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第四章 一次函数
知识点01 函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个 ，y都有 确定的值与之对应，
那么就说y是x的函数，x是自变量。
知识点02 一次函数的表达式
形如 （k，b为常数， ）的函数叫做一次函数。当 时， （ ）叫做
正比例函数。
知识点03 一次函数的图象与性质
一次函数y = kx + b的图象是一条 ，可通过两点法（如 ( , ) 和 ( , ) ）画出。当k>0时，y
随x的增大而 ；当k<0时，y随x的增大而 。b决定直线与y轴的交点 ( , ) 。
知识点04 一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立 ，再结
合图象或性质求解。易错点1 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错
1. 要明确一次函数y = kx + b中k≠ 0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m - 1)x +
2是一次函数，需保证m - 1≠0即m≠1。
2. 对于正比例函数y = kx，除k ≠ 0外，还需注意b = 0的隐含条件。如y=(n + 2)x + n是正比例函数，
需同时满足n + 2≠0且n = 0，即n = 0。
例题：已知函数 是一次函数，则 ．
易错点2 对正比例函数的定义理解不透彻致错
1. 需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足**y = kx（k≠0）**，即系数k不为0且不含
常数项。若忽略k≠0，如y = mx，当m = 0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y = 3x
+ 1，因含常数项1，也不符合定义。
2. 遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k\neq0和常数项为0两个条件。例如y=(a + 1)x + a是正
比例函数，需满足a + 1≠0且a = 0，即a = 0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。
例题：已知：y与 成正比例，且 时， ．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)点 在这个函数的图像上，求m的值．
易错点3 实际问题中忽略自变量的取值范围致错
1. 实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，
如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。
2. 解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，
销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。
例题：综合与实践
《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学
校 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】
实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
4
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 54
2
【探索发现】
（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为
坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是
______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达
式（自变量取值范围不写）
【结论应用】
（2）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为
100厘米）．
易错点4 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错
1. 一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y = kx + b与
两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。
2. 解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标
轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。例题：如图，已知一次函数 的图象与坐标轴交于A、B点．
(1)求 的面积．
(2)若 轴上有一点 ，且 ，求直线 的表达式．
一、单选题
1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若 关于 的函数 是一次函数，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2024七年级下·全国·专题练习）某景区有一根长 cm的特大蜡烛，若每小时燃烧 cm，那么蜡烛剩
余长度 （cm）与燃烧时间 （小时）之间的函数关系式用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．3．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴
分别交于B、C两点，与正比例函数 的图象交于点A．若动点M在射线 上运动，当 的面
积是 的面积的 时，此时点M的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线
于点A．若点C是射线 上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三
角形与 全等，则 的长为（ ）
A．3或 B．4或 C．3或 D．4或
二、填空题
5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若 是关于 的一次函数，则 的值为
．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油 ，每行驶 耗油 ，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量 与行驶路程 之间的函数关系式为 ，自变量 的取值范围是
．
7．（24-25八年级上·全国·期末）长方形 的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为
，点B在第一象限，将直线 沿y轴向上平移 个单位，若平移后的直线将长方
形 的面积分成 的两部分，则m的值为 ．
8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线 分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标
为 ，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且 ，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D
为顶点的三角形与 全等，此时点D的坐标为 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数 是关于 的一次函数，求 的值．
10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)写出 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值；(3)若 的取值范围为 ，求 的最小值．
11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中， ， ，
三角形 的面积是6；
(1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标；
(2)点 的坐标是 ，连接 、 ，并用含字母 的式子表示 的面积；
(3)在（2）问的条件下，是否存在点 ，使 的面积等于 的面积的 ，如果存在，请求出 的坐
标，若不存在，请说明理由．
12．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 为
中点，动点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 方向运动（点 不与 重
合），设运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)直接写出 关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当 时 的值．（保留一位小数，误差不超过 ）
13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ，点
是直线 上与 、 不重合的动点．(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当点 运动到什么位置时， 的面积被直线 分成 的两部分；
(3)过点 的另一直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的
坐标；若不存在，说明理由．
14．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ．
(1)求直线 与 的函数解析式．
(2)求 的面积．
(3)如图2， 是线段 上的一动点， 是线段 上的一动点，连接 ， ， ．若 与
全等，求点 的坐标．
15．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中， 交 轴和 轴于 两点，其
坐标分别为 ， 满足 ．(1)求点 的坐标；
(2)如图②，过点 作 ，截取 ，点 在第一象限内，过点 作 轴于点 ，点 从
点 出发以每秒2个单位长度的速度沿 轴向下运动，连接 ，若点 运动的时间为 秒，三角形
的面积为 ，请用含 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，连接 ，在坐标轴上是否存在点 ，使 与 全等?若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
