文档内容
4.3 一次函数的图像
13大知识点（基础）+能力提升题（10道）+拓展培优练（6道）
一、正比例函数的图像与性质
1．（24-25七年级下·广西玉林·期末）正比例函数y=−3x的图象必经过点（ ）
A．(−3,1) B．(1,3) C．(−1,3) D．(−1,−3)
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的图象．
分别代入y=−3x计算即可．
【详解】解：选项A：当x=−3时，y=−3×(−3)=9≠1，故不经过该点；
选项B：当x=1时，y=−3×1=−3≠3，故不经过该点；
选项C：当x=−1时，y=−3×(−1)=3，与点的纵坐标相等，故经过该点；
选项D：当x=−1时，y=−3×(−1)=3≠−3，故不经过该点；
故选：C
2．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数y=(m−2)x的图象经过二、四象限，则m的取值范
围是（ ）
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数
的符号，进而求解m的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数y=(m−2)x的图象经过二、四象限，
∴m−2<0，
解得m<2．
故选：C．
3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若正比例函数y=kx(k≠0)中，y的值随着x值的增大而减小，则下列各点
可能在该函数的图象上的是 （ ）
A．(1,2) B．(0,2) C．(−1,−2) D．(−1,2)
【答案】D【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．由题意可知，正比例函数y=kx中k<0，故图象经过第二、
四象限．根据各选项点的坐标所在象限及正比例函数必过原点的性质，逐一排除即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小，
∴k<0，函数图象经过第二、四象限．
∵点(1,2)在第一象限，点(0,2)在y轴正半轴，点(−1,−2)在第三象限，点(−1,2)在第四象限，
∴符合题意只有D选项．
故选：D
4．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列各点中，在正比例函数y=−5x的图象上的是（ ）
A．(0,−2) B．(0,0) C．(1,2) D．(2,−1)
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握正比例函数图象上的点坐标适合解析式，是
解题的关键．
将各选项的横坐标代入函数解析式，验证计算结果是否等于纵坐标，即可判断．
【详解】A：(0,−2)
当x=0时，y=−5×0=0，但该点纵坐标为−2，不符合，故A错误．
B：(0,0)
当x=0时，y=−5×0=0，该点纵坐标为0，完全符合，故B正确．
C：(1,2)
当x=1时，y=−5×1=−5，但该点纵坐标为2，不符合，故C错误．
D：(2,−1)
当x=2时，y=−5×2=−10，但该点纵坐标为−1，不符合，故D错误．
故选：B．
5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，点A(−3,a)在正比例函数y=kx(k≠0)的图
象上，且y随x的增大而减小，则(k,a)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点所在的象限，根据正比例函数的性质，结合点的坐标特征，
判断k和a的符号，从而确定点(k,a)所在的象限，即可作答．
【详解】解：∵y随x的增大而减小，
∴正比例函数y=kx(k≠0)的k<0，且经过第二、四象限，
∵点A(−3,a)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴a=−3k>0，
∴(k,a)在第二象限，
故选：B
6．（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知点A(−3,y )，B(2,y )都在正比例函数y=−5x的图象上，
1 2
则（ ）
A．y y C．y = y D．y ≥ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的解析式代入点的坐标，计算对应的y值并比较
大小，即可作答．
【详解】解：∵点A(−3,y )，B(2,y )都在正比例函数y=−5x的图象上，
1 2
∴y =−5×(−3)=15，y =−5×2=−10，
1 2
∵15>−10，
即y >y ，
1 2
故选：B
7．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当x=−1时，y=4．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)请判断点A(−2,6)是否在这个函数的图像上，并说明理由；
(3)如果P(m,y )，Q(m+1,y )是这个函数图像上的两点，请比较y 与y 的大小．
1 2 1 2
【答案】(1)y=−4x
(2)不在，见解析
(3)y >y
1 2
【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把x=2代入y=−4x，得到y=−8，结合点A的坐标即可判断；
（3）根据正比例函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx(k≠0)．
由题意得，−1×k=4，解得k=−4，
∴y与x之间的函数关系式为y=−4x；
（2）解：不在，理由如下：
把x=−2代入y=−4x，得y=8．
∵8≠6，∴点A(−2,6)不在这个函数的图像上．
