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三角函数与解三角形创新题型突破
高考定位 三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现
在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他
知识的交汇命题.
【题型突破】
题型一 解三角形的新情境问题
例1 (2024·黑龙江二模)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.
“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测
量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木块，按图中数据，以“矩”量之，
若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 α
满足cos α＝，则这块四边形木板周长的最大值为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
训练1 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP
始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能
够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈 D已滑动到D′的位置，且A，
B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，
伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值
是________.题型二 三角函数的新定义问题
例2 已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋
h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(<ω<，|φ|<)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有
性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数f(x)具有性质 P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝
sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)
＝2π.
训练2 对于分别定义在D ，D 上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x ∈D ，
1 2 1 1
存在x ∈D ，使得f(x )＋g(x )＝k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x 称为
2 2 1 2 2
x 的像.
1
(1)若f(x)＝2sin，x∈R；
g(x)＝3cos，x∈R，
判断f(x)与g(x)是否具有关系M(－6)，并说明理由；
(2)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝3cos，x∈[0，π]，
且f(x)与g(x)具有关系M，
求x ＝的像；
1
(3)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝－2sin2x＋asin x＋2，x∈R，且f(x)与g(x)具有关系M(5)，求实数a的取值
范围.
题型三 三角与数列的交汇
例3 (2024·广州二模)已知正项数列{a }，{b }满足a ＝，b ＝(其中c>0).
n n n＋1 n＋1
(1)若a ≠b ，且a ＋b ≠2c，证明：数列{a －b }和{a ＋b －2c}均为等比数列；
1 1 1 1 n n n n(2)若a >b ，a ＋b ＝2c，以 a ，b ，c为三角形三边长构造序列△A B C (其中
1 1 1 1 n n n n n
A B ＝c，B C ＝a ，A C ＝b )，记△A B C 外接圆的面积为S ，证明：S >c2；
n n n n n n n n n n n n n
(3)在(2)的条件下证明：数列{S }是递减数列.
n
训练3 (2024·台州模拟)已知数列{a }满足a ＝，a ＝.
n 1 n＋1
(1)求a (只需写出数值，不需要证明)；
2 024
(2)若数列{a }的通项可以表示成a ＝－sin(ωn＋φ)的形式，求ω，φ.
n n
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛质检)数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的 n倍角公式，即
cos nx＝T (cos x)，T (x)＝1，T (x)＝x，T (x)＝2x2－1，T (x)＝4x3－3x，T (x)＝
n 0 1 2 3 4
8x4－8x2＋1，T (x)＝16x5－20x3＋5x，…，则cos218°＝( )
5
A. B.
C. D.
2.(2024·浙江二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、
余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切
函数cot θ＝，正割函数sec θ＝，余割函数csc θ＝，正矢函数versin θ＝1－cos
θ，余矢函数vercos θ＝1－sin θ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位
圆交于点P，A，B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直
x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M，N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴
的垂线分别交θ的终边于T，S，其中AM，PS，BS，NB为有向线段，下列表示
正确的是( )A.versin θ＝AM B.csc θ＝PS
C.cot θ＝BS D.sec θ＝NB
3.(2024·武汉调研)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，
三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这
九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，
C(2，2)，则△ABC的九点圆的半径为( )
A. B.
C. D.
4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种
理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三
个星体的位置如图所示.地球在E 位置时，测出∠SE M＝；行星M绕太阳运动一
0 0
周回到原来位置，地球运动到了E 位置，测出∠SE M＝，∠E SE ＝.若地球的轨
1 1 1 0
道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.7)(
)
A.2.1R B.2.2R
C.2.3R D.2.4R
5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼
的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟
楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 a ＝1.00 m，之后将小镜子前移a
1
＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 a ＝0.60 m，已知人
2
的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是( )A.27.75 m B.27.25 m
C.26.75 m D.26.25 m
二、填空题
6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西
北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一
条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为________ km.
