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冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题六 函数与导函数（解析版）
第一部——高考真题练
1．（2023·全国·统考高考真题）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
3．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的
几何意义判断D.【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
第二部——基础模拟题
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数 和 的图像都是 上连续不
断的曲线，如果 ，当且仅当 时 ，那么下列情形可能出现的是（ ）A．1是 的极大值，也是 的极大值 B．1是 的极大值，也是 的极小值
C．1是 的极小值，也是 的极小值 D．1是 的极小值，也是 的极大值
【答案】ABC
【分析】由题意构造函数图象满足题干依次判定选项即可.
【详解】对于A选项，构造如图所示图象，则A选项正确；
对于B选项，构造如图所示图象，则B选项正确；
对于C选项，构造如图所示图象，则C选项正确；
对于D选项，因为1是 的极小值，则在1的附近存在 ，使得 ，
又1也是 的极大值，则在1的附近存在 ，使得 ，
所以在1的附近存在 与 ，使得 ，不合题意，故D错误.
故选：ABC.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知非零实数 ， ，则可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设函数 ， ， ，分情况 ， 讨论，构造函数求
导确定单调性，即可得取值情况，从而作出判断.
【详解】令 ， ， ，
①当 时，
设 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，所以 ；
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，所以
所以 ；
②当 时，
， ，而因为 ，所以 ，所以 ，
而 有两解，一正一负，因为 ，
而 ，有 ，所以 在 单调递增，所以 .
当 时， ，而 在 单调递增，所以 ，所以 ;
当 时， ，
综上，可能正确的是 ， .
故选：BC.8．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数 的图像为曲线 ，下列说法正确
的有（ ）．
A． 都有两个极值点
B． 都有三个零点
C． ，曲线 都有对称中心
D． ，使得曲线 有对称轴
【答案】AC
【分析】根据已知函数求导求出单调区间再求出极值点判断A选项，根据极值确定零点个数判断B选项，
根据导函数性质以及三次函数图象的性质可判断C,D选项.
【详解】 ，
，
单调递增； 单调递减；
都有两个极值点 ，故A选项正确；
因为当 时， ；当 时， ,
所以函数 至少有一个零点，
已知 极大值
极小值
当 ，即 时， ，
所以函数 与 x 轴仅有一个交点，
不满足 都有三个零点，故选项 B 错误；函数 是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数 对称中心
的横坐标，
是曲线 对称中心，故选项 C 正确，
由三次函数图象的性质知 ，曲线C没有对称轴，选项 D 错误．
故选：AC.
9．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数 ，对任意的 ，都有
，则（ ）
A．
B．函数 是奇函数
C．对 ，有
D．若 ，则
【答案】AB
【分析】对 代入特殊值，求出 的性质，最后运用构造法求出 的解析式，运用错位相减法求
和即可.
【详解】对于A，令 ，则有 ，
，正确；
对于B，因为 的定义域为 ，
因为对于 ， ，
当 时，令 ，则有 ，当 时， ，
所以 是奇函数，正确；
对于C，由B知，当 时， ，错误；
对于D， ，令 ， ，
则有 ， ，令 ，则 ，
， 是首项为1，公差为1的等差数列，
，即 ， ，
令 …①，
则 …②，
①-②得： ，
故 ，错误；
故选：AB.
10．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数 的定义域为 ， 是
奇函数， 的导函数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由题意可知4是 的一个周期，所以 ，即 可判断B；由，得 结合 ，可知4也是 的一个周期，由此求出
可判断C；取特值可判断AD.
【详解】因为 是奇函数，所以 ，且 ．
又 ，所以 ，
即 ．令 等价于 ，所以 ，
所以4是 的一个周期，所以 ，得 ，
即 ，故B正确．
由 ，得 ．又 ，
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，所以4也是 的一个周期，
所以 ，得 ，故C正确．
取 ，则 ，显然 是奇函数，符合题意．
此时 ，但 ，故A错误；
因为 ，所以 ，得 ，故D错误．
故选：BC.
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为
为奇函数，则（ ）
A．函数 的图象关于 对称B．函数 是周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的对称性可得 的图象关于 对称，结合函数变换可推出函数 是周期为 的
函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.
【详解】因为 为奇函数，则 ，所以 ，则函数 的图象
关于 对称，故A正确；
因为 ①， ②，
则①+②得： ，即 ③，
②-①得： ，即 ④，
由③得 代入④得 ，所以 ，则 ，则
函数 是周期为 的函数，故B正确；
由于 的图象关于 对称， 是周期为 的函数，无法确定是否关于点 对称，故C不正确；
将③代入①可得 ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
，累加得： ，故可得
，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
12．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足
，且 为奇函数， ， ．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数 的一个周期
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据 可得 即可确定周期求解选项A；根据 为奇函数，
可得 即可求解选项B；根据题设条件可得 即可求解选项C；利用函数
的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为 ，所以 ，即 ，
所以3是函数 的一个周期，A正确；
对B，因为 为奇函数，所以 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，B错误；
对C，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以函数 是偶函数，C正确；
对D， ，
所以 ，
所以
，D正确；
故选:ACD.