（3）解：∵−4<0，
∴y随x的增大而减小，
∵my ．
1 2
二、判断一次函数的图像
1．（24-25八年级下·福建福州·期末）一次函数y=ax−a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的
性质可得，一次函数y=ax−a经过点(1,0)，据此逐项分析即可判断．
【详解】解：一次函数y=ax−a，
当x=1时，y=a−a=0，
∴一次函数y=ax−a经过点(1,0)，
A、图象不经过点(1,0)，故不是一次函数的图象，不符合题意；
B、图象可能经过点(1,0)，故可能是一次函数的图象，符合题意；
C、图象不经过点(1,0)，故不是一次函数的图象，不符合题意；
D、图象不经过点(1,0)，故不是一次函数的图象，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）下面表示正比例函数y=bx与一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0，b≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由正比例函数y=bx的图象
可得b的符号，由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而比较可得答案．
【详解】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由正比例函数y=bx的图象可得b<0，由一次函数y=kx+b图象可得k>0，b<0，两者不矛盾，故此
选项符合题意；
B、由正比例函数y=bx的图象可得b<0，由一次函数y=kx+b图象可得k>0，b>0，两者矛盾，故此选
项不符合题意；
C、由正比例函数y=bx的图象可得b>0，由一次函数y=kx+b图象可得k<0，b<0，两者矛盾，故此选
项不符合题意；
D、由正比例函数y=bx的图象可得b<0，由一次函数y=kx+b图象可得k<0，b>0，两者矛盾，故此选
项不符合题意；
故选：A．
3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，函数y=kx与y=−kx+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比
例函数图象所在的象限判定k的符号，根据−k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵正比例函数y=kx与一次函数y=−kx+k（k≠0）的自变量系数分别是k和−k，则两直
线相交．故B、C不符合题意；
A、正比例函数y=kx图象经过第二、四象限，则k<0．则一次函数y=−kx+k（k≠0）的图象应该经
过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、正比例函数y=kx图象经过第一、三象限，则k>0．则一次函数y=−kx+k（k≠0）的图象应该经
过第一、二、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（21-22八年级下·新疆喀什·期末）如图是一次函数y=kx+b的图象，则函数y=bx−k的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数y=kx+b的图象可得：k<0，b>0，即可得出−k>0，
再由一次函数的性质可得函数y=bx−k的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质
是解此题的关键．【详解】解：由一次函数y=kx+b的图象可得：k<0，b>0，
∴−k>0，
∴函数y=bx−k的图象经过一、二、三象限，如图：
，
故选：D．
5．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）若a>0，|a+b)=−a−b，则一次函数y=−ax+b的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，一次函
数图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，
一次函数图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关
键．根据a>0，|a+b)=−a−b，可得a>0，b<0，从而得到−a<0 ，进而得到一次函数y=−ax+b的图
象经过第二、三、四象限，即可求解．
【详解】解：∵|a+b)=−a−b，
∴−a−b>0，即a+b<0，
∵a>0，
∴b<0，−a<0，
∴一次函数y=−ax+b的图象经过第二、三、四象限，
故选：C．b
6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线l :y=kx−b（k，b为常数且k，b≠0）和直线l :y= x+2k
1 2 k
（k，b为常数且k，b≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图像的知识，解题的关键在根据一次函数的图像得出k和b的符号．
根据k和b的符号分情况讨论直线l 和l 经过的象限，据此即可得出答案．
1 2
b
【详解】解：①当k>0，b>0时，直线l ：y=kx−b在第一、三、四象限，直线l ：y= x+2k在第一、
1 2 k
二、三象限；
b
②当k>0，b<0时，直线l ：y=kx−b在第一、二、三象限，直线l ：y= x+2k在第一、二、四象限；
1 2 k
b
③当k<0，b>0时，直线l ：y=kx−b在第二、三、四象限，直线l ：y= x+2k在第二、三、四象限；
1 2 k
b
④当k<0，b<0时，直线l ：y=kx−b在第一、二、四象限，直线l ：y= x+2k在第一、三、四象限；
1 2 k
综上所述，D选项符合③．
故选：D
