区间 上有且仅有一个最大值，则 ，解得 ，故错误，
故选：AC
27．（2023·云南·校联考模拟预测）在如图所示的平面直角坐标系中，锐角 ， 的终边分别与单位圆交
于 ， 两点.则（ ）
A．若A点的横坐标为 ， 点的纵坐标为 ，则
B．
C．
D．以 ， ， 为三边构成的三角形的外接圆的面积为
【答案】AB
【分析】根据三角函数定义结合两角和的余弦公式可判断A；利用两角和的正弦公式结合正余弦函数的性
质可判断B，C；判断 ， ， 可构成三角形，并结合正余弦定理求得三角形外接圆面积
可判断D.
【详解】对于A，由已知得， ， ， ， 为锐角，则 ， ，则
，故A正确；对于B，∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，故B正确；
对于C，∵ ，
∴ ，故C错误；
对于D，同理 ，
结合B、C可知 ， ， ，可以作为三角形的三边；
设该三角形为 ，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，由余弦定理可得，
，
∴ ，
设外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 ，
∴ ，∴ ，故D错误，
故选：AB.
28．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入， 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，
后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割 ，余割 .已知函数 ，
给出下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 ；
B． 的最小正周期为 ；
C． 的值域为 ；
D． 图象的对称轴为直线 .
【答案】BC
【分析】由辅助角公式化一，再根据 ，即可求出函数的定义域，即可判断A；根据正弦函
数的周期性即可判断B；根据正弦函数的值域结合函数的定义域即可判断C；根据正弦函数的对称性即可
判断D.
【详解】 ，
由 ，得 ，
即 的定义域为 ，故A错误；
的定义域关于原点对称，
故 的最小正周期与函数 的最小正周期一致，均为 ，故B正确；
当 时， 的值分别为 ，
而函数 的值域为 ，
再结合周期性可知， 的值域为 ，故C正确；令 ，得 ，
即 图象的对称轴为直线 ，故D错误.
故选：BC.
29．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． 关于 轴对称
C． 关于 中心对称 D． 的值域为
【答案】AB
【分析】根据函数的周期性，对称性逐项检验即可判断ABC，利用正余弦函数的性质可判断D．
【详解】A中，因为 ，所以 ，
所以A正确；
B中，由A可得 ， ，所以
，所以可得 是函数的对称轴，所以B正确；
C中，因为 ，而 ，
所以对称轴为 ，所以C不正确；
D中，因为 ，所以 ，所以D不正确，
故选：AB．
30．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数 （ ， ），
若函数 的部分图象如图所示，则关于函数 下列结论正确的是（ ）A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】AC
【分析】根据函数图象，求解参数 ，代入 的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判
断各项正误.
【详解】由题意结合函数图象可得 ，解得 ，
故 ，
由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
对于A，因为 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故A正确；对于B，因为 ，
所以点 不是函数 的图象的对称中心，故B错误；
对于C，由 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，故D错误.
故选：AC.
31．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数 ，且 所有的
正零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，横坐标伸长到原来的
2倍得到函数 的图象，则下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B． 的图象关于点 对称
C． 在 上是增函数
D．当 时，函数 的值域是【答案】BD
【分析】化简可得 ，进而根据已知求出 ， .根据图象变换可
得 .求出 即可判断A项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B、C、D.
【详解】因为 .
由 可得， .
由已知可得， ，所以 ， .
将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，
可得 的图象，
横坐标伸长到原来的2倍得到函数的 的图象，所以 .
对于A项，因为 ，所以函数 不是偶函数，故A项错误；
对于B项，因为 ，所以 的图象关于点 对称，故B项正确；
对于C项，因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故C项错误；
对于D项，因为 ，所以 .因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以， ，故D项正确.
故选：BD.
32．（2023·云南·校联考三模）在平面直角坐标系 中，已知任意角 以坐标原点 为顶点， 轴的非负
半轴为始边，若终边经过点 ，且 ，定义 ，称“ ”为
“正余弦函数”.对于“正余弦函数 ”，下列结论中正确的是（ ）
A．将 图象向右平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称
B． 在区间 上的所有零点之和为
C． 在区间 上单调递减
D． 在区间 上有且仅有5个极大值点
【答案】ABC
【分析】根据三角函数的定义及“正余弦函数”的定义求出 的解析式，在根据正弦函数的性质一一
分析即可.
