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第 02 讲 一次函数与正比例函数(5 类热点题型讲练)
1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)
2．掌握正比例函数的概念．(重点)
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数。
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
题型01 正比例函数的定义
例题：（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）下列函数是正比例函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义，形如 ，进行判断即可．
【详解】A： 是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意；
B： 是二次函数，不是正比例函数，不符合题意；
C： 是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；
D： 是正比例函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1】（2023春·四川广元·八年级统考期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】解：A． ，符合正比例函数的含义，故本选项正确；
B． 是和的形式，故本选项错误；
C． 自变量次数不为1，故本选项错误；
D． 自变量次数不为1，故本选项错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如 （k为常数且 ），自变量次数为1的函数是
正比例函数．
【变式2】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）若 是关于x的
正比例函数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】利用正比例函数的定义分析得出 ，再代入计算即可求解．
【详解】解： 是关于 的正比例函数，
且 ，
解得： ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．题型02 识别一次函数
例题：（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：A、 是一次函数，故此选项符合题意；
B、 是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、当 时不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、 是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：k、
b为常数， ，自变量次数为1．
【变式1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）下列函数：① ；② ；③ ；④
，其中一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据形如 ， 、 是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
【详解】解：① ；③ 是一次函数，共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如 ， 、 是常数），一次
函数解析式的结构特征： ；自变量的次数为1；常数项 可以为任意实数．
【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）给出下列函数：①
；② ；③ ；④ ．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：①、 是一次函数，故符合题意；
②、 是一次函数，故符合题意；③、 是一次函数，故符合题意；
④、 是二次函数，故不符合题意，
则是一次函数的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
题型03 根据一次函数的定义求参数
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知 ，
y是x的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：因为 是x的一次函数，
可得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键．
【变式1】（2023春·河南安阳·八年级统考阶段练习）已知函数 是一次函数，则k的值为
．
【答案】2
【分析】直接利用一次函数的定义分析得出k的值即可．
【详解】解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
解得 ，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式2】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）若函数 是一次函数，则
．
【答案】2
【分析】一般地，形如 的函数，叫做一次函数.
【详解】解：由题意可得： ，
解得 ，故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征: ，自变量的次数
为1；常数项可以为任意实数.
题型04 求一次函数自变量或函数值
例题：（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图象经过点 ，则
．
【答案】3
【分析】把点 代入一次函数 ，列出关于 的一元一次方程，解之即可得 的值．
【详解】解： 一次函数 的图象经过点 ，
把点 代入一次函数，得 ，
解得： ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函
数图象上点的特征得出关于 的一元一次方程是解题的关键．
【变式1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）若点 在函数 的图象上，则代数式
的值为 ．
【答案】5
【分析】把点 代入函数 得到 ，再利用等式的基本性质变形即可得出结论．
【详解】解： 点 代入函数 的图象上，
，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想．熟知一次函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知点 在一次函数 的图象上，则代数
式 的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把点 代入一次函数 ，进行整理即可得到 的值，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵点 在一次函数 的图象上，∴ ，
∴ ，即 ，
∴
．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，是解题的关
键．
题型05 列一次函数解析式并求值
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设
△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10
(2)P（7，3）
【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x
的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；
（2）把S=12代入函数解析式即可．
【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，
∴y=10-x，
∴OA=8，P（x，10-x）
∴S= ×8(10-x)=-4x+40．
又∵x>0，且10-x>0，
∴0<x<10．
（2）当S=12时，即12=40-4x，
解得x=7，
∴y=10-7=3，
∴S=12时，P点坐标（7，3）．
【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算．
【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以
80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．【答案】（1） ，y是x的一次函数；（2）
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为： （km），即 ；
当火车到达甲地时，即
∴ ，即火车行驶1.5h到达甲地
∴
y是x的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得： ．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【变式2】（2023秋·全国·八年级随堂练习）如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以
的速度向丙地行驶．
设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ， 是 的一次函数；（2）140
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km
∴y=100+80x
∴y是x的一次函数；
（2）当 时，得：y=100+80×0.5=140．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．一、单选题
1．（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）直线 经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将横坐标代入，检验函数值是否与纵坐标相等．
【详解】解：A. ， ，本选项不合题意；
B. ， ，本选项不合题意；
C. ， ，本选项符合题意；
D. ， ，本选项不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查点坐标与函数关系式，掌握数形结合的思想是解题的关键．
2．（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）函数 是关于x的
一次函数的条件为（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一次函数，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如 （k，b为
常数， ）的函数，叫作一次函数．
3．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤
．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为1，一次项系数不为0，逐一判断．
【详解】解：① 是一次函数；
② 是一次函数；③ 是反比例函数，不是一次函数；
④ 是一次函数；
⑤ 是二次函数，
综上分析可知，①②④是一次函数，共3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义.关键是明确一次函数解析式为整式，自变量的最高次数为1，一次项
系数不为0．
4．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点 在直线 上，则代数式 的值为
（ ）
A．3 B． C．2 D．0
【答案】A
【分析】把点 代入 ，得出 ，将其代入 进行计算即可．
【详解】解：把点 代入 得 ，
整理得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象
上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．
5．（2023春·山西朔州·八年级校考阶段练习）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入 的值是6，
则输出 的值是1，若输入 的值是2，则输出 的值是（ ）
A．4 B．10 C．19 D．21
【答案】A
【分析】根据程序框图，将 代入 求出 的值，将 代入 即可求出 的值．
【详解】当 时， ，解得： ，
当 时， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数解析式的函数值求法，熟练掌握函数解析式的代入求值是解题的关键．
二、填空题6．（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如果点 在函数 的图象上，那么 ．
【答案】5
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【详解】解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
”是解题的关键．
7．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）若 为一次函数，则 ．
【答案】0
【分析】利用一次函数的定义可得 ，求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 或 （舍去），
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
8．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）当 时，函数 是一次函数，且不是
正比例函数．
【答案】
【分析】根据一次函数的解析式为： ，则 ；根据题意， ，则 ，即可．
【详解】∵函数 是一次函数，且不是正比例函数，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）直线 经过点 ，则 的值为．
【答案】2020
【分析】把点 代入解析式，得出 ，变形为 ，由此解答即可．
【详解】解：∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标是解题的关键．
10．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，点 ， ，点P在直线 上，当
时，点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，利用两点间的距离结合 ，即可得出关于 的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【详解】解： 点 在直线 上，
设点 的坐标为 ．
，
，
即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离以及解一元一次方程，利用一次函数图
象上点的坐标特征及两点间的距离，找出关于 的方程是解题的关键．三、解答题
11．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)判断点 是否在直线 上．
【答案】(1) 的值为5
(2) 的值为6
(3)点 不在直线 上
【分析】（1）把 代入解析式求得即可；
（2）把 代入解析式求得即可；
（3）把 代入求得 的值，进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
的值为5；
（2）解：当 时， ，
解得： ，
的值为6；
（3）解：当 时， ，
点 不在直线 上．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
12．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数 ．
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；
（2）利用正比例函数定义进行解答．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ；
（2）解：由题意得： 且 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如 是常数，且 的函
数叫做正比例函数；形如 是常数，且 的函数叫做一次例函数．
13．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知函数 ，(1)当 是何值时函数是一次函数．
(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当 时的函数值．
(3)点 在此一次函数图象上，则 的值为多少．
【答案】(1)
(2) ，当 时，
(3)
【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；
（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把 代入对应的函数关系式求出此时y的值
即可；
（3）代入 ，求出此时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，函数 是一次函数；
（2）解：由（1）得 ，
∴当 时， ；
（3）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如
（其中k、b都是常数，且 ）的函数叫做一次函数．
14．（2023·陕西咸阳·校考一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活
动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支
钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支
钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和 本笔记本，设选择第一
种方案购买所需费用为 元，选择第二种方案购买所需费用为 元．
(1)请分别写出 ， 与x之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为
优惠．
【答案】(1) 与x之间的关系式为 ， 与x之间的关系式为
(2)选择方案②更为优惠【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可；
（2）将 分别代入 、 求出结果比较大小即可．
【详解】（1）解：方案①： ，
方案②： ，
与x之间的关系式为 ， 与x之间的关系式为 ；
（2）当 时， ； .
，
选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键．
15．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图1， 是三角形 的边 上的高，且 ，
，点E从点B出发，沿线段 向终点C运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点E运动时
间为 ，三角形 的面积为 ．
(1)在点E沿 向点C运动的过程中，它的速度是___________ ，用含x的代数式表示线段 的长是
___________ ，变量y与x之间的关系式为___________，
(2)当 时，y的值为___________；当x每增加1s时，y的变化情况是：___________．
【答案】(1)3， ，
(2) ，
【分析】（1）根据图2即可求得点E沿 向点C运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即
可求得 的长，进而根据三角形面积公式求得y与x的关系式；
（2）把 代入关系式即可求得y的值，直线的斜率就是函数的变化率．
【详解】（1）由图2可知，在点E沿 向点C运动的过程中，它的速度是 ，所以线段 的长是
；
根据三角形的面积公式得： ；
故答案为：3， ， ．
（2）当 时， ；由 可知， x每增加一个单位，y增加12个单位，
所以当x每增加1s时，y增加 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的性质的关系等，从函数图像中获取
信息是解题的关键．
16．（2023·全国·九年级专题练习）某花店每天购进 支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下
的这种花进行作废处理、该花店记录了 天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这 天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当 时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为： ；当 时，日利润为 元．
①当 时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率．
【答案】(1) 天；
(2)① 元；②该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率为2．
【分析】（1）当 时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可；
（2）①当 时，代入函数表达式即可求解；
②当 时，日利润y关于n的函数表达式为 ；当 时，日利润为 元， ；即当
时求得n的值，结合表中数据即可求得频率．
【详解】（1）解：当 时，该种花需要进行作废处理，
则该种花作废处理情形的天数共有： （天）；
（2）①当 时，日利润y关于n的函数表达式为 ，
当 时， （元）；
②当 时，日利润y关于n的函数表达式为 ；
当 时，日利润为 元， ，
当 时，
解得： ，
由表可知 的天数为2天，
则该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率为2．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理清题
意，正确求解．