三、判断一次函数所过象限
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，直线y=−❑√3x−3不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，通过k和b正负来判断一次函数经过哪些象限，熟练掌握一
次函数的图象和性质是本题的关键．根据y=kx+b中k和b的符号，结合一次函数的图象特征判断即可．
【详解】解：∵直线y=−❑√3x−3中， k=−❑√3<0， b=−3<0，
∴直线从左向右下降，直线与y轴交于负半轴（第三、四象限交界），
因此，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
2．（24-25八年级下·江西宜春·期末）一次函数y=3x−1的图像不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像特点是解题关键．根据一次函数的图像特
点即可得．
【详解】解：对于一次函数y=3x−1，k=3>0，b=−1<0，
故图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
3．（24-25八年级下·河南商丘·期末）函数y=−2x+3的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数y=kx+b的图象与性质．根据一次函数y=kx+b的图象与性质，即可求
解．
【详解】解：∵k=−2<0,b=3>0，
∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）函数y=4x−2的图象经过（ ）
A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据一次函数
的性质解答即可．
【详解】解：∵一次函数y=4x−2中，k=4>0，b=−2<0，
∴函数图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
四、根据一次函数所过象限求参数
1．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知一次函数y=(m+3)x+m−2的图象如图所示，则m的取值范围
为（ ）A．m>−3 B．m<2 C．m<−3或m>2 D．−30，且
m−2<0，解不等式组即可求解．
【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即m+3>0；且图象与y轴交点位于y轴负半轴上，
即m−2<0，
{m+3>0)
∴ ，
m−2<0
解得：−30，
故只需写出b>0的任意一个数即可，
选项B符合题意；
故选：B．
3．（2025年辽宁省中考数学试题）在平面直角坐标系xOy中存在函数y=ax+b过第一，二，四象限，则
（ ）
A．ab<0 B．a+b>0 C．a>0，b<0 D．|a)>|b)
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．一次函数y=ax+b过第一、二、四象限，则a<0，b>0，
根据选项逐一判断可得答案．【详解】解：∵函数y=ax+b的图象经过第一，二，四象限，
∴a<0，b>0，
∴ab<0，
故选：A．
4．（24-25八年级下·江西新余·期末）已知函数y=(m−2)x+m+2．
(1)若该函数为正比例函数，求m的值；
(2)若函数图象不经过第三象限，求m的取值范围．
【答案】(1)m=−2
(2)−2≤m≤2
【分析】本题考查了正比例函数的定义，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据y=kx(k≠0)是正比例函数，得出m−2≠0，m+2=0，即可作答．
{m−2≤0)
（2）根据函数y=(m−2)x+m+2不经过第三象限，得 ，再解得m的取值范围，即可作答．
m+2≥0
{m−2≠0)
【详解】（1）解：由题意得： ，
m+2=0
解得：m=−2；
{m−2≤0)
（2）解：由题意得： ，
m+2≥0
解得：−2≤m≤2；
五、一次函数与坐标轴交点问题
1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）直线y=3x−6与y轴的交点坐标为（ ）
A．(0,−6) B．(0,6) C．(2,0) D．(0,2)
【答案】A
【分析】令x=0可得，求出y的值即可得出答案．本题考查了一次函数与y轴的交点问题，熟知“直线
y=kx+b与y轴的交点坐标的横坐标是0”是解题的关键．
【详解】解：对于y=3x−6，令x=0 ，
得y=3×0−6=−6，
∴直线y=3x−6与y轴的交点坐标是(0,−6)．
故选：A．
2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果直线y=3x−2m与x轴交于点(2,0)，那么m的值为（
）A．m=−3 B．m=3 C．m=1 D．m=−1
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数，直线与x轴的交点纵坐标为0，将点(2,0)代入直线方程即可求解m的值．
【详解】解：将点(2,0)代入直线方程y=3x−2m，得：0=3×2−2m，
解得m=3，
故选：B．
3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线y=2x−1与y轴的交点坐标为
（ ）
A．(0,1) B．(0,−1) C．(1,0) D．(−1,0)
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，令x=0求出其函数值，即可解题．
【详解】解：将x=0代入直线方程y=2x−1中，得y=2×0−1=−1．
因此，直线y=2x−1与y轴的交点坐标为(0,−1)，
故选：B．
1