13．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意 ，都存
在正数M使得 总成立，则称函数 是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函
数”的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【分析】可求每个选项函数的值域，然后求出 的范围即可得出该函数是否为有界函数．
【详解】对于A： 的定义域为 , ，令 ，则 ，
， ，
不存在正数 ，使得 总成立， 不是有界函数；
对于B： 的定义域为 ，
，所以 ，
存在 ，使得 ， 是有界函数；
对于C： ，
，
存在 ，使得 ， 是有界函数；
对于D： ，
由于 时， 单调递增，此时 ，
故不存在正数 ，使得 总成立， 不是有界函数；
故选：BC．
14．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 （ ），则（ ）
A．若 ，则函数 在 上单调递增
B．若 在 上有最小值 ，则 在 上有最大值
C．过原点 有且仅有一条直线与 的图象相切D．若函数 存在大于1的极值点，则
【答案】BC
【分析】分 、 和 ， 两种情况可得函数 在 上单调递减可判断A；令
利用奇函数定义可得函数 是奇函数，根据奇函数的性质和最值情况可
判断B；利用导数求出切线方程，切线过点 得方程有且仅有一解可判断C；函数 有极值点得
有两个不同的根，设两根分别为 ， 可得 ，利用韦达定理分 ， 和 ，
两种情况可判断D.
【详解】对于A，当 ， 时，易知函数 在 上单调递增，当 ， 时，易知函数
在 上单调递减，A项不正确；
对于B，令 ， 关于原点对称， ，所
以函数 是奇函数，
若 在 上有最小值 ，则函数 在 上有最小值 ，
函数 在 上有最大值 ，所以 在 上有最大值 ，故B项正确；
对于C， ，设切点 ，则 ，
所以切线方程为 ，切线过点 ，得 ，该方程有且仅有一解，C项正确；
对于D，若函数 有极值点，则 有两个不同的根，则 ，
设两根分别为 ， ，则 ，若 ，则 ，当 ， 时， ，当 ，
时， ，D项不正确.
故选：BC.【点睛】思路点睛：结合导数与单调性、极值、最值的关系求三次的多项式函数的极值与最值
15．（2023·浙江·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为
奇函数， ， .下列说法正确的是（ ）
A．3是函数 的一个周期
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 是偶函数
D．
【答案】AC
【分析】根据已知可推得 ，即可得出A项；由 为奇函数，即可得出
函数的对称性；易知 ，结合 ，即可推得 ，得出C项；根
据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项.
【详解】对于A项，因为 ，所以 ，所以3是函数 的
一个周期，故A正确；
对于B项，因为， 为奇函数，所以 ，
所以，点 是函数 图象的对称中心，故B错误；
对于C项，因为， 为奇函数，所以 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以，函数 是偶函数，故C项正确；
对于D项，由C知，函数 是偶函数，所以 .
又3是函数 的一个周期，
所以 ， ， ，
所以， ，
所以， ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：根据已知条件，变换得出函数的关系式，进而得出函数的对称性、奇偶性以及周期性.
然后根据奇偶性以及周期性求值，即可得出答案.
16．（2023·广东东莞·校考三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 . ，
，当 时， ， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 为偶函数
C． D．不等式 的解集为
【答案】BCD
【分析】A.由 得到 判断；B.由 得到 ，
再结合 判断；C.由 得到 再结合 判断；D.由为偶函数且 得到 是周期函数，且周期为8，再结合当 时， ，
可知 在 单调递减，画出 的大致图象，利用数形结合法求解.
【详解】由 可得 ，故可知 的图象关于 对称，故A错误，
由 得 ，由 得 ，故 为偶函数，故B正
确，
由 可得 ，所以 ，又 为偶函数，所以
，即 ，故C正确，
由 为偶函数且 可得 ，所以 是周期函
数，且周期为8，又当 时， ，可知 在 单调递减
故结合 的性质可画出符合条件的 的大致图象：
由性质结合图可知：当 ， 时， ，故D正确，
故选：BCD
17．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知 ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.
【详解】对于A，由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，A正确；
对于B，由 ，得 且 ，
令 ，则 ， 解得 ， 解得 ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，B正确；
对于C，当 时，满足 ， ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：ABD.
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知函数 的定义域为 的导函数 的图象
关于 中心对称，且函数 在 上单调递增，若 且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得函数 的图象对称轴，结合给定等式探求出正数a，b的关系，再逐项分
析判断作答.
【详解】因为函数 的图象关于 中心对称，则有 ， ，
而 ，即 ， ，
，令 ， 为常数，当 时， ，
因此 ， ，即函数 的图象关于直线 对称，又函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，A正确；
而 ，即有 ， ，
因此 ，B错误；
显然 ，即 ，则 ，因此 ，C正确；
，D正确.
故选：ACD
19．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则函数 图象在 处的切线方程为
B．若 ，则函数 是奇函数
C．若 ，则函数 存在最小值
D．若函数 存在极值，则实数 的取值范围是
【答案】BC
【分析】对于A：根据导数的几何意义求出切线方程可知A正确；对于B：根据偶函数的定义判断可知B
错误；对于C：利用导数得 在 上为单调递减函数，可知C错误；对于D：根据 有零点，求
出 的范围，可知D正确.