三、解答题
7.数列{a }满足a ＝，a ∈，tan a ＝(n∈N*).
n 1 n n＋1
(1)证明：数列{tan2a }为等差数列，并求数列{tan a }的通项公式；
n n
(2)求正整数m，使得sin a ·sin a ·…·sin a ＝.
1 2 m
8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得
当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数
y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一
个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为
R的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T为周期的函数，则称h(x)为
正弦周期函数，且称T为其正弦周期.
(1)验证g(x)＝x＋cos 是以6π为周期的正弦周期函数.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cos x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周
期函数是否存在最小正周期，并说明理由.
(3)已知存在这样一个函数 f(x)，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且f(x)
是以T为周期的正弦周期函数.若f(0)＝－，f(T)＝，且存在x ∈(0，T)，使得f(x )
0 0
＝，求f(2T)的值.【解析版】
题型一 解三角形的新情境问题
例1 (2024·黑龙江二模)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.
“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测
量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木块，按图中数据，以“矩”量之，
若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 α
满足cos α＝，则这块四边形木板周长的最大值为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
答案 A
解析 因为四边形木板的一个内角α满足cos α＝，如图，
设∠BAD＝α，由题设可得圆的直径为＝5，
故BD＝5sin α，因cos α＝，α为三角形内角，故sin α＝，
故BD＝5×＝，
故AB2＋AD2－2AD·ABcos α＝BD2＝，
故(AB＋AD)2＝AD·AB＋≤＋，故AB＋AD≤＝，
当且仅当AB＝AD＝时等号成立，
同理BC＋CD≤，
当且仅当BC＝CD＝等号成立，
故四边形周长的最大值为 cm，故选A.
规律方法 解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中
在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.
训练1 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP
始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能
够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈 D已滑动到D′的位置，且A，
B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，
伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值
是________.
答案
解析 依题意分析可知，当伞完全张开时，
AD＝40－24＝16(cm)，
因为B为AD′的中点，
所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)，
当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，所以BD＝20(cm)，
在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝>0，
则∠BAD为锐角，
所以sin∠BAD＝＝＝，
所以sin ∠BAC＝sin (2∠BAD)
＝2sin∠BADcos∠BAD＝2××＝.
题型二 三角函数的新定义问题
例2 已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋
h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(<ω<，|φ|<)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有
性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数f(x)具有性质 P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝
sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)
＝2π.
(1)解 因为f(x)＝2x，
则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，
又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；
因为g(x)＝cos x，
则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cos x，
又g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cos x不具有性质P.
(2)解 若函数f(x)具有性质P，则f(0＋2π)＝f(0)＋f(2π)，即f(0)＝sin φ＝0，
因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin(ωx)；
所以必有f(2π)＝0成立，
即sin(2ωπ)＝0，因为<ω<，
所以3π<2ωπ<5π，
所以2ωπ＝4π，则ω＝2，此时f(x)＝sin 2x，
则f(x＋2π)＝sin 2(x＋2π)＝sin 2x，
则f(x)＋f(2π)＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x，
即有f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立，
所以存在ω＝2，φ＝0使函数f(x)具有性质P.
(3)证明 由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，
由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，
即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；
由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，
函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；
当k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，
这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2；当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，
此时函数g(x)的值域为[0，1]，
而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，
此时函数g(x)的值域为[－1，0]，
函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，
与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，
即f(2π)＝2π，命题得证.
规律方法 解决三角函数新定义问题的思路
(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；
(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；
(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.
训练2 对于分别定义在D ，D 上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x ∈D ，
1 2 1 1
存在x ∈D ，使得f(x )＋g(x )＝k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x 称为
2 2 1 2 2
x 的像.
1
(1)若f(x)＝2sin，x∈R；
g(x)＝3cos，x∈R，
判断f(x)与g(x)是否具有关系M(－6)，并说明理由；
(2)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝3cos，x∈[0，π]，
且f(x)与g(x)具有关系M，
求x ＝的像；
1
(3)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝－2sin2x＋asin x＋2，x∈R，且f(x)与g(x)具有关系M(5)，求实数a的取值
范围.