4．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）直线y=− x+2与x轴交于点A，则点A的坐标为 ．
3
【答案】(6,0)
【分析】本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，解题关键是熟练掌握“x轴上的点纵坐标为0，y轴上
的点横坐标为0”．
1
由y=− x+2与x轴交于点A，直接令y=0即可求解．
3
1
【详解】解：∵直线y=− x+2与x轴交于点A，
3
1
∴令y=0，得0=− x+2，
3
解得x=6，
∴A(6,0)．
故答案为：(6,0)．
六、一次函数图像的平移
1．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）把直线y=3x−4向上平移4个单位后所得直线的表达式为（ ）
A．y=3x B．y=3x−8 C．y=3x+8 D．y=3x−16【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据直线平移的规律，向上平移时在常数项上加相应
的单位数．
【详解】解：把直线y=3x−4向上平移4个单位后所得直线的表达式为：y=3x−4+4=3x．
故选：A．
2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）将直线y=x+4向左平移2个单位长度后，再向下平移4个单位长度，
所得直线表达式为 ．
【答案】y=x+2
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移
后的直线解析式，此题得解．
【详解】解：将直线y=x+4向左平移2个单位长度后，再向下平移4个单位长度，所得直线表达式为
y=(x+2)+4−4=x+2，
故答案为：y=x+2．
3．（24-25八年级下·河南许昌·期末）将一次函数y=(m−2)x+4−n的图象向上平移3个单位长度，若平
移后的函数图象与一次函数y=3x+1的图象重合，则m+n= ．
【答案】11
【分析】本题考查了一次函数的平移规律．
根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出m+n的值．
【详解】解：将一次函数y=(m−2)x+4−n的图象向上平移3个单位长度得：
y=(m−2)x+4−n+3=(m−2)x+7−n，
∵平移后的函数图象与一次函数y=3x+1的图象重合，
∴m−2=3，7−n=1，
即m=5，n=6，
∴m+n=5+6=11，
故答案为：11．
4．（24-25八年级下·广东广州·期末）将直线y=−5x+3沿y轴向下平移6个单位后得到直线m，则直线m
与y轴的交点坐标是
【答案】(0,−3)
【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解
答此题的关键．
根据“上加下减”的原则求出平移后新直线的解析式，再把x=0代入所得的解析式解答即可．【详解】解：将直线y=−5x+3沿y轴向下平移6个单位后，得到y=−5x+3−6=−5x−3，
把x=0代入y=−5x−3得，y=−3，
所以该直线与y轴的交点坐标是(0,−3)．
故答案为：(0,−3)．
七、一次函数的增减性
1．（天津市西青区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）关于函数y=4x−2，下列结论正确
的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象必经过第一、二、三象限
C．图象与y轴的交点坐标是(0,2) D．当x>0时，y<−2
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质以及图象上的点的坐标特征对各个选项进行判断即可．
本题考查一次函数的性质，熟知“当k<0时，y随x的增大而减小，当k>0时，y随x的增大而增大”是解
题的关键．
【详解】解：A、函数中k=4>0，故y随x的增大而增大，本选项正确．
B、k=4>0，b=−2<0，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，本选项错误．
C、令x=0，得y=−2，图象与y轴交点为(0,−2)，而非(0,2)，本选项错误．
D、k>0时，y=4x−2随x增大而增大，x=0时y=−2，故x>0时y>−2，本选项错误．
故选：A．
2．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）对于函数y=−2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点(−1,3)
B．y的值随x值的增大而增大
3
C．当x> 时，y<0
2
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键．
首先将x=−1代入函数解析式即可求解必过点；由一次函数的斜率可判断函数值y与x的关系；求解y=0
时，x的值，即可判断C选项；根据一次函数中k和b的值即可分析函数所过象限．
【详解】A. 当x=−1时，y=−2×(−1)+3=5≠3，故图象不经过点(−1,3)，错误；
B. 因斜率k=−2<0，函数值y随x增大而减小，错误；3 3
C. 令y=0，解得x= ，因函数值y随x增大而减小，当x> 时，y<0，正确；
2 2
D. 当k<0且b=3>0时，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，错误．
故选：C．
八、根据一次函数的增减性求参数
1．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知一次函数y=(m−2)x+3，若y随x的增大而增大，则
m的取值范围是（ ）．
