重难点突破06立体几何中轨迹、翻折、探索性问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第七章空间向量与立体几何

重难点突破 06 立体几何中轨迹、翻折、 探索性问题 一．选择题（共3小题） 1．如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹长度为 A． B． C． D． 【解答】解：若直线 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆锥的侧面与正 方体的表面的交轨， 在平面 内，点 的轨迹为对角线 （除掉 点，不影响）； 在平面 内，点 的轨迹为对角线 （除掉 点，不影响）； 在平面 内是以点 为圆心2为半径的 圆弧，如图， 故点 的轨迹长度为 ． 故选： ．2．如图，已知正三棱台 的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点 在侧面 内运动（包含边界），且 与平面 所成角的正切值为 ，则所有 满足条件的动点 形成的轨迹长度为 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，延长正三棱台侧棱相交于点 ，取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，则有 ， 所以 的延长线必过点 且 ， ， 过点 作 ， ，则四边形 是边长为2的菱形， 如图所示：在 中， ，即 ， 解得 ，所以 ， 所以 为边长为6等边三角形， 所以 ， ， 所以 ， 因为 是边长为3的等边三角形且 为 中点， 所以 ， ， 在 中，由余弦定理得： ， 在 中，由余弦定理得： ， 解得 ，所以 ，所以 ， 由 ， ， ， ， 平面 ， 可得 平面 ，又 平面 ，所以 ， 由 ， ， ， ， 平面 ， 可得 平面 ， 因为 与平面 所成角的正切值为 ， 所以 ，解得 ， ， 所以点 在平面 的轨迹为以 为原点的圆被四边形 所截的弧 ， ， 设 的长度为 ，则 ， 所以所有满足条件的动点 形成的轨迹长度为 ． 故选： ． 3．已知正方体 中， ，点 为平面 内的动点，设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点 的轨迹所围成的面积为 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，连接 交平面 于 ，连接 ， 由题意可知 平面 ，所以 是 与平面 所成的角，所以 ，由 ，可得 ，即 ， 在四面体 中， ， ， 所以四面体 为正三棱锥， 为 的重心，如图所示： 所以解得 ， ， 又因为 ，所以 ， 即 在平面 内的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆， 所以 ． 故选： ． 二．多选题（共2小题） 4．正方体 的棱长为1， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则正 确的是A． B． 平面 C．点 、 到平面 的距离相等 D．若 为底面 内一点，且 ，则点 的轨迹是线段 【解答】解：以点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，1， ， ，1， ， ， ， ， ， ， ， 故 错误； ．设平面 的法向量为 ， ，， 则 ， ，令 ，则 ， 且 平面 ， 平面 ； ， ， 点 到平面 的距离为 ， 点 到平面 的距离为 ， 点 、 到平面 的距离相等，故 正确； ．设 ， ， ， ， ， ， ， ，1， ， ， ， 点 坐标满足 且 ， ， 故点 的轨迹是一条线段，故 正确． 故选： ． 5．已知直四棱柱 ，底面 是菱形， ，且 ，为 的中点，动点 满足 ，且 ， ， ，则下列说法正确 A．当 平面 时， B．当 时， 的最小值为 C．若 ，则 的轨迹长度为 D．当 时，若点 为三棱锥 的外接球的球心，则 的取值范围 为 【解答】解：因为动点 满足 ，且 ， ， ， 所以点 为矩形 内一点（含边界）， 对于选项 ，取 的中点 ， 中点 ，连接 ， ， 因为 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 同理 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 ， ， 平面 ， 所以平面 平面 ， 因为 平面 ，则 的轨迹是线段 ， 所以 ， 又 ，所以 ， ， ，故 错误； 对于选项 ，因为 ， ，且 ， ， ， ， 所以 ，所以 ， ， ， 所以 的轨迹是 ， 由已知， ，所以 ，又 ， 所以四边形 为正方形，所以 的最小值为 ，故 正确； 对于选项 ，分别取 ， 中点 ， ， 因为底面 为菱形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，且两直线在平面内， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ． 因为四边形 为正方形，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 的轨迹为 ， 又 ，故 错误； 对于 ，取 的中点 ，连接 交 于点 ，过 作 交 于点 ， 当 时， ， ， 所以 的轨迹是线段 ， 因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ， 又因为 为三棱锥 的外接球球心，所以 ， 所以点 在直线 上， 在 中， ，则点 在线段 的垂直平分线上， 所以点 为直线 与线段 的垂直平分线的交点， 当 与 重合时，点 为 ； 当 与 重合时，点 为 ； 当 在线段 上时，点 在线段 上；因为 ，所以 ， ， 因为 ， ， ，且 ，所以 的取值范围是 ，故 正确． 故选： ． 三．解答题（共10小题） 6．如图，在三棱柱 中，△ 为等边三角形，四边形 为菱形， ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的正弦值为 ？ 