【详解】对于A： ， ； ， ，
所以切线方程为 ，所以A正确.
对于B：函数的定义域是 ，若 ，则 ，
所以，
所以 是偶函数，所以B错误.
对于C： 时， ，
则 ，所以 在 上为单调递减函数，无最小值，所以C错误.
对于D： ，若函数 存在极值，
则 有零点，令 ，即 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，解得： ，故D正确.
故选：BC.
20．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数 对 都有 ，若
函数 的图象关于直线 对称，且对 ，当 时，都有
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是偶函数
C． 是周期为4的周期函数 D．
【答案】ABC
【分析】由图象的平移可得 是偶函数，从而判断B；对 都有 ，取 ，
可求得 ，从而判断A；
进而得到 恒成立，从而判断C；再由已知可得 在 上单调递增，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D.
【详解】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，故 是偶函数， B正确；
因为函数 对 都有 ，
所以取 ，可得 ，
又 是偶函数，所以 ，从而可得 ， A正确；
由 ，知 ，故 是周期为4的周期函数，C正确；
因为 是偶函数，且是周期为4的周期函数，所以 ，
，
又对 ，当 时，都有 ，
所以 在 上单调递增， ，
即 ， D错误.
故选：ABC.
21．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A：因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故A正确；对于B：因为 ， ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故B错误；
对于C：因为 ， ， ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D：因为 ， ， ，所以 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 的定义域都为 为奇函数，且
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】对A，根据令 结合 为奇函数推导即可；对B，根据 结合 为奇函数，
再令 推导即可；对C，求出 判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得 ，进
而判断即可.
【详解】对A，由 ，令 可得 ，又 为奇函数，故 ，
，故A错误；
对B，由 及 可得 ，又 为奇函数，则 ，令 则 ，
故 .故B正确；
对C，由 及 可得 ，当 时 不成立，故C错误；
对D，由AB可得 且 周期为2，故 ，故 ，故D正确；
故选：BD
23．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 ，实数 ， 满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题目给出的等式 ，代入函数解析式得到 、 的关系，从而判断出
的符号，再把 ，转化为含有一个字母的式子即可求解．
【详解】∵ ，∴ ，
∴ 或 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，故A不正确，B正确；
又由 有意义知 ，从而 ，
于是 .所以 .
从而 .
又 ，所以 ，
故 .
解得 或 （舍去）.
把 代入 解得 .
所以 ， ，故C正确，D不正确.
故选：BC.
24．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数 满足 ，且
在 上是增函数，则（ ）
A． 关于 对称 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D选项，结合单调性得出C选项.
【详解】 为偶函数，
所以 ，所以 ，
所以 关于点 对称，A错误；又 ，所以 ，B正确；
因为 在 上是增函数，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，而 的值不确定，故D错误.
故选:BC．
25．（2023·河北·校联考一模）设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，当 时，
，若方程 在 上恰有 个实数解，则（ ）
A． 的周期为4 B． 在 上单调递减
C． 的值域为 D．
【答案】AD
【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A、B，结合所给函数解析式求出函数的值域，即
可判断C，画出函数 与 的图象，数形结合，即可判断D.
【详解】由 的图象关于 对称可得 ，
再由 为偶函数可得 ，故 ，即 的周期为4，即A正确；
当 时，由 ，可得 在 上单调递增，故 在 上单调递增，即B错误；
又 ， ，故 的值域为 ，即C错误；
在同一坐标系下画出函数 与 的图象如图所示.由图可知，要使 与 在 上恰有 个不同交点，
只需 ，即 ，解得 ，即 的取值范围为 ，故D正确.
故选：AD
26．（2023·河北·校联考一模）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，构造函数 ，求导探讨单调性，利用函数单调性逐项比较判
断作答.
【详解】令函数 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，当且仅当 时取等号，
因此当 且 时，恒有 ，则 ，A错误；
显然有 ，则 ，即有 ，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.27．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
【答案】BC
【分析】求出函数的导函数，求出 ，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ，
而 ，所以 在 上单调递增，故B正确；
当 时 ，所以 的单调递减区间为 ，
所以 的极小值为 ，故C正确；
在 上单调递减，所以最小值为 ，故D错误；
故选：BC
28．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有
完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829
年给出了著名函数： （其中 为有理数集， 为无理数集），后来人们称之为狄利克雷
函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始
展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为 （其中 且 ），则下列说法正确的是（ ）
A． 都有
B．函数 和 均不存在最小正周期
C．函数 和 均为偶函数
D．存在三点 在 图像上，使得 为正三角形，且这样的三角形有无数个
【答案】BCD
【分析】根据狄利克雷函数与广义狄利克雷函数的定义，结合函数值、周期性、奇偶性等逐项判断即可得
答案.