【详解】因为 ， ，
所以
，对于A：将 图象向右平移 个单位长度得到 ，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确；
对于B：令 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 或 或 或 ，
所以 在区间 上的所有零点之和为 ，故B正确；
对于C：由 ，所以 ，所以 在 上单调递减，故C正确；
对于D：由 ，则 ，令 ，解得 ，
所以 在区间 上的极大值点有 ， ， ， 共 个，故D错误；
故选：ABC
33．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）关于函数 ，下列说法正确
的是（ ）
A．函数 在 上最大值为 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递增 D．函数 的最小正周期为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，当 时， ， ， 最大值为2，A错误；
对于B，因为 ，则函数 的图象关于点 对称，B正确；对于C，当 时， ，函数 在 上不单调，则 在 上不单调，
C错误；
对于D，函数 的最小正周期 ，D正确.
故选：BD.
34．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数
是 的两个极值点，且 ，下
列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 上的单调递增区间为
C． 在 上存在两个不相等的根
D．若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】利用三角变换公式可得 ，根据 结合周期公式可求
，故可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，讨论 的单调性后可
判断C的正误，求出 在 上的值域后可求实数 的取值范围.
【详解】 ，
由 是 的两个极值点，且 得 的最小正周期 ，所以 ，解得 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以 ，
当 时， ，
而 在 单调递增，在 上为减函数，在 上增函数，
令 ，故 ； ，故 ；
故 在 上的增区间为 ， ，故B错误.
对于选项C：
当 时， ，令 ，故 ，
而 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
故 在 上存在两个不相等的根，故选项C正确；
对于选项D：因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
因为 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ，解得： ，故选项D正确.故选：ACD.
35．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边为 ，若
，且 ，则 的可能取值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】ACD
【分析】由面积公式及余弦定理求出 ，再由正、余弦定理将角化边，即可求出 ，再由正弦定理及三角
恒等变换公式将 转化为关于 的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得.
【详解】在锐角 中，由余弦定理及三角形面积定理得：
，
即有 ，而 ，则 ，
又 ，
由正弦定理、余弦定理得， ，化简得： ，
由正弦定理有： ，即 ， ，
又 是锐角三角形且 ，有 ， ，解得 ，
因此 ，
由 得： ， ，所以 ，
结合选项， 的可能取值为 ， ， .
故选：ACD
36．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）函数 的图像关于点 中心
对称，且在区间 内恰有三个极值点，则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 内有3个零点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．将 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出 的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.
【详解】因函数 的图象关于点 中心对称，
则 ，即 ，
当 时， ，依题意， ，解得 ，
因此 ， ，
对于A，当 时， ，
而正弦函数 在 上不单调，A不正确；对于B，当 时， ，
则 时 ，
即函数 在区间 内有3个零点，B正确；
对于C，因 ，
即直线 是曲线 的对称轴，C正确；
对于D， 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数 ，
因为 ，所以函数 不是奇函数，D不正确.
故选：BC
37．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知 为坐标原点，点 ， ，
，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积运算，结合和差角的余弦公式变形判断作答.
【详解】对于A， ，A正确；
对于B， ，
，，
因此 ，B正确；
对于C，由选项B知，C正确；
对于D， ，
显然 与 不恒等，即 不恒成立，D错误.
故选：ABC
38．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知函数 部分图像如下，它过
， 两点，将 的图像向右平移 个单位到 的图像，则下列关于 的成立是
（ ）
A．图像关于y轴对称
B．图像关于 中心对称
C．在 上单调递增
D．在 最小值为
【答案】BD
【分析】根据 的图像，求出 的解析式，然后根据平移求出 的解析式，即可判断A,B,C,D四
个选项.【详解】 ，且 ，
结合 的图像可得： ，
；
结合 的图像可得：
，
设 的周期为T，则由图可知： ，
故 .