A．m>2 B．m<2 C．m≠2 D．m≥2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的性质，当k>0时，y随x的增大而增大，列
式计算即可．
【详解】解：∵一次函数y=(m−2)x+5，y随x的增大而增大，
∴m−2>0，
解得：m>2，
故选：A．
2．（24-25八年级下·河北保定·期末）在一次函数y=(2m−1)x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则
它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据在一次函数y=(2m−1)x+1中，y的值随着x值的增大而增大，可知2m−1>0，然后根据一次函数
的性质，即可得到答案．
【详解】解：∵在一次函数y=(2m−1)x+1中，y的值随着x值的增大而增大，
∴2m−1>0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
3．（24-25八年级下·河南新乡·期末）点A(x ,y )，B(x ,y )在一次函数y=ax+2的图像上，当x >x 时，
1 1 2 2 1 2
y x 时，y 3
【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质可得2k−6>0，解得k的取值范围即可．
【详解】解：若函数y=(2k−6)x+1是关于x的一次函数，y随x增大而增大，
则2k−6>0，
解得：k>3，
故答案为：k>3．
九、根据一次函数的增减性判断自变量范围
1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若点A(x ,−1)，B(x ,3)在一次函数y=−2x+m（m是常数）的
1 2
图象上，则x ，x 的大小关系是（ ）
1 2
A．x >x B．x x ；
1 2故选：A．
2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）已知一次函数y=−3x+6图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )，若
1 1 2 2
y x B．x x ，
1 2
故选：A．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知一次函数y=2x+1，当1≤ y<3时，自变量的取值范围是（ ）
A．−1≤x<1 B．0≤x<1 C．00，y随x的增大而增大，
∴当1≤ y<3时，自变量的取值范围为0≤x<1．
故选：B．
4．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知(x ，y )，(x ，y )，(x ，y )为直线y=−3x+5上的三个
1 1 2 2 3 3
点，且x 0，则y y >0 B．若x x <0，则y y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键．
根据一次函数y=−3x+5的增减性，逐项分析判断即可解答．
【详解】解：在直线y=−3x+5中，k=−3<0，故y随x增大而减小．由x y >y ．
1 2 3 1 2 3A．若x x >0，则x 、x 同号．当两者均为正时，x >x >0，此时y 可能为负，导致y y <0，故A错误，
1 2 1 2 3 2 3 1 3
不符合题意；
B．若x x <0，则x <0，x >0．若x >0，则y 可能为负，导致y y <0，故B错误，不符合题意；
1 3 1 3 2 2 1 2
C．若x x >0，则x 、x 同号．当两者均为正时，x 可能为负，此时y >0而y <0，导致y y <0，故C
2 3 2 3 1 1 3 1 3
错误，不符合题意；
D．若x x <0，则x <0，x >0．由x 0，y =−3x +5>0，因此
2 3 2 3 1 2 1 1 1 2 2
y y >0，D正确，符合题意．
1 2
故选D．
十、根据一次函数增减性比较函数值大小
1．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知点M(−1,y )和N(3,y )都在直线y=−3x+m（m为常数）上，
1 2
则y y （填“>”、“<”、“=”）．
1 2
【答案】>
【分析】本题考查了一次函数的增减性．
根据一次函数的增减性作答即可．
【详解】解：∵k=−3<0，
∴y随x增大而减小，
∵−1<3，
∴y >y ，
1 2
故答案为：>．
3
2．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若点A(2,y ),B(−2,y ),C(−3,y )在一次函数y= x+5的图象
1 2 3 10
上，则y ,y ,y 的大小关系是 ．
1 2 3
【答案】y >y >y /y 0，
10
∴y随x的增大而增大，∵−3<−2<2，
∴y 0，
∴y随x的增大而增大，
3
当y=−1时，−1=2x−4，解得x= ；
2
7
当y=3时，3=2x−4，解得x= ，
2
3 7
∴当−1≤ y≤3时， ≤x≤ ，
2 2
其图象如图：4
4．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知一次函数y=− x+4．
3
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(2)求该函数图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标及A、B两点之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)A(3,0)，B(0,4)，AB=5
【分析】本题考查了一次函数图象，勾股定理解三角形，利用描点法画函数图象是解题关键．
（1）根据描点法，可得函数图象；
