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高考专题突破二 高考中的解三角形问题
题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (10分)(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理
由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C
＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
规范解答
解 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.[2分]
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，[6分]
由此可得b＝c.[7分]
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.[9分]
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.[10分]
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.[2分]
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，[6分]
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.[7分]
由②csin A＝3，得c＝b＝2，a＝6.[9分]
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.[10分]
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.[2分]
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，[6分]
由此可得b＝c.[7分]
由于③c＝b，与b＝c矛盾．[9分]
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．[10分]第一步：根据C＝及余弦定理得出a，b，c的关系；
第二步：根据条件sin A＝sin B得出a，b的关系，从而得出b，c的关系；
第三步：结合自然条件即可求出各边长；
第四步：下结论，判断三角形解的情况．
[高考改编题] 在①cos 2B－sin B＋2＝0；②2bcos C＝2a－c；③＝三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且a，b，c成等差数列，
则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 选条件①.
因为cos 2B＝1－2sin2B，
所以2sin2B＋sin B－3＝0，
即(2sin B－)(sin B＋)＝0，
解得sin B＝－(舍去)或sin B＝.
因为00，即cos B＝.
因为00，所以x＝－1，
所以cos∠BDC＝cos∠ABD＝－1.
思维升华 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求
解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
跟踪训练2 (2020·河南、河北重点中学联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccos C＝b，D，E均为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE
＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
解 (1)因为c＝4，b＝2,2ccos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝6，
所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2，
所以CE＝BC＝，DE＝DC－EC＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.所以S ＝S －S
△ADE △ACD △ACE
＝AC·CDsin C－AC·ECsin C
＝AC·(CD－EC)sin C
＝DE·ACsin C＝.即△ADE的面积为.
题型三 解三角形中的最值与范围问题
例3 (2020·湖北七市联考)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
＋＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围．
解 (1)由已知条件，得bcos A＋acos B＝bsin C.
由正弦定理，得sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin Bsin C，
即sin(A＋B)＝sin Bsin C.
又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0，
所以sin B＝.因为B是锐角，所以B＝.
(2)由正弦定理，得＝＝＝＝4，
则a＝4sin A，c＝4sin C.
所以a＋c＝4sin A＋4sin C＝4sin A＋4sin
＝6sin A＋2cos A＝4sin.
由0
