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第 02 讲 一次函数与正比例函数(5 类热点题型讲练)
1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)
2．掌握正比例函数的概念．(重点)
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数。
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
题型01 正比例函数的定义
例题：（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）下列函数是正比例函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义，形如 ，进行判断即可．
【详解】A： 是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意；
B： 是二次函数，不是正比例函数，不符合题意；
C： 是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；
D： 是正比例函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1】（2023春·四川广元·八年级统考期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】解：A． ，符合正比例函数的含义，故本选项正确；
B． 是和的形式，故本选项错误；
C． 自变量次数不为1，故本选项错误；
D． 自变量次数不为1，故本选项错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如 （k为常数且 ），自变量次数为1的函数是
正比例函数．
【变式2】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）若 是关于x的
正比例函数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】利用正比例函数的定义分析得出 ，再代入计算即可求解．
【详解】解： 是关于 的正比例函数，
且 ，
解得： ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．题型02 识别一次函数
例题：（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：A、 是一次函数，故此选项符合题意；
B、 是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、当 时不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、 是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数 的定义条件是：k、
b为常数， ，自变量次数为1．
【变式1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）下列函数：① ；② ；③ ；④
，其中一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据形如 ， 、 是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
【详解】解：① ；③ 是一次函数，共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如 ， 、 是常数），一次
函数解析式的结构特征： ；自变量的次数为1；常数项 可以为任意实数．
【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）给出下列函数：①
；② ；③ ；④ ．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：①、 是一次函数，故符合题意；
②、 是一次函数，故符合题意；③、 是一次函数，故符合题意；
④、 是二次函数，故不符合题意，
则是一次函数的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
题型03 根据一次函数的定义求参数
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知 ，
y是x的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：因为 是x的一次函数，
可得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键．
【变式1】（2023春·河南安阳·八年级统考阶段练习）已知函数 是一次函数，则k的值为
．
【答案】2
【分析】直接利用一次函数的定义分析得出k的值即可．
【详解】解：∵函数 是一次函数，
∴ ，
解得 ，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式2】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）若函数 是一次函数，则
．
【答案】2
【分析】一般地，形如 的函数，叫做一次函数.
【详解】解：由题意可得： ，
解得 ，故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征: ，自变量的次数
为1；常数项可以为任意实数.
题型04 求一次函数自变量或函数值
例题：（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图象经过点 ，则
．
【答案】3
【分析】把点 代入一次函数 ，列出关于 的一元一次方程，解之即可得 的值．
【详解】解： 一次函数 的图象经过点 ，
把点 代入一次函数，得 ，
解得： ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函
数图象上点的特征得出关于 的一元一次方程是解题的关键．
【变式1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）若点 在函数 的图象上，则代数式
的值为 ．
【答案】5
【分析】把点 代入函数 得到 ，再利用等式的基本性质变形即可得出结论．
【详解】解： 点 代入函数 的图象上，
，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想．熟知一次函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知点 在一次函数 的图象上，则代数
式 的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把点 代入一次函数 ，进行整理即可得到 的值，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵点 在一次函数 的图象上，∴ ，
∴ ，即 ，
∴
．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，是解题的关
键．
题型05 列一次函数解析式并求值
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设
△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，00，且10-x>0，
∴0