，
，
所以 关于原点对称，A错，B对；
在 上单调递增，故C错；
， ,
, 最小值为 ，故D对；
故选：BD.
39．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在 ABC中，已知a＝2b，且 ，则
△
（ ）
A．a，c，b成等比数列
B．
C．若a＝4，则D．A，B，C成等差数列
【答案】ABC
【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得 ，再结合条件 ，再依次判断选项即可得
到答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，即 .
对选项A，因为 ，所以 、 、 成等比数列，故A正确；
对选项B，因为 ， ，即 ，所以 ，
即 ，故B正确；
对选项C，若 ，则 ， ，
则 ，
因为 ，所以 .
故 ，故C正确.
对选项D，若 、 、 成等差数列，则 .
又因为 ，则 .
因为 ，设 ， ， ， ，
则 ，故D错误.
故选：ABC40．（2023·广东潮州·统考模拟预测）设函数 ， 的最小正周期为 ，
且过点 ，则下列正确的有（ ）
A． 在 单调递减
B． 的一条对称轴为
C． 的周期为
D．把函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
【答案】AB
【分析】利用辅助角公式将函数化简，根据周期求出 ，再根据函数过点求出 ，即可得到函数解析式，
再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】根据辅助角公式得 ．
最小正周期为 ， ， ，即 ．
函数 过点 ， ，
，则 ．
当 时 ．即 ．
令 ，则 ，
当 时， 在 单调递减，故A正确．
令 ，则 ，
当 时， 的一条对称轴为 ，故B正确．
因为 为偶函数，所以 ，则 的周期为 且 ，故C错误．
函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为 ，
故D错误．
故选：AB．
第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）函数 的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间 上单调递减
C．将 的图象向左平移 个单位所得函数为奇函数
D．方程 在区间 内有4个根
【答案】BCD
【分析】观察图象可得函数 的周期，由此可求 ，再由 求参数 ，由此判断A，根据正弦函
数的单调性判断B，
结合三角函数图象变换结论和正弦函数性质判断C，解方程判断D.
【详解】由图可得： ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，又 ，
所以
故 ，所以A错误；
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递减，故B正确；
的图象向左平移 个单位所得函数为 ，该函数为奇函数，故C正确；
因为 ，所以 ，由 得：
或 或 或 ，
解得 或 或 或 ，
故有4个根，所以D正确.
故选：BCD.
42．（2023·河北·校联考三模）已知 ，则下列不等式成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到 ，进而得到 ，作差法得到 ，得到；再构造函数 ， 与 ， ，证明出 .
【详解】设 为锐角，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
由三角函数定义可知 ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
综上： ，A正确，B错误；
令 ， ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ，故 ，故 ，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有 ，
， ， ， 等.
43．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 图象的一条对称轴为直线
C．当 时， 在区间 上单调递增
D．存在实数 ，使得 在区间 上恰有2023个零点
【答案】BCD
【分析】化简 的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；
结合正弦函数的单调性可判断C；取 ，结合正弦函数的零点可判断D.
【详解】对于A， ，
故
，即 为 的一个周期，
说明 不是 的最小正周期，A错误；
对于B，
，故 图象的一条对称轴为直线 ，B正确；
对于C，当 时， ，则 ，
由于正弦函数 在 上单调递增，且 ，
故 在 上单调递增，且 ，
此时 ，
而 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，C正确；
对于D，由A可知即 为 的一个周期，且 的最小正周期为 ，
故 的最小正周期为 ，
当 时， ，
当 时， ，则在 上 的零点为 和 ，
故当 时，恰有 个零点，
且第 个零点为 ，
故当 时， 恰有 个零点，
即存在实数 ，使得 在区间 上恰有2023个零点，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了含 型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较
强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取
特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.
44．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知 的三个内角 所对边的长分别为 ，若 ，则下列正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 是 边上的一点，且 ， ，则 的面积的最大值为
C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 平分 交 点 ，且 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理和余弦定理变形求出 .对于A，将 化为关于 的三角函数，根据 的
范围可求出 的范围；对于B，根据 两边平方得到 ，利用基
本不等式得 ，再由面积公式可得 的面积的最大值；对于C，由锐角三角形得 ，由正
弦定理将 化为 的三角函数可求出 的范围；对于D，根据 ，得 ，再根据
基本不等式可得 的最小值.