（2）根据（1）得出A(3,0)，B(0,4)，结合勾股定理求解即可
4
【详解】（1）解：y=− x+4，
3
当x=0时，y=4，当y=0时，x=3，
∴取点(0,4),(3,0)，连接即可；
（2）由（1）得A(3,0)，B(0,4)，∴OA=3,,OB=4，
∴AB=❑√OA2+OB2=5
十二、求一次函数的解析式
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象过A(−1,5)，B(3,−3)两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)若点C(−2,a)也在这个一次函数的图象上，求a的值．
【答案】(1)y=−2x+3
(2)a=7
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把点C坐标代入即可求解；
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出一次函
数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，将点A(−1,5)、点B(3,−3)代入得，
{−k+b=5
)
，
3k+b=−3
{k=−2)
解得 ，
b=3
∴一次函数的解析式为y=−2x+3；
（2）将点(−2,a)代入y=−2x+3 得，a=−2×(−2)+3，
解得a=7．
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数y=kx+b，它的图象经过(1,−2)，(2,3)两点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当−2≤x≤3时，求函数值y的最小值．
【答案】(1)y=5x−7
(2)函数值y的最小值为−17
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质，
（1）把点(1,−2)，(2,3)的坐标分别代入y=kx+b，得到关于k,b的方程组，解方程组求得k、b的值即可
得出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及−2≤x≤3即可得出y的最小值；
熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键．【详解】（1）∵一次函数y=kx+b，它的图象经过(1,−2)，(2,3)两点，
{k+b=−2) { k=5 )
∴ ，解得： ，
2k+b=3 b=−7
∴y与x之间的函数关系式为：y=5x−7；
（2）对于y=5x−7，
∵k=5>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵−2≤x≤3，
∴当x=−2时，y的值为最小，最小值y=5×(−2)−7=−17．
3．（24-25九年级上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x的图象与函数y=kx+4（
k≠0）的图象交于点A(m,2)．
(1)求m与k的值；
(2)当x>1时，对于x每一个值，总有函数y=nx+1（n≠0）的值大于函数y=kx+4（k≠0）的值，直接
写出n的取值范围．
【答案】(1)m=1；k=−2
(2)n≥1
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次
函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键．
（1）将点A(m,2)代入函数y=2x求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值；
3 3
（2）联立y=nx+1与y=−2x+4求出交点横坐标为x= ，再结合题意和一次函数性质得到 ≤1，
n+2 n+2
n>−2求解，即可解题．
【详解】（1）解：将点A(m,2)代入函数y=2x有：2m=2，
解得m=1，
∴ A(1,2)，
∴ 2=k+4，
解得k=−2；
（2）解：由（1）知，y=−2x+4，
联立y=nx+1与y=−2x+4有：nx+1=−2x+4，
3
解得x= ，
n+2
∵当x>1时，对于x每一个值，总有函数y=nx+1（n≠0）的值大于函数y=kx+4（k≠0）的值，又n=−2时，直线y=nx+1与直线y=−2x+4平行，
3
∴ ≤1，n>−2，
n+2
当n>−2时，解得n≥1，
即n的取值范围为n≥1．
十三、一次函数的规律探究问题
1．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）如图，正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，⋯按图示放
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
置，点A ，A ，A ，⋯和C ，C ，C ，⋯分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的纵坐标是 ．
1 2 3 1 2 3 2025
【答案】22024
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的
变化找出变化规律“点B 的坐标为(2n−1,2n−1)”是解题的关键．
n
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点B 、B 、B …的坐标，根据点坐标的变
1 2 3
化找出点B 的坐标，依此即可得出结论．
n
【详解】解：当x=0时，y=x+1=1，
∴点A 的坐标为(0,1)．
1
∵A B C O为正方形，
1 1 1
∴点C 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(1,1)．
1 1