解 (1)f(x)与g(x)不具有关系M(－6)，理由如下：
x∈R时，f(x)＝2sin∈[－2，2]，
g(x)＝3cos∈[－3，3]，
所以f(x )＋g(x )∈[－5，5]，－6∉[－5，5]，
1 2
则f(x)与g(x)不具有关系M(－6).
(2)由题意可知f(x )＋g(x )＝
1 2
＝2sin＋3cos
＝＋3cos，
所以cos＝⇒3x ＋＝±＋2kπ，
2
又x ∈[0，π]，所以3x ＋∈，
2 2
解之得x ＝或或，
2
即x ＝的像为或或.
1
(3)对于x∈，
则2x＋∈，
所以f(x)＝2sin∈[－1，2]，
即∀x ∈，f(x )∈[－1，2]，
1 1
因为f(x)与g(x)具有关系M(5)，
所以要满足题意需∃x ∈R，
2使得[－1，2] 5－g(x )即可.
2
⊆
令5－g(x)＝2sin2x－asin x＋3(x∈R)，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
设h(t)＝2t2－at＋3(t∈[－1，1])，
①若≤－1，即a≤－4时，
h(t)∈[h(－1)，h(1)]＝[5＋a，5－a]，
则⇒a≤－6，
②若≥1，即a≥4时，h(t)∈[h(1)，h(－1)]＝[5－a，5＋a]，
则⇒a≥6，
③若－1<≤0，即－40).
n n n＋1 n＋1(1)若a ≠b ，且a ＋b ≠2c，证明：数列{a －b }和{a ＋b －2c}均为等比数列；
1 1 1 1 n n n n
(2)若a >b ，a ＋b ＝2c，以 a ，b ，c为三角形三边长构造序列△A B C (其中
1 1 1 1 n n n n n
A B ＝c，B C ＝a ，A C ＝b )，记△A B C 外接圆的面积为S ，证明：S >c2；
n n n n n n n n n n n n n
(3)在(2)的条件下证明：数列{S }是递减数列.
n
证明 (1)正项数列{a }，{b }，满足a ＝，b ＝，
n n n＋1 n＋1
两式相减可得a －b ＝－(a －b )，
n＋1 n＋1 n n
因为a ≠b ，所以a －b ≠0，所以{a －b }是以a －b 为首项，－为公比的等比
1 1 1 1 n n 1 1
数列，
由a ＝，b ＝两式相加可得
n＋1 n＋1
a ＋b ＝(a ＋b )＋c，
n＋1 n＋1 n n
即a ＋b －2c＝(a ＋b －2c)，
n＋1 n＋1 n n
因为a ＋b ≠2c，所以a ＋b －2c≠0，所以{a ＋b －2c}是以a ＋b －2c为首项，
1 1 1 1 n n 1 1
为公比的等比数列.
(2)因为a >b ，由(1)得{a －b }是等比数列，所以a －b ≠0，即a ≠b ，
1 1 n n n n n n
由(1)知，a ＋b －2c＝(a ＋b －2c)，
n＋1 n＋1 n n
因为a ＋b ＝2c，所以a ＋b －2c＝0，所以{a ＋b －2c}为常值数列0，故a ＋b
1 1 1 1 n n n n
＝2c，
由cos C ＝＝
n
＝＝
＝－≥－＝，
因为a ≠b ，所以等号不成立，
n n
故cos C >，因为C ∈(0，π)，所以C ∈，所以sin C <，
n n n n
由正弦定理得△A B C 外接圆的直径2r＝>＝，
n n n
所以r>，所以S ＝πr2>.
n
(3)由(1)可知，a －b ＝(a －b )，
n n 1 1
由(2)可知，a ＋b ＝2c，
n n
解得a ＝c＋，
n
b ＝c－，
n
所以a b ＝c2－
n n
＝c2－(a －b )2，
1 1
a b 随着n的增大而增大，又因为
n n
cos C ＝＝＝＝－1，
n
所以cos C 随着n的增大而减小，所以{cos C }是递减数列，
n n
因为C ∈，所以{sin C }是递增数列，是递减数列，
n n
所以数列{S }是递减数列.