【详解】由 及正弦定理得，
，得 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 .
对于A，，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 .故B正确；
对于C，因为三角形为锐角三角形，所以 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 平分 交 点 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，又 ，即 ， 时，等号成立.故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D中利用三角形的面积关系推出 是解题关键.
45．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 是以 为周期的函数
B．直线 是曲线 的对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．若函数 在区间 上恰有2023个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知 是以 为周期的函
数，所以根据求解 在区间 上的最大值即可判断选项C，利用 在区间 上的零点个数即可
判断选项D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 是以 为周期的函数，故A正确；
对于B，有 ，故B错误；
对于C，由A知只需考虑 在区间 上的最大值，
当 时，令 ，则 ，
易知 在区间 上单调递减，
所以 的最大值为 ，最小值为 ；
当 时，令 ，
则 ，
易知 在区间 上单调递增，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
综合可知：函数 的最大值为 ，最小值为 ，故C正确；
对于D，因为 是以 为周期的函数，
可以先研究函数 在区间 上的零点个数，易知 ，
当 时，令 ，解得 或1，
因为 ，则 ，
则 在区间 上无解，
在区间 上仅有一解 ，
当 时，令 ，解得 或1，
因为 ，则 ，
则 在区间 上无解，在区间 上也无解，
综合可知：函数 在区间 上有两个零点，分别为 和 ，
又因为 是以 为周期的函数，
所以若 ，则 在区间 上恰有 个零点，
又已知函数 在区间 上恰有2023个零点，
所以 ，故D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本
题的关键，属于中档题.
46．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知函数 在 上有最大
值，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 在区间 上有零点
C． 在区间 上单调递减 D．存在两个 ，使得
【答案】AC
【分析】结合正弦型函数图像和函数单调性、最值逐项分析.
【详解】A选项： 有最大值，又因为 ，所以 ，
要使 在 上有最大值，则 ，所以 的取值范围为 ；
B选项: ,因为 ，所以 ，无零点，即 在区间 上无
零点，错误；C选项: , , ,根据函数图像， 单调递减，即 在区
间 上单调递减，正确；
D选项： 即 ，即 ，
因为 当 函数图像单调递增， 单调递增，
与 函数图像无交点；
当 函数图像单调递减， 单调递增，
与 图像至多有一个交点，
故至多存在1个 ，使得 ，选项错误；
故选：AC
47．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设函数 其中 ， ．若 ，
，且相邻两个极值点之间的距离大于 ， ，设 ，则（ ）
A． B．
C． 在 上单调递减 D． 在 上存在唯一极值点
【答案】BC
【分析】根据题意求得 ，由 ，求得 ，得到 或
，当 时，求得 ，得到 ，进而得到 ，所以 不符合
题意，，求得 ，可判定A不正确；由 时，求得 ，进而可判定B正确；求得 ，结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D错误.
【详解】由函数 ，因为 且 ，
可得 ，可得 ，所以
因为相邻两个极值点之间的距离大于 ，可得 ，解得 ，
所以 ，可得 ，可得 或 ，
当 时， ，可得 ，
则 ，可得 ，即
因为 ，所以 ，所以 ，
可得 ，则 ，
因为 ，所以 不符合题意，（舍去），所以 ，所以A不正确；
当 时，可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以B正确；
由 ，可得 ，
所以 ，
其中 ，因为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
根据正弦函数的性质，可得 在 为单调递减函数，所以 在 上为单调递减函数，所以C正确；
由 ，可得 ，
因为 ，可得 且 ，
所以当 时，即 时，函数 取得极大值；
当 时，即 时，函数 取得极小值，
所以 在 上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.
故选：BC.
48．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知函数 的最小正周期 ， ，
且 在 处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若函数 在 上存在零点，则 的最小值为
D．函数 在 上一定存在零点
【答案】ACD
【分析】A选项，由 图象关于 对称结合 可判断选项；B选项，由最小正周期 ，
，且 在 处取得最大值可得 表达式；C选项，结合AB选项分析确定 表达式，验证即可；D选项，分 ， 两种情况分析零点即可.