若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图，连接 与 相交于点 ，连接 ，四边形 为菱形， ， △ 为等边三角形， 是 的中点， ， 又 、 面 ， ， 面 ，又 面 ， ， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ． （2）解：设 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ， 由（1） 平面 ，所以平面 面 ，作 ，所以有 平面 ， 又因为△ 为等边三角形， ， 平面 以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系则 ， ， ， ，2， ， ，2， ， ， ， ， ， 设 ， ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量 ， 则有 ， 当 时，则 ，则平面 和平面 垂直，显然不可能，即 ， 令 ，则 ， 由题易知，平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 的夹角为 ， ， ， ， ，解得 ， ， ， ， 点 存在， ． 7．如图，在三棱锥 中， ， ， ．（1）证明：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的正切值为 ？若存在，求 出 的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：在 中， ， 所以 ， 过点 作 于点 ，连接 ， 则 ， 因为 ， ， 为公共边， 所以 ． 所以 ，且 ， 又 ，所以 ，所以 ， 又因为 ， 平面 ， ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面 平面 ． （2）过点 作 于点 ， 过点 作 （或 的延长线）于点 ，连接 ， 因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 而 平面 ，所以 ，又 ， ， 所以 平面 ，所以 ，所以 即为二面角 的平面角．设 ，因为 ，所以 ， 所以 ， ， ， 由（1）得 ，则 ， 故 ， 所以 ， 得 ， 所以当 时，二面角 的正切值为 ． 8．在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，线 段 与 交于 点（如图 ．将 沿 折起到 位置，使得平面 平 面 （如图 ．（1）求二面角 的余弦值； （2）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为 ， ， ， 为 的中点， 所以 ， ， ，所以 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，所以 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的建立空间 直角坐标系， 则 ，0， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，得 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，得 ， 设二面角 的平面角为 ，由图可知， 为锐角，所以 ， 则二面角 的余弦值为 ； （2）设 ，则 ，因为 ，1， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， 由（1）知平面 的一个法向量为 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ， 化简得 ，解得 或 （舍去）， 故存在 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ． 9．如图，在四棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点． （1）求证 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值，若不存在， 说明理由．【解答】解：（1）证明： 平面 ， 平面 ， ， 为等边三角形， 为 中点， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ． （2）取 中点 ，连接 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， ， 为 中点， 为等边三角形， ， ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 四边形 为平行四边形， ， 如图，以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 则 ，0， ， ， ， ， ， 平面 ，可以作为平面 的一个法向量， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， ， 平面 的一个法向量为 ， ， 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． （3） ，0， ， ，2， ， ， ， 设 ，则 ， 平面 ， ，解得 ， 所以在棱 上存在点 使 平面 ，此时 ． 10．在直角梯形 中， ， ， ，如图 （1）．把 沿 翻折，使得平面 平面 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明： ， ， ， ， ， 又 ， ， ，则 ． 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ； （Ⅱ）解： 平面 ， ． 以点 为原点， 所在的直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 作垂直平面 的 直线为 轴，建立空间直角坐标系 ， 如图．由已知，得 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ． ， ． 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，得平面 的一个法向量为 ． 假设存在点 ，使得 与平面 所成角为 ， 设 ， ，则 ， ， ， ． ，可得 ，解得 或 （舍去）． 综上所述，在线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角为 ， 此时 ． 11．如图甲所示，在平面四边形 中， ， ， ，现将平面 沿 向上翻折，使得 ， 为 的中点，如图 乙． （1）证明： ； （2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与 平面 所成仍的余弦值． 