同理，可得：B (3,2)，B (7,4)，B (15,8)，
2 3 4
∴点B 的坐标为(2n−1,2n−1)，
n
∴点B 的纵坐标为2n−1，
n
∴点B 的纵坐标为22024．
2025
故答案为：22024．
2．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线l的函数表达式为y=x−1，在直线l上顺次取点，构成形如“ ”的一个个的
A (2，1)，A (3，2)，A (4，3)，A (5，4)，⋯，A (n+1，n)
1 2 3 4 n
图形构成的阴影部分面积分别表示为S ，S ，S ，⋯，S ，则S = ．
1 2 3 n 2025
【答案】4052
【分析】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出
规律，得到S =2n+2．
n
根据题意，分别求出S ，S ，S ，然后找出规律，即可求出结果．
1 2 3
【详解】解：根据题意，
∵A (2，1)，A (3，2)，A (4，3)，A (5，4)，⋯，A (n+1，n)
1 2 3 4 n
1 1 3 5
∴S = ×(1+2)×1+ ×(2+3)×1= + =4，
1 2 2 2 2
1 1 5 7
S = ×(2+3)×1+ ×(3+4)×1= + =6，
2 2 2 2 2
1 1 7 9
S = ×(3+4)×1+ ×(4+5)×1= + =8，
3 2 2 2 2
……
∴S =2n+2；
n
∴S =2×2025+2=4052．
2025
故答案为：4052．
3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x与y=−x的图象分别
为直线l ，l ，过点(1,0)作x轴的垂线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂
1 2 1 1 1 2 2 2
线交l 于点A ，过A 作y轴的垂线交l 于点A ， ．．．依次进行下去，则A 的坐标为 ．
1 3 3 2 4 8【答案】(16,−16)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再
根据点所在的象限找出这个象限的点的规律．根据题意，先找到点A 所在的象限，然后再根据第三象限的
8
点的变化，找出第三象限的点的规律，即可得出答案．
【详解】解：∵过点(1,0)作x轴的垂线交l 于点A ，
1 1
∴A (1,2)，
1
把y=2代入y=−x得x=−2，即A (−2,2)，
2
把x=−2代入y=2x得y=−4，即A (−2,−4)，
3
同理可得A (4,−4)，
4
∵点A在4条射线上运动，8÷4=2，
∴点A 在第四象限，
8
∵A (4,−4)，…，
4
( n n)
∴第四象限的点的规律为： A 22,−22 ，
n
∴A (16,−16)．
8
故答案为：(16,−16)．
1
1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知x≤6，且y=1− x，则y的取值范围是（ ）
2
A．y≤−2 B．y≥−2 C．y≤−4 D．y≥−4
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数的函数值的取值范围，根据解析式可得一次函数的增减性，再求出x=6时的函数值即可得到答案．
1 1
【详解】解：∵在y=1− x中，− <0，
2 2
∴y随x增大而减小，
1
∵当x=6时，y=1− ×6=1−3=−2，
2
∴当x≤6时，y≥−2，
故选；B．
2．（24-25七年级下·河南漯河·期末）已知x≥5，且y=1−2x，则y的取值范围是（ ）
A．y≥−9 B．y≤−9 C．y≤9 D．y≤−11
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性．
先求出当x=5时，y=1−2x=−9，根据k=−2<0判断即可．
【详解】解：当x=5时，y=1−2x=−9，
∵k=−2<0，
∴当x≥5时，y≤−9，
故选：B
3．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点A(x ,y )，B(x ,y )，C(4,y )，D(x ,y )均在一次函数
1 1 2 2 3 0 0
y=kx+b(k≠0)图象上，若(x −x )(y −y )<0，且y 4，对照四个选项后，即可得出结论，由
0 3 0
(x −x )(y −y )<0，找出y随x的增大而减小是解题的关键．
1 2 1 2
【详解】解：∵点A(x ,y )，B(x ,y )在一次函数y=kx+b(k≠0)图象上，且(x −x )(y −y )<0，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴x −x 与y −y 异号，
1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，又∵C(4,y )，D(x ,y )在一次函数y=kx+b(k≠0)图象上，且y 4，
0
∴x 的取值可能是5，
0
故选：D．
4．（23-24八年级下·河南漯河·期中）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,5)和点B，点B是一次函
数y=2x−1的图象与x轴的交点，则这个一次函数的解析式是 ．
【答案】y=3x−1
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，根据题意可得出B点坐标，结合A点坐标用待定系
数法可求出函数解析式．
【详解】解：因为点B是一次函数y=2x−1的图象与y轴的交点，
所以令x=0，得y=−1，即B(0,−1)
又一次函数y=kx+b的图象过点A（2，5）
{5=2k+b)
得
b=−1
解得：k=3,b=−1
∴y=3x−1.