【详解】A选项，因 在 处取得最大值，则 图象关于 对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期 ，则 ， ，
则 或 ，又 在 处取得最大值，
则 ，则 或 ，
其中 ，则 的最小值为 ，故B错误；
C选项，由AB选项分析结合 ，可知 时，
可取 ，令 ，
则 ，其中 .
当 时，不存在相应的 ，当 时， ，则存在 满足题意；
由AB选项分析结合 ，可知 时，
可取 ，令 ，
则 ，
当 时，不存在相应的 ，当 时， ，则存在 满足题意，综上可知 的最小值为 ，故C正确；
D选项，由C分析可知， 时，可取 ，
此时 ， ，存在零点；
时，可取 ，
此时 ， ，存在零点；
当 时， ，注意到 ，
则此时函数 在 上一定存在零点，
综上 在 上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三角函数的零点问
题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题.
49．（2023·浙江绍兴·统考二模）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 ，我们
听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是 ，记
， 则下列结论中正确的为（ ）
A． 在 上是增函数 B． 的最大值为
C． 的最小正周期为 D．
【答案】CD
【分析】对AB可利用导函数求函数的单调区间和最值；对C可用周期函数的定义去得到；
对D，可利用不等式 ，放缩得到.
【详解】对于AB选项：
设 ，则 ，
由 得 ，得 ， ,
由 得 ，得 ，
故 在 上不是单调递增，A错误，
函数 在 ， 时，取得最大值为 ，故B错误；
对于C选项：
因 的最小正周期为 ，故 的最小正周期 ，
所以 ，故 的最小正周期为 ，C正确；
对于D选项：
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，当 时， ，即当 时， ， 当 时， ，故 ，
，故D正确；
故选：CD.
50．（2023·山西阳泉·统考三模）设 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】由 ，得到 或 ，推出 ，判断AB；由 得到C正
确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为 中， ，所以 或 ，
当 时， ，由于 无意义，A错误；
当 时， ，
此时 ，故 ，B正确；
因为 ，所以 ，由大角对大边，得 ，C正确；
因为 ，所以 ，
即 ，
令 ， ，
则 ，所以 单调递减，
又 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
51．（2022·海南·校联考模拟预测）已知函数 ，满足
，且对任意 ，都有 ，当 取最小值时，则下列错误的是
（ ）
A． 图像的对称轴方程为
B． 在 上的值域为
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D． 在 上单调递减
【答案】ABC
【分析】根据题意 的图象关于点 对称，又当 时， 取得最小值，
当 取最小值时，即周期 最大，可得 ，所以 ，函数 在 时取得最小值，所
以 ．求得 ，再逐项分析判断即可得解.
【详解】因为 ，所以 的图象关于点 对称，又对任意 ，都有
，所以当 时， 取得最小值，
当 取最小值时，即周期 最大，可得 ．得 ，所以 ，
函数 在 时取得最小值，
所以 ．因为 ，所以 ．
即 ．
令 ，得 ．故A错误；
当 时， ．
此时 的值域为 ，故B错误；
将 的图象向左平移 个单位长度得到函数
的图象，故C错误；
当 时， ， 单调递减，故D正确．
故选：ABC
52．（2023·山西临汾·统考二模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 的最小正周期为
C． 的值域为
D． 的图象可以由函数 的图象，先向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到
【答案】ABD【分析】对于A：整理可得 ，结合正弦函数单调性分析判断；对于B、D：整理可得
，进而可求周期判断选项B，根据图形变换分析运算，可判断选项D；对于C：
，换元 ，可得 ，
构建 ， ，利用导数求其最值.
【详解】对于A：由题意可得： ，
∵ ，则 ，且 在 上单调递增，
∴ 在区间 上单调递增，故A正确；
对于B、D：由题意可得：
，
故 的最小正周期为 ，故B正确；
函数 的图象，先向左平移 个单位，得到
，
再向上平移 个单位，得到 ，故D正确；
对于C：由题意可得：
，
令 ，则 ，可得 ，
构建 ， ，则 ，
由于 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
显然 ，
故 在 上的值域为 ，
所以 的值域为 ，故C错误；
故选：ABD.