【详解】对于A，由于 （其中 且 ），当 为无理数时，
，故A不正确；
对于B，设 为非零的有理数，若 是有理数，则 也是有理数； 若 是无理数，则 也是无理数，
根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 ，所以 对 恒成立， 对
恒成立，即数 和 均为周期函数，但不存在最小正周期，故B正确；
对于C， ，则 ，所以为偶函数，又 ，所以 为偶
函数，故C正确；
对于D，取 ，则 为等边三角形，将这个三角形左右平形移动，即只
需要三角形的高为 ，边长为 的三角形均可以，所以这样的三角形有无数个，故D正确.
故选：BCD.29．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数 ， ，有下列结论，正确的是（ ）
A．任意的 ，等式 恒成立
B．任意的 ，方程 有两个不等实根
C．任意的 ， ，若 ，则一定有
D．存在无数个实数 ，使得函数 在 上有 个零点．
【答案】ACD
【分析】计算判断A；举例说明判断B；探讨函数单调性判断C；由函数零点的意义分析判断D作答.
【详解】函数 ， ，
对于A， ， ，A正确；
对于B，当 时，由 ，得 ，解得 ，即方程只有1个实根，B错误；
对于C，当 时， ，即函数 在 上单调递减，
由选项A知，函数 是 上的奇函数，则 在 上单调递减，
因此函数 是 上的减函数， ， ，则一定有 ，C正确；
对于D， ，则有 或 ，即0是 的零点，
当 时， ，则 ，当 时， 或 ，
因此当 ，函数 有3个零点，D正确.
故选：ACD
30．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为和 ，若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是
（ ）
A． B． 为偶函数
C． 的图象关于点 对称 D． 的一个周期为
【答案】BCD
【分析】由 ，可设 ，（ 、 为常数），再根据所给条件推出 ，
即可得到 ，从而判断A，即可得到 ，在两边求导，即可判断C，根据
为奇函数，得到 求导，即可判断B，最后推出 的周期性，即可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，（ 、 为常数），
又因为 ，所以 ，
即 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
所以 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，故C正确；
因为 为奇函数，所以 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 为偶函数，故B正确；
因为 ，且 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 的一个周期为 ，又 ，
所以 ，
所以 的一个周期为 ，故D正确；
故选：BCD
31．（2023·广东汕头·统考三模）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 上是减函数
C． 为奇函数
D．方程 仅有6个实数解
【答案】ACD
【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，推出函数 的一个周期为 、 的图象关于点
对称、关于直线 对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出 与
的大致图象，结合图像可判断D正确.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即函数 的一个周期为 .在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
又 ，所以 ，故A正确；
因为 在区间 上是增函数，且 的一个周期为 ，
所以 在 上单调递增，在 上不为减函数.故B错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 为奇函数，故C正确；
因为 为奇函数，所以 的图象关于点 对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
又当 时， ，
作出 与 的大致图象，如图所示.
其中 单调递减且 ，所以两函数图象有6个交点，
故方程 仅有6个实数解，故D正确.
故选：ACD.
32．（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项
C：分析可得 ，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ，故A错误；
对于选项B： ，
因为a＞b＞0，则 ，即 ，且 ，
所以 ，即 ，故B正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且 ，
可得 同号，则有：
若 同正，可得 ，
则 ，可得 ；
若 同负，可得 ，
则 ，可得 ；
综上所述： ，
又因为 在定义域内单调递减，所以 ，故C正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则 ，
可得 在 内单调递增，可得 ，
且 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD.33．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数 定义域为 ， 是奇函
数， ，函数 在 上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．函数 在 上递减
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据 是奇函数判断A，再判断 即可得到 的图象关于直线 对称，
从而判断B、C，根据对称性得到 ，即可判断D.
【详解】对于A，因为 是奇函数，所以 ，故A错误；
因为 是奇函数，所以 的图象关于点 对称，即有 ，
所以 ，所以 的图象关于直线
对称，
函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故B正确；
因为 ，所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，且 ，由函数 的图象关于直线 对称，得 ，解得
，故C正确.
故选：BCD.
34．（2023·江苏盐城·统考三模）设函数 为 上的奇函数， 为 的导函数，
， ，则下列说法中一定正确的有（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由 为 上的奇函数， ， 可得 的性质，可判断A，
B；对 ， 求导可得导函数 的性质，即可判断C，D.
【详解】因为函数 为 上的奇函数，所以 ，因为 ，
，所以当 得 ，所以 ，故A正确；
又 ，可得 ，则
，
所以函数 关于直线 对称，故 的值无法确定，故B不正确；
因为 ，则 ①，所以 关于 轴对称，
又 ，所以 ，即 ，所以
关于点 对称，则 ②，
由①②得 ，所以 ，则 ，
故 的周期为6，由②可得 ，即 ，所以 ，故C正确；
由②得 ，所以 ，则
，
故D正确.
故选：ACD.
35．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 的定义域均为
.若 时 ，且 时 ，
则（ ）
A． B．函数 的图像关于点 对称
C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件先求出 ，再根据 求值判断A，结合已知 ，
然后利用对称中心的概念判断B，根据数列知识及函数性质求出函数值的和即可判断C、D.
【详解】因为 时 ，
所以 ，
又 时 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
故选项A正确；
由 得 ，
由 知 是奇函数，所以 ，上面两个式子相加得 ，所以 关于 对称，所以 错误；
，故选项 错误；
由 得
，
所以 正确.