【解答】（1）证明：连接 ， ， ，且 是 的中点，， ， ， ， ， 是 得中点， ， 又 ， ， ，又 ， 平面 ， ； （2）解：由（1）知， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ． 在平面 内，过 作 ． 以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系． 则 ，0， ， ， ， ， ， ，1， ． ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，取 ，得 ， 设 ， 则 ．由直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 可得 ， ， 整理得： ，解得 ， ，即 ， ， ， ， ，0， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，取 ，可得 ， 平面 的一个法向量为 ， ， ， ， ， 平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 12．如图1，已知 是直角梯形， ， ， ， 、 分 别为 、 的中点， ， ，将直角梯形 沿 翻折，使得二面角 的大小为 ，如图2所示，设 为 的中点． （1）证明： ； （2）若 为 上一点，且 ，则当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【解答】解：（1）证明：如图 1，已知 是直角梯形， ， ， ， 、 分别为 、 的中点， ， ， 将直角梯形 沿 翻折，使得二面角 的大小为 ，如图2所示，设 为 的中点． 由图1得： ， ，且 ， 在图2中 平面 ， 是二面角 的平面角，则 ， 是正三角形，且 是 的中点， ， 又 平面 ， 平面 ，可得 ， ， ， 平面 ． 平面 ， 平面 ， ． （2） 平面 ，过点 做 平行线 ， 以点 为原点， ， 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，如图， 则 ， ， ， ，0， ，设 ， ， 则 ， ， ， ． ， ． ， ， 设平面 的法向量为 则 ，取 ，得 ， 设直线 与平面 所成角为 ， ， ，解得 或 ． 故当 为 或 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 13．如图1，在边长为4的菱形 中， ，点 ， 分别是边 ， 的 中点， ， ．沿 将 翻折到 的位置，连接 ， ， ，得到如图2所示的五棱锥 ．（1）在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论； （2）当四棱锥 体积最大时，求点 到面 的距离； （3）在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成 角的余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在翻折过程中总有平面 平面 ， 证明：折叠前，因为四边形 是菱形，所以 ， 由于 ， 分别是边 ， 的中点，所以 ， 所以 ， 折叠过程中， ， ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 平面 ， 由于 平面 ，所以平面 平面 ． （2）当平面 平面 时，四棱锥 体积最大， 由于平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ， 菱形 边长为4，且 ，所以 ， ， ，在 △ 中， ， 所以 ， ，设点 到面 的距离为 ， 则由等体积法有 ， 即 ，即 ，所以 ， 所以点 到面 的距离为 ． （3）存在，理由如下： 在点 处有 ， ， 两两互相垂直， 则以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 依题意可知 ， ， ， 设 ， 则 ， 平面 的法向量为 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 故可设 ， 设平面 与平面 所成角为 ， 由于平面 与平面 所成角的余弦值为 ， 所以 ， 解得 或 （舍去），所以当 是 的中点时，平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 14．如图1，在菱形 中， ，将 沿着 翻折至如图2所示的△ 的位置，构成三棱锥 ． （1）证明： ． （2）若平面 平面 ，求 与平面 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， 因为 是菱形， ， 所以 ， 为等边三角形， 所以 ， ， 又因为 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； （2）解：因为平面 平面 ，且平面 平面 ， ，所以 平面 ， 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，则 ，1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 ，则 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ． 15．如图，平面五边形 中， 是边长为 2 的等边三角形， ， ， ，将 沿 翻折，使点 翻折到点 ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在平面图形中取 中点 ，连接 ， ， 是边长为2的等边三角形， ， ，故翻折后有 ， 又 ， ， ， ，且 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ， 二面角 的平面角为 ， 在 中， ， ， 由余弦定理得 ， ， 二面角 的大小是 ， 在平面 内作 ，交 于 ， 平面 ， 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建 立空间直角坐标系，由（Ⅰ）得四边形 为矩形， ， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，得 ，1， ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则直线 与平面 所成角的正弦值为： ．