53．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B． 在区间 上单调递增
C．将函数 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位长度，可得函数 的图象
D．函数 的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数 的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函
数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数 的周期 ，则 ，而 ，
即有 ，由 知， ，因此 ，A正确；
显然 ，当 时， ，因此 单调递增，B正确；
将 图象上各点横坐标变为原来的 得 ，再将所得图象向右平移 个单位长度，得
，
而 ，C错误；
由 ，得 ，令 ，则 ，
令 ，显然当 时， ，即恒有 ，函数 在 上无零点，
当 时， ，令 ， ，
函数 在 上都递减，即有 在 上递减， ，
，因此存在 ， ，
当 时， ，当 时， ，有 在 上递增，在 递减，
， ，于是存在 ， ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上递减，在 递增， ， ，
从而函数 在 上存在唯一零点，而函数 周期为 ， 在 上单调递增，如图，
， ， ，
从而函数 在 上各有一个零点，又0是 的零点，即函数 在定义域上共有7
个零点，
所以函数 的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)
的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它
们的公共点个数.
54．（2023·辽宁沈阳·统考一模）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 ，我
们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 ，则
下列结论中正确的为（ ）
A． 在 上是增函数
B． 的最小正周期为C． 的最大值为
D．若 ，则 ．
【答案】ACD
【分析】由 在 上单调性判断A；根据周期的定义判断B；借助导数求出f(x)在
周期长的区间上的最大值判断C；由f(x)在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.
【详解】对A：∵ ，则 ，可得 在 上是增函数，
∴ 在 上是增函数，A正确；
对B：∵ ，
∴ 的最小正周期不是 ，B错误；
对C： ，则 为奇函数，
的最小正周期分别为 ，故 的最小正周期为
∵ ，
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 上的最大值为 ，
由 为奇函数可得： 在 上的最小值为 ，由周期函数可得： 的最大值为 ，最小值为 ，C正确；
对D：若 ，不妨设 为最大值点， 为最小值点，
则 ，故 ，
可得当 时， 取到最小值 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：根据正弦函数的周期性和奇偶性分析 的周期性和奇偶性，这与我们在处理问
题时，只需分析在 上单调性和最值即可.
55．（2023·山东菏泽·统考一模）已知函数 ，下列命题正确的有（ ）
A． 在区间 上有3个零点
B．要得到 的图象，可将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度
C． 的周期为 ，最大值为1
D． 的值域为
【答案】BC
【分析】 ，根据 的范围得出 的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后
的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得 ，即可判断C项；由已知可得，
，换元根据导函数求解 在 上的值域，即可
判断D项.【详解】对于A项，由已知可得， .
因为 ，所以 ，
当 或 时，即 或 时，有 ，
所以 在区间 上有2个零点，故A项错误；
对于B项，将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度得到函数
，故B项正确；
对于C项，由已知可得，
，
所以， 的周期 ，最大值为 ，故C项正确；
对于D项，
.
令 ， ， ，
则 .解 ，可得 .
解 ，可得 ，所以 在 上单调递增；
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
且 ， ，
， .
所以，当 时， 有最小值 ；当 时， 有最大值 .
所以， 的值域为 ，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：求出 .令 ， ，
.然后借助导函数求出 在 上的最值，即可得出函数的值域.
56．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数 ，其中 、
.则下列说法中正确的有（ ）.
A． 的最小值为
B． 的最大值为C．方程 在 上有三个解
D． 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】根据题意，可得 ，由 ，求解出 的
取值范围，根据对应范围内的函数解析式， 即可求出 的最值，进而判断A、B选项；令 ，
分 和 两种情况解方程，即可判断C选项；取 ，求出此时函
数 的单调区间，即可判断函数在 上的单调性，从而判断在 上的单调性，进而判断D
选项.
【详解】 ，
即 ，其中 ， ， .
由 ，即 ， ，
所以当 时， ，
即 ， ，所以当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ；
当 时， ，
即 ， ，
所以当 ，即 时， ，
由于 ，所以 无最小值.