故选：AD
36．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为
B．
C．若函数 的图象与 的图象关于坐标原点对称，则
D． 有唯一零点
【答案】ABD
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算 即可判断B；利用对称关系求出解析式判
断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.
【详解】对于A，函数 ，求导得 ，有 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 ，A正确；
对于B，函数 ，有 ，
而 ，所以 ，B正确；对于C，函数 ，函数 的图象与 的图象关于坐标原点对称，
所以 ，C错误；
对于D，函数 的定义域为R，求导得 ，令 ，
，当 时 ，当 时， ，则函数 在 上递增，在 上递
减，
于是 ，函数 在 上单调递增，而 ，
由零点存在性定理知 在 内存在唯一零点，所以 有唯一零点，D正确.
故选：ABD
37．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的定义域为R
B． 一定存在最小值
C． 的图象关于直线 对称
D．当 时， 的值域为R
【答案】AC
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若 ，则 ，则二次函数 的图象恒在 轴的上方，
即 恒成立，所以 的定义域为R，故A正确；
对于B：若 ，则 的定义域为 ，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数 为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图象，
此时对称轴为直线 ，故C正确；
对于D：若 ，则 ，故 的值域不是R，故D错误.
故选：AC
38．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数 则（ ）
A． 没有极值点
B．当 时，函数 图像与直线y＝m有三个公共点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】CD
【分析】证明函数 为奇函数即可判断C，由导数判断函数的单调性，得到函数 的大致图像，即
可判断AB，然后根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】因为 ， 时，
，所以 为奇函数，则 关于点 对称，故选项C正确；
当 时， ，令 ，解得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ，又 为奇函数，
画出 的大致图像，由图知选项A错误，选项B错误；
假设 是曲线 的切线，设切点为 ，则 ，解得
，或 ；
当 时，直线 是曲线 的切线，故选项D正确．
故选：CD．
39．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有两个零点
C． 恒成立 D． 恒成立
【答案】AD
【分析】求函数 的导函数 ，设 ，利用导数研究 的单调性，最值，判断C，再
确定 的极值判断A，利用证明 由此判断BD.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 ，即 在 上单调递减，当 时， ，函数 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以C错误；
又 ，所以存在 ，使得 ，又 ，
所以当 ， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取极大值，当 时，函数 取极小值，
所以函数 有两个极值点，故A正确；
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， ，当且仅当 时取等号，
所以函数 只有一个零点， 恒成立，B错误；D正确；
故选：AD．
40．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 为奇函数B．当 时， 或1
C．若函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为
D．若函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A；解方程即可判断选项B；根据参数 是否为零，分别讨论即可
判断选项C；根据函数的奇偶性和已知条件列出不等式组即可判断选项D.
【详解】对于选项 ，由 ，可知函数 为奇函数，故 选项正确；
对于选项 ，由 ，解得 或 ，故B选项正确；
对于选项 ，由 ，有 ，当 时，函数 仅有一个零点0，当 时，必
有 ，有 ，可得 ，故C选项错误；
对于选项D，由 ，可知满足题意只需
当 时， ，有 ，即 ，
所以 ，由 ，有 ，
则 ，可知当 时， 和 恒成立，
，有 .故D选项正确.
故选：ABD.第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
A． 有最大值
B．
C．若 时， 恒成立，则
D．设 为两个不相等的正数，且 ，则
【答案】ACD
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利
用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有最大值 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，
则 ，
所以 ，故B错误；对于选项C：构建 ，则 ，
因为 ，且当 时， 恒成立，
则 ，解得 ，
若 ，则 当 时恒成立，
则 在 上单调递减，则 ，符合题意
综上所述： 符合题意，故C正确；
对于选项D：因为 ，
整理得 ，即 ，
由选项A可知：函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当x趋近于0时， 趋近于0，且令 ，解得 ，
不妨设 ，
构建 ，
因为 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，
注意到 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
42．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在 上的函数 ，其导函数分别为
，若 ， ，则（ ）
A． 是奇函数
B． 关于 对称
C． 周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件 ，即得结果.对于选项B，由题意可推导出 为偶函数， 为奇函数，所以 ，即 即可证明；对于选项
C，由 关于 对称和 关于 对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论
和已知条件 ，由等差数列的前 项和即得结果.
【详解】因为 可得为 偶函数，所以 ，则 为奇函数，故A正确；
因为 ， 偶函数， 时偶函数，
所以 为偶函数，所以 关于 对称，
因为 ， 为奇函数， 为奇函数，
所以 为奇函数， 关于 对称，
，
则 其中 为常数，又 故 ，有 关于 对称，B正确；
令 等价于 ， ，所以 ，
因为 关于 对称，所以 ，
所以令 等价于 ，所以 ，所以 ，
故可看成数列 ，
而因为 关于 对称，所以 ， ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列，
是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 没有周期性，故C不正确；，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数
有关的函数性质，有如下结论：
①若 连续且可导，那么若 为奇函数，则 为偶函数；若 为偶函数，则 为奇函数；
②若 连续且可导，那么若 关于 对称，则 关于点 对称；若 关于 对
称，则 关于 对称.