故答案为：y=3x−1
5．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）已知y+2与x−1成正比例且x=3时y=4，则该直线向左平移4个单
位后的解析式为 ．
【答案】y=3x+7
【分析】本题综合考查了一次函数的图象与几何变换、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上
点的坐标特征．根据正比例的定义设y+2=k(x−1)，然后把x=3，y=4代入计算求出k值，再整理即可
得正比例函数解析式，再根据一次函数图象的平移规律“左加右减”即可确定平移后的函数表达式．
【详解】解：∵y+2与x−1成正比例，
∴可设y+2=k(x−1)，
将x=3，y=4代入y+2=k(x−1)，得：6=2k，
解得k=3，
∴y+2=3(x−1)，即y=3x−5，
该直线向左平移4个单位后的解析式为y=3(x+4)−5，即y=3x+7．
故答案为：y=3x+7．
6．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将函数y=2x−1的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y=|2x−1)的图象，与直线y=x+b的图象交点的横坐标x均满足
−10，
∴函数值y随着x值的增大而增大，
故答案为：增大．
10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知y=(m+2)x|m+3)+5是一次函数，
(1)求m的值；
(2)若点A(2，y )，B(−1，y )均在该一次函数的图象上，试比较y ，y 的大小关系，并说明理由．
1 2 1 2
(3)将点C(a，6)向下平移3个单位长度，得到点D，恰好点D在该一次函数图象上，求一次函数y=kx−2
的图象与线段CD有交点时k的取值范围．
【答案】(1)−4
(2)y −1，
故y −3时，y
随x的增大而减小；③图象关于过点(−3,0)且垂直于x轴的直线对称．其中正确的是 ．（只填序号）(5)函数y=−|x−2)+1的图象可以看作是由函数y=−|x+3)的图象向 （填“左”或“右”平移 个单位长
度，再向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度得到的．
【答案】(1)全体实数
(2)−2；−3
(3)见解析
(4)①②③
(5)右；5；上；1
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，熟练掌握相关知识点，能从图象获取函数的性质是
解题的关键；
（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m，n的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质；
（5）根据平移的性质解答即可．
【详解】（1）函数y=−|x+3)的自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：全体实数．
（2）当x=−5时，m=−|−5+3)=−2；
当x=0时，n=−|0+3)=−3；
故答案为：−2；−3．
（3）画出函数的图象如图：
（4）由图知，函数有最大值为0；当x>−3时，y随x的增大而减小；图象关于过点(−3,0)且垂直于x轴
的直线对称．故正确的是①②③；
故答案为：①②③．
（5）函数y=−|x−2)+1的图象可以看作是由函数y=−|x+3)的图象向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：右；5；上；1．
5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数y=|2x+m)（m为常数），小明用特殊到一般的方法，
探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．
(1)当m=0时，函数为y=|2x)；当m=7时，函数为y=|2x+7)，用描点法画出了这两个函数的图象，如图
所示．
观察函数图象可知：函数y=|2x)的图象关于_______对称：
对于函数y=|2x+7)，当x=_______时，y=3；
(2)当m=−4时，函数为y=|2x−4)
①在图中画出函数y=|2x−4)的图象：
②对于函数y=|2x−4)，当10，写出由函数y=|2x)的图象得到函数y=|2x+m)
的图象的平移方式．
【答案】(1)y轴，−5或−2；
(2)①见解析；②0≤ y<2
m
(3)将函数y=|2x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数y=|2x+m)的图象
2
【分析】（1）根据x=±1时，y=2，x=±2时，y=4，得到函数y=|2x)的图象关于y轴对称；
根据函数y=|2x+7)中，y=3，得到x=−5，或x=−2；
（2）①在y=|2x−4)中，取A(2,0)，B(0,4)，C(4,4)作射线AB，AC，即得函数y=|2x−4)的图象；
②根据函数图象关于直线x=2对称，点(1,2)，(3,2)对称，在1