综上所述， 的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确；
由 ，所以当 时， ，
即 ，
即 或 ， ，
所以 或 ， .
当 时， ，
即 ，
即 或 ， ，
所以 ， ，
综上所述，方程 在 上有三个解，故C正确；取 时， ，
令 ，即 ；
令 ，即 ；
由于 ，所以当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
即函数 在 上有增有减，则 在 上有增有减，故D错误.
故选：BC.
57．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知函数 ， ，则下列说
法正确的有（ ）
A． 是周期函数，且 是它的一个周期 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值为2 D． 在区间 上单调递减
【答案】ABD
【分析】A选项，判断 是否成立即可；
B选项，判断 是否成立即可；
C选项，先求 时 的解析式，并求此时 的最值，再利用 的周期性求解即可；
D选项，根据 时 的解析式，求 在 上的单调递减区间，然后利用 的周期性求解
即可.
【详解】A选项：因为，
所以 是周期函数，且 是它的一个周期，故A正确；
B选项：因为
，所以 的图象关于直线 对称，故B正确.
C选项：当 ，即 时， ，
易知 ，所以当 ，即 时， ，
因为 是 的一个周期，故当 时， ，C错误；
D选项：当 时，由C选项知， ，
令 ，得 ，
得 的单调递减区间为 .由 的周期性知，
即 为 的一个单调递减区间，故D正确.
故选：ABD
58．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下
列条件一定能够使 为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】利用余弦定理和题给条件即可得到 为等腰三角形，进而肯定选项A；利用余弦定理两角差
的正弦公式和题给条件即可得到 为等腰三角形或直角三角形，进而否定选项B；利用两角和与差的
余弦公式及题给条件即可得到 为等腰三角形，进而肯定选项C；利用正弦定理均值定理和题给条件
即可得到 为等腰三角形，进而肯定选项D.
【详解】选项A：由 ，可得
整理得 ，则 ，则 为等腰三角形.判断正确；
选项B：由
可得
则
整理得 ，即 或
则 为等腰三角形或直角三角形.判断错误；
选项C：由 ，可得
则 ，则
又 ，则 ，则 为等腰三角形.判断正确；
选项D：由 ，可得 ，
由 （当且仅当 时等号成立），可得
则 ，又 ，则 ，则 .判断正确.
故选：ACD
59．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数 .
如下四个命题
甲：该函数的最大值为 ；乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为 ；
丙：该函数图象关于 对称；
丁：该函数图像可以由 的图象平移得到.
有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数 B． 的值可唯一确定
C．函数 的极小值点为 D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，
由此求得函数 的解析式，故可求出 的表达式，判断A;求出 的值，可判断B;令令
，则 ，判断C; 当 时，求出 ，根据函数
的单调性，判断D.
【详解】由命题甲：该函数的最大值为 ，可得 ；
由命题乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 ；
由命题丁：由 ，可知 ， ；
所以命题乙和命题丁矛盾；
若假命题是乙，则 ，
由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为 ， ，
可得 ，故 ， ，不满足条件 ；
若假命题是丁，则 ，
由命题丙：该函数图象的一个对称中心为 ， ，可得 ，
可得 ， ， ，可得 ，所以假命题是丁，
故 ，
则 ，为偶函数，A正确；
由以上分析可知 ，故B正确；
令 ，则 ，
因此函数极小值点为 ，故C错误；
当 时， ，此时函数 单调递减，
故 在 时单调，故D正确；
故选： ．
60．（2022·重庆·统考模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已
成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐
步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人
曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，
不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其
中 ，动点P在 上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧 于点Q，且
，则下列说法正确的是（ ）图1 图2
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设 ，可得 ，由
，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函
数的性质，可判断C，D.
【详解】如图，作 ,分别以 为x,y轴建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，则 ,
由 可得 ，且 ，若 ，则 ，
解得 ，（负值舍去），故 ，A正确；
若 ，则 ， ，故B正确；
，
由于 ，故 ，故 ，故C错误；
由于 ，
故
，而 ，
故 ，故D正确，
故选：ABD