43．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）定义在R上的函数 ， 的导函数为 ，
， 是偶函数.已知 ， ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 图象的对称轴是直线
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用题中条件解出 ，利用奇函数得定义即可；
对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到 ，从而判定出 的对称轴；
对于C,对题中得两个条件进行变化，对 进行赋值，即可；
对于D,证明 的性质，从而得到结论.
【详解】 , ，，又
为奇函数，故A正确.
是偶函数， ，
则
又 ，则 ，
所以 ，则
则 ， ，
故 的图象关于 对称，故B正确.
因为 ，所以 ，
令 得， ，
又 ，令 ，
得 = ，故C正确.
， ，
又 ， 是奇函数，
， 是奇函数，
则 ， ，
则 ， ，
故 ，D错误.
故选：ABC.44．（2023·河北·校联考三模）已知 ，则下列不等式成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到 ，进而得到 ，作差法得到 ，得到
；再构造函数 ， 与 ， ，证明出 .
【详解】设 为锐角，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
由三角函数定义可知 ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
综上： ，A正确，B错误；
令 ， ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ，故 ，
故 ，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有 ，
， ， ， 等.
45．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）对于函数 和 ，设
，若存在 ，使得 ，则称 与 互为“零点相邻函
数”.若函数 与 互为“零点相邻函数”，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据零点的定义求函数 的零点 ，由定义可得函数 的零点 的范围，结合函数解析式，
转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.
【详解】由题意，可得 ， ，
易知 ，则 ， ，
则 在 有解，求导得： ，令 ，解得 ，可得下表：
极大值
则当 时， 取得最大值为 ，
，
则 的取值范围为 ，
设 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 的值可以是 ， ， .
故选：BCD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现
象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万
变才是制胜法宝.
46．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的
两条切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】设切点坐标为 ，则有 ，所以问题转化为方程
恰有两个解，令 ，然后利用导数求解其零点即可.
【详解】由 ，得 ，
设切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以有 ，
整理可得： ，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 ，
，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
①当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以只要 或 ，即 或 ；
②当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， 函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，
所以只要 或 ，由 可得： ，由 得 ；
③当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当 时， 或 ；
当 时， 或 ，
所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB
【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程 恰
有两个解，构造函数 ，再次将问题转化为此函数有两个零点，然
后利用导数通过分析其单调性可求得结果.
47．（2023·山东泰安·统考模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，函数
的图象关于 对称，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 是 的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【分析】由函数 的图象关于 对称，可得 ，即可判断A；先求出 最小
正周期为 ，再推出由 可判断B；令 ，求出 可判断C；求出
，可判断D.
【详解】对于A，由函数 的图象关于 对称，可推得 ，令 等价于 ，则 ， 的图象关于 对称，所以A正确.
对于B，令 由 ， ，
所以， ，所以 关于 对称.
由 ，所以 ，
所以， ，所以， 关于 对称.
令 等价于 ，则 ，
又因为 ，所以
令 等价于 ，
所以 ，
所以可得出 最小正周期为 .
， ，所以 不是 的周期，所以B错误.
对于C，令 ，则 ，所以，所以C正确.
对于D，因为 图象关于 对称，所以 ，
因为 ， ，因为 最小正周期为 ，
所以 ，所以 ，
，
有 ，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：令 是解题的关键，通过研究 的对称性和周期性得到 的性质，
即可求解.48．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）若 是函数 （ 为自然
对数的底数）图象上的任意两点，且函数 在点 和点 处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． 最小值为1
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】ACD
【分析】先分段求导，利用导数的几何意义得出 ，通过构造新函数，利用导数的正负求得函数的单
调性，再利用单调性求出最值即可.
【详解】当 时， ，当 时， .
因为函数 在点 和点 处的切线互相垂直，所以 ，
即 .可得 .
因为 ，可得 .故A正确.
由 ，设 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，所以 在 上无最小值.故B错误.
由 ，设 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，所以 在 上有最小值 .故C正确.
由 ，设 ， ，当 时， ， 在 上单调递增，
所以 在 上有最大值 ,故D正确.
故选:ACD
49．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 在 上存在唯一极值点
B． 为函数 的导函数，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为
D．若 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A：利用导数推出 在 单调递增，可得A错误；对于B：利用导数研究函数
的性质，得其图象，根据函数 的图象与直线 有两个交点，可得B正确；对于C：
根据 在 单调递增，将不等式化为 恒成立，右边构造函数求出最大值，可得C正确；
对于D：根据 以及指对同构得 ，将 化为 ，再求导可求出最大值，
可得D正确.
【详解】对于A： ，令 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 单调递增，在 单调递减，故 ，故 在 单调递增，函数 在 上无极值点，故A错误；
对于B： ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，即 ，
又 时， ，作出函数 的图象，如图：
若函数 有两个零点，得 有两个实根，得函数 的图象与直线 有两
个交点，
由图可知， ，故B正确；
对于C：由B得： 在 上恒成立，则 在 单调递增，则不等式 恒
成立，等价于 恒成立，故 ，
设 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ，则实数 的最小值为 ，故C正确；
对于D：若 ，则 ，即 ，
∵ ，∴ ， ， ，
由A知， 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
设 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，此时 ，
故 的最大值是 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ，总有 成立，故 ；
（2）若 ，总有 成立，故 ；
（3）若 ，使得 成立，故 ；
（4）若 ，使得 ，故 .