n
规律方法 1.解答本题第(2)题的关键是利用第(1)题得到数列{a ＋b －2c}为常值
n n数列0，即a ＋b ＝2c，利用余弦定理及基本不等式得到cos C >，即sin C <，
n n n n
再由正弦定理得r>，即得S >c2.
n
2.解决三角函数与数列的交汇问题，一般要抓住一个主线，在解题过程中适时应
用另外一种知识涉及的定理、公式或性质.
训练3 (2024·台州模拟)已知数列{a }满足a ＝，a ＝.
n 1 n＋1
(1)求a (只需写出数值，不需要证明)；
2 024
(2)若数列{a }的通项可以表示成a ＝－sin(ωn＋φ)的形式，求ω，φ.
n n
解 (1)a ＝，a ＝2，a ＝－1，a ＝，a ＝2，…，
1 2 3 4 5
故数列{a }的周期为3，a ＝a ＝2.
n 2 024 2
(2)法一 由a ＝，a ＝2，
1 2
得
则
解得ω＝，φ＝.
法二 因为{a }的周期为3，所以ω＝，
n
又由a ＝，则－sin＋＝，
1
即sin＝0，
则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
因为－≤φ≤，解得φ＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛质检)数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的 n倍角公式，即cos nx＝T (cos x)，T (x)＝1，T (x)＝x，T (x)＝2x2－1，T (x)＝4x3－3x，T (x)＝
n 0 1 2 3 4
8x4－8x2＋1，T (x)＝16x5－20x3＋5x，…，则cos218°＝( )
5
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由cos nx＝T (cos x)，
n
得cos 90°＝cos(5×18°)＝T (cos 18°)
5
＝16cos518°－20cos318°＋5cos 18°，
即16cos518°－20cos318°＋5cos 18°＝0，
整理得16cos418°－20cos218°＋5＝0，
令t＝cos218°，则16t2－20t＋5＝0，
解得t＝，
因为18°<30°，所以cos 18°>，t＝cos218°>，所以t＝.
2.(2024·浙江二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、
余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切
函数cot θ＝，正割函数sec θ＝，余割函数csc θ＝，正矢函数versin θ＝1－cos
θ，余矢函数vercos θ＝1－sin θ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位
圆交于点P，A，B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直
x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M，N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴
的垂线分别交θ的终边于T，S，其中AM，PS，BS，NB为有向线段，下列表示
正确的是( )A.versin θ＝AM B.csc θ＝PS
C.cot θ＝BS D.sec θ＝NB
答案 C
解析 根据题意，易得△OMP∽△OAT∽△SBO∽△PNO，
对于A，因为1－cos θ＝1－OM＝MA，
即versin θ＝MA，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，
csc θ＝＝＝＝＝OS，故B错误；
对于C，cot θ＝＝＝BS，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得 sec θ＝＝＝＝＝OT，故
D错误.
3.(2024·武汉调研)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，
三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这
九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，
C(2，2)，则△ABC的九点圆的半径为( )
A. B.
C. D.
答案 D解析 AB的中点为D(1，2)，AC的中点为E(0，1)，BC的中点为F(3，3)，
所以△ABC 的九点圆是三角形 DEF 的外接圆，|DE|＝，|DF|＝，|EF|＝，
cos∠EDF＝＝－，
则∠EDF为钝角，
所以sin∠EDF＝＝，
设三角形DEF外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝＝＝，
所以R＝.
