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第26课 平面向量的概念及线性运算（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类
讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 同向共线， ，
若 反向共线， ，
若 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 .
综上可知对于任意向量 ，必有 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023春·新疆·高一八一中学校考期末）如图， 中， ， ，点E是 的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【详解】
故选：B.
3．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）如图所示，在 中，点 是线段 上靠近A的三等分
点，点 是线段 的中点， 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】 .
故选：B
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知向量 ， 不共线，向量
， ，若O，A，B三点共线，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据O，A，B三点共线，则 ， ， ，代入整理．
【详解】因为O，A，B三点共线，则
所以 ， ，即
整理得：
又∵向量 ， 不共线，则 ，则
故选：A．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
【答案】AD
【分析】A选项，根据 得到点B在线段 上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D
选项，根据向量线性运算推导出答案.
【详解】选项A：由 得点B在线段 上，则 ，A正确：
选项B；三角形 ， ，但 ，B错误；
对于C： ， 反向共线时， ，故 ，C错误；
选项D： , 反向共线时， ，故D正确．故选：AD．
6．（2023·广东·高三专题练习）在 中，已知 ， ， ，BC，AC边上的两条中
线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的余弦值为 D．
【答案】ABD
【分析】求得 的长度判断选项A；求得 的长度判断选项B；求得 的余弦值判断选项C；求
得 的化简结果判断选项D.
【详解】连接PC，并延长交AB于Q，
中， ， ， ，
则 ， ,
，
，
，
选项A:
.判断正确；选项B:
.判断正确；
选项C:
.判断错误；
选项D: .
判断正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 为平面向量， ，则
B．若 为平面向量， ，则
C．若 ， ，则 在 方向上的投影为
D．在 中，M是AB的中点， ＝3 ，BN与CM交于点P， ＝ + ，则λ＝2μ
【答案】CD
【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可
判断D.
【详解】A，若 ，则 与任意向量共线，所以 与 不一定平行，故A错误；
B，若 ，则 ， ，当 共面时， ，
若 不共面时， 与 不平行，故B错误；C，若 ，则 ，所以 ，
在 方向上的投影为 ，故C正确；
D， ，设 ,
则
，
设 ，则 ，即 ，①
，设 ，
，
，即 ，②
由①②可得 ， ，即 ，故D正确.
故选：CD
三、填空题
8．（2023春·上海浦东新·高一校考期中）在 中, ,且 在 方向上的数量投影是-2,则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据 在 方向上的数量投影先求出 ,取 ,则 ,即求
的最小值,过点 作 的垂线即可求得.【详解】解:由题知 在 方向上的数量投影是-2,
,
,
,即 ,
记 ,
则 ,
若求 的最小值即求 的最小值,
过点 作 的垂线交 于点 ,此时 最小,
如图所示:
,
故答案为:
9．（2023春·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图,在平行四边形 中,点E是
CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且 ,若 ,则
.【答案】
【分析】根据题意可知 , ,根据平面向量基本定理,将 用 线性表示,根据两个
向量相等即可得 的值,进而得出结果.
【详解】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以 ,
所以
,
因为 不共线,所以 ,故 .
故答案为:
四、解答题
10．（2022春·广东茂名·高一校联考阶段练习）设 ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， .
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若 ，且B，D，F三点共线，求k的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）12.
【分析】（1）通过证明 可得结果；
（2）由共线定理得 ，列出关于 的方程解出即可.
【详解】（1）证明：由已知得 ，
∵ ，∴ .
又 与 有公共点B，∴A，B，D三点共线．
（2）由（1）可知 ，
∵ ，且B，D，F三点共线，
∴ ，
即 ，∴ ，
解得 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量 两两所成的角相等，且
，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【分析】先求出 ，转化 ，列方程即可求出.
【详解】由不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等，可设为θ，则 .设| |=m.
因为 ，所以 ，
即 ，
所以
即 ，解得： 或3.
所以| |=2或3
故选：D二、多选题
2．（2023春·高一单元测试）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象
征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一
个正五边形组成．已知当 时， ，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】连接DH，AF，CH，BH，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.
【详解】对于A，连接DH，如图，由DF=FH， 得： ， ，A正
确；
对于B，连接AF，由 得：AF垂直平分DH，而 ，即 ，则 ，
B正确；
对于C， 与 不共线，C不正确；
对于D，连接CH，BH，由选项A知， ，而 ，则四边形 是平行四边形，，D不正确.
故选：AB
三、填空题
3．（2023春·江西宜春·高一校考期中）已知四边形 中， ， ， ，
点E是 的中点，则 .
【答案】
【分析】如图，分别过点 作 ,垂足分别为 ,求出 ，再利用平面向量
的线性运算和数量积运算求解.
【详解】解：如图，分别过点 作 ,垂足分别为 . 由题得四边形 为等腰梯
形， ,所以 .
由题得
.
故答案为：
四、解答题
4．（2022春·广东茂名·高一校联考阶段练习）设 ， 是两个不共线的向量，已知 ，， .
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若 ，且B，D，F三点共线，求k的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）12.
【分析】（1）通过证明 可得结果；
（2）由共线定理得 ，列出关于 的方程解出即可.
【详解】（1）证明：由已知得 ，
∵ ，∴ .
又 与 有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）由（1）可知 ，
∵ ，且B，D，F三点共线，
∴ ，
即 ，∴ ，
解得 .
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·全国·高一专题练习）定义平面向量的一种运算“ ”如下：对任意的两个向量 ，
，令 ，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的 ，有B．存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立
C．若 与 垂直，则 与 共线
D．若 与 共线，则 与 的模相等
【答案】AD
【分析】由 表示出 和 ，即可判断A；假设存在唯一确定的向
量 使得对于任意向量 ，都有 成立，即方程组
，对任意 恒成立，解方程可判断B；若 与 垂直，则 ，设
，分别表示出 与 即可判断C；若 与 共线，则 ，设 ，
分别表示出 与 即可判断D.
【详解】设向量 ， ，对于A，对任意的 ，有
，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立，即
恒成立，即方程组
，对任意 恒成立，而此方程组无解，故B不正确；
对于C，若 与 垂直，则 ，设 ，则，
，其中 ，故C不正确；
对于D，若 与 共线，则 ，设 ，
，
，所以 与 的模相等，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解
决问题的能力.
二、填空题
2．（2023春·江西九江·高一校考期中）设 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 .若存
在 ，使得 与 垂直，且 ，则 的最小值为
.
【答案】
【分析】根据向量的线性运算，令 ，
，从而得出有 共线，结合题设推出 ，
当且仅当 时， 取最大值2，此时 面积最大，则O到 的距离最远，此时 取到
最小值，即可求解.【详解】如图示， 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 ，
由题意得： ，
令 ，则 三点共线
，则 三点共线
故有 共线，
由题意 与 垂直, ,
知 ,且 为定值，
在 中， ，当且仅当 时， 取最大值2，
此时 面积最大，则O到 的距离最远，而 ，
故当且仅当 即 关于y轴对称时， 最小，
此时O到 的距离为 ，
所以 ,故 ，即 的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】方法点睛：根据向量的线性运算，可令 ，，从而得出 共线,由此根据题设可推出
，即当且仅当 即 关于y轴对称时， 最小，从而问题可解.