50．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数 有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的取值与 无关 D． 的最小值为10
【答案】AD
【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线 与函数 交
点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.
【详解】令 ，可得：
当 时，即 ，可得 ；
当 时，即 ，可得 ， ；
当 时，即 ，可得 ， .
原函数的4个零点可表示为直线 与函数 交点的横坐标，
对于选项A、C：如图所示， 是方程 的两个解，
根据韦达定理可得： ，即可知选项A成立，选项C不成立；
对于选项B：因为 ，结合图象可得 ，即可知选项B不成立；
对于选项D：其中 ，
则有 ，当且仅当 时， 成立，
综上所述： 的最小值为10，选项D成立.故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
51．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）若 为函数 的导函数，数列 满足
，则称 为“牛顿数列”.已知函数 ，数列 为“牛顿数列”，其中
，则（ ）
A．
B．数列 是单调递减数列
C．
D．关于 的不等式 的解有无限个
【答案】BCD
【分析】对函数求导，得出数列递推关系，构造等比数列，求出通项，根据数列的函数性质及不等式证明
逐一判断各选项.
【详解】对于A，由 得 ，所以 ，故A错误；对于B，由 得 ， ，所
以 ，数列 是单调递减数列，故B正确；
对于C， ， ，由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以数列 是公比为2的等比数列，又 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，即 .
对于C，，
下面用数学归纳法证明： .
当 时， ，命题成立；
假设当 时，命题成立，即 ；
当 时，即 ，
，命题成立；
所以 命题成立；
综上 成立.对于D， ，因为 ，
所以 ，即 ， ，所以不等式的解有无限个,故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由 和 ，构造等比数列 ，考
查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于偏难题目.
52．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知 是周期为4的奇函数，且当 时，
.设 ，则（ ）
A．函数 是奇函数也是周期函数
B．函数 的最大值为1
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 的图象有对称中心也有对称轴
【答案】BCD
【分析】根据判断 判断奇函数， 判断周期性，求出 在 的解析式，根据图
象平移写出 在 上解析式并判断奇偶性，进而可得 解析式，结合周期性判断B、C，最后
利用 、 判断D.
【详解】由 ，
令 ，则 ，故 ；
令 ，则 ，故 ；所以 ，
综上，一个周期内 ，
由 ，
而 ，故 不是奇函数，但周期为4，A错；
所以， 是将 图象右移一个单位，故在一个周期 图象如下：
由图象平移知： ，且 为偶函数，
所以 ，故 的最大值为1，B对；
由周期性知： 在 上单调性同区间 ，即单调递减，C对；
由 ，
由 ，
注意：根据周期性有 、 ，
综上， 关于 中心对称、关于 轴对称，D对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用 奇函数、周期性判断 的奇偶性、周期性，再应用奇偶性求 解析式，
结合图象写出 解析式，最后求出 在一个周期内的解析式关键.53．（2023·广东广州·统考模拟预测）函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数 在 上为减函数，则
B．若函数 的对称中心为 ，则
C．当 时，若 有三个根 ，且 ，则
D．当 时，若过点 可作曲线 的三条切线，则
【答案】ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到 ，B错误，求导得到函数的单
调区间，确定 ， ，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到
，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A： ， ，
函数在 上为减函数，则 ，解得 ，正确；
对选项B：函数 的对称中心为 ，则 ， ，错误；
对选项C： ， ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；， ， ，故 ， ，
要证 ，即 ，
整理得到 ， ，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为 ，则 ， ，
则切线方程为 ，
将 代入上式，整理得 ，方程有三个不同解，
设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
极小值 ，极大值 ，故 ，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生
的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键.
54．（2023·广东广州·统考三模）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ．若
， ，且 为奇函数，则（ ）．
A． ， B．
C． D．
【答案】AC【分析】由 为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明 为周期为 的函数，利用组合
求和法求 判断C，根据条件证明 ，由此判断BD.
【详解】对A，又∵ 为奇函数，
则 图像关于 对称，且 ，
所以 ，A 正确；
对于C，∵ ，则 ，
则 ，又 ，
所以 ，
令 ，可得 ，即 .
所以 ，又
所以 ，
所以 ，
∴ 的周期 ，所以 ，
由 可得，
， ， ，
所以 ， ，
∴ ，C正确；对B， ，则 是周期 的函数， ，B错误；
对D， ， ，所以
，
所以 ，D错误.
故选：AC.
【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识
点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.
55．（2023·广东茂名·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，函数
为奇函数，且对 ，当 时，都有 .函数 与函数
的图象交于点 ， ，…， ，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A． B．函数 为偶函数
C．函数 在区间 上单调递减 D．
【答案】BCD
【分析】根据已知条件可得函数 的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的
定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在 的单调性，然后利用对称性即可判断C；判
断 的对称性，结合 的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.