4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种
理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三
个星体的位置如图所示.地球在E 位置时，测出∠SE M＝；行星M绕太阳运动一
0 0
周回到原来位置，地球运动到了E 位置，测出∠SE M＝，∠E SE ＝.若地球的轨
1 1 1 0
道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.7)(
)
A.2.1R B.2.2R
C.2.3R D.2.4R
答案 A解析 连接E E ，
0 1
在△SE E 中，SE ＝SE ＝R，
0 1 0 1
又∠E SE ＝，
1 0
则△SE E 是正三角形，E E ＝R，
0 1 0 1
由∠SE M＝，∠SE M＝，
0 1
得∠E E M＝，∠E E M＝，
1 0 0 1
在△ME E 中，∠E ME ＝，由正弦定理得＝，则E M＝＝R，
0 1 0 1 1
在△SME 中，由余弦定理得
1
SM＝
＝≈R≈2.1R.
5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼
的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟
楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 a ＝1.00 m，之后将小镜子前移a
1
＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 a ＝0.60 m，已知人
2
的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是( )A.27.75 m B.27.25 m
C.26.75 m D.26.25 m
答案 D
解析 如图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE∽△PQE，
可得EQ＝＝，
由△NTF∽△PQF，
可得FQ＝＝，
故EQ－FQ＝－＝a，
故PQ＝＝＝＝26.25 m，故选D.
二、填空题
6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西
北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一
条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为________ km.答案 4＋4
解析 如图，设切点为P，连接OP.
由题意得∠MON＝135°，
设OM＝a km，ON＝b km，
在△OMN中，MN2＝a2＋b2－2abcos 135°＝a2＋b2＋ab≥(2＋)ab，当且仅当a＝b
时取等号.
设∠OMN＝α，则∠ONM＝45°－α，
所以a＝，b＝，
故 ab＝＝≥(当且仅当 α＝22.5°时取等号)，所以 MN2≥＝16(＋1)2，解得
MN≥4(＋1)，所以MN的最小值为(4＋4) km.
三、解答题
7.数列{a }满足a ＝，a ∈，tan a ＝(n∈N*).
n 1 n n＋1
(1)证明：数列{tan2a }为等差数列，并求数列{tan a }的通项公式；
n n
(2)求正整数m，使得sin a ·sin a ·…·sin a ＝.
1 2 m
(1)证明 由已知条件可知，由于cos a >0，
n
故a ∈，tan2a ＝＝＝1＋tan2a ，
n＋1 n＋1 n
则tan2a －tan2a ＝1，
n＋1 n故数列{tan2a }是以1为公差的等差数列，且首项为tan2a ＝tan2＝，
n 1
故tan2a ＝n－1＋＝，
n
即tan a ＝.
n
(2)解 sin a ·sin a ·…·sin a ＝tan a cos a ·tan a cos a ·…·tan a cos a
1 2 m 1 1 2 2 m m
＝··…·＝＝，
由＝，得m＝3 333.
8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得
当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数
y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一
个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为
R的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T为周期的函数，则称h(x)为
正弦周期函数，且称T为其正弦周期.
(1)验证g(x)＝x＋cos 是以6π为周期的正弦周期函数.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cos x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周
期函数是否存在最小正周期，并说明理由.
(3)已知存在这样一个函数 f(x)，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且f(x)
是以T为周期的正弦周期函数.若f(0)＝－，f(T)＝，且存在x ∈(0，T)，使得f(x )
0 0
＝，求f(2T)的值.
解 (1)sin[g(x＋6π)]＝sin
＝sin
＝sin
＝sin ＝sin [g(x)]，所以g(x)＝x＋cos 是以6π为周期的正弦周期函数.
(2)f(x)＝|sin x|－|cos x|，易知π是它的一个周期，
因为f(x＋π)＝|sin(x＋π)|－|cos(x＋π)|
＝|－sin x|－|－cos x|＝|sin x|－|cos x|＝f(x)，
下面证明π是f(x)的最小正周期，
x∈时，f(x)＝sin x－cos x单调递增，
x∈时，f(x)＝sin x＋cos x单调递减，
又f＝－＝|cos x|－|sin x|，
f＝－＝|cos x|－|－sin x|＝|cos x|－|sin x|，
所以f＝f，
即函数图象关于直线x＝对称，
所以当0