【详解】因为 ，所以 ， 的图象关于 对称，因为函数 为奇函数，所以 的图象关于点 对称，且
又 ，
所以
，即 ，
所以 的周期为4，所以 ，故A错误；
由上可知， ，
，故B正确；
因为 ，当 时，都有 ，
即 ，所以 在区间 单调递增，
因为 的图象关于点 对称，所以 在区间 单调递增，
又 的图象关于 对称，所以 在区间 单调递减，C正确；
因为 ，所以 的图象关于点 对称，
所以 与 的交点关于点 对称，不妨设
则 ，
所以 ，
所以 ，D正确.
故选：BCD
56．（2023·江苏·校联考模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B．4是 的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令 可得 ，即可得到 的对称性，对于B，令 ，
即可得到4为 的一个周期，从而得到 ，对于C，令 ，对于D，结合前面的结论，
求出函数值即可.
【详解】因为 ，即 ，
令 ，则 ，所以 关于 对称，
则 的图象关于 对称，故A正确；
因为 ，则 ，
令 ，则 ，则 的图象于 对称，
因为 ，所以 ，
即 ，则 的图象关于 对称.
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以4为 的一个周期，即 ，
则 ，故B不正确；
对于C：因为 ，令 可得 ，故C正确；对于D：因为 ，则 ， ， ，
又 ， ， ，
所以 ， ，
， ，
，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
，所以 ，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：令 是解题的关键，通过研究 的对称性，周期性得到 的性质.
57．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数 、 定义域均为 ，且 ，
为偶函数，若 ，则下面一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件判断 关于 中心对称和 轴对称，可求出 是函数 的周期，利用
函数的对称性和周期性进行转化求解即可.
【详解】由 可得函数 关于 中心对称，且 ，又因为 为偶函数，
所以 ，令 等价于 ，所以
可知函数 关于 轴对称，再令 替换 ，所以 ，
所以 知， ，
，所以 ，即 是函数 的周期，
由 ，令 ，则 ，故A正确；
因为 ，由已知条件无法求出 ，故C不正确；
由 可得 ，所以B不正确；
由 可得 与 关于 中心对称，
所以 是函数 的周期， ，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数 ， 的对称性和周期性，利用函数的对称性和周
期性进行转化求解时解决本题的关键.
58．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数 存在两个极值点 ，
，则以下结论正确的为（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BD
【分析】由题可得方程有 两个不相等的实数根 ， ，构造函数 ，利用导数研究函
数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得 ，则 即 ，显然 ，若方程有两个不相等的实数根 ， ，即方程有 两个不相等的实数根 ， ，
即 的图象与直线 有两个交点，且横坐标分别为 ， ，
又 ，所以由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，当 时，
，
对A，要使函数 存在两个极值点 ， ，则 ，A错误；
对B，当 时， 的图象如图，易知 ，B正确；
对C，若 ，则 ，得 ，故 ，C错误；
对D，因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，所以 ，故 ，所
以 ，D正确．
故选：BD．
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从
中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不
等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法
为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
59．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于 的方程 有两个不等的实根 ，且
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由已知 与 有两个不同的交点，利用导数研究函数 性质，结合图象确定 的
范围，判断A，要证明 只需证明 ，结合函数 单调性只需证明 ，
故构建函数 ，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较 ，判断C，利用
的范围，结合指数函数性质证明 ，判断D.
【详解】方程 ，可化为 ，
因为方程 有两个不等的实根 ，
所以 与 有两个不同的交点，
令 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
，
当 时， ，且 ，当 时， ，
当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，
故 ，当 时， ， ，
根据以上信息，可得函数 的大致图象如下：
，且 ，故A正确．
因为 ，
构造 ，
，
在 上单调递增，
，
，即 ，
由 在 单调递增
所以 ，故B正确．
对于C，由 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，故C错误．
对于D，由 ，可得 ，所以 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化
为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数
的单调性、极(最)值问题处理．
60．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由已知可得 .构造函数 ，根据导函数得出函数的单调性，结
合零点存在定理，可得出 .根据基本不等式及其取等号的条件，即可得出A项；由已知可得
，移项构造函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出不等关系，判断B、C、D.
【详解】由已知可得， .
设 ，则 恒成立，
所以，当 时， 单调递增.
又 ， ，
根据零点存在定理可得， ，使得 ，
所以，由 可得， .
对于A项，因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 ， ，所以 ，故A项正确；
对于B项，因为 ，所以 .
令 ， ，则 .
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以，当 时， 恒成立.
又 ，所以 ，
即 ，即 ，故B项错误；
对于C项，因为 ，
所以 .
设 ， ，
则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ，所以 ，
所以 ，故C项正确；
对于D项，因为 ，所以 .
设 ， ，
则
.
因为 ， ， ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
因为 ，所以 ， ， .
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 ，所以 ，
所以， ，
所以 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ，所以 ，
所以， ，故D项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：移项构造函数，然后根据导函数得出函数的单调性以及最值，得出不等式恒成立，进
而得出不等关系.
