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跟踪训练 04 余弦定理、正弦定理
一．选择题（共15小题）
1．在△ABC中，若asinB=√3bcosA，且sinC＝2sinAcosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，
且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠OBE的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，在△ABC中，AB＝10，以点B圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB，BC点于
1
M，N，分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 O．作射线
2
BO交AC于点D．过点D作DE∥BC，交AB点E，若AD＝4，则△ADE的周长等于（
）
A．6 B．8 C．14 D．18
4．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的
总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点 C与D，现测得∠BCD＝
30°，∠BDC＝45°，CD＝20米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（
）A．10（3+√3） B．10（√3+1） C．20（√3−1） D．20（3−√3）
5．关于题目：“在△ABC 中，BC＝4，点 D 为 BC 边上一点，AD＝2，且∠BAC＝
2∠BAD”，甲、乙、丙、丁四名同学研究它的周长时，得出四个结论：
甲：△ABC周长的最小值为4+2√2；
乙：△ABC周长的最大值为4+2√3；
丙：△ABC周长的最小值为4(1+√2)；
丁：△ABC周长的最大值为4(1+√3)．
你认为四人中得出正确结论的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝csinB+bcosC，b＝4，则
a−c
=（ ）
sinA−sinC
A．4 B．6 C．4√2 D．6√2
7．如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝4，EF＝3，FC＝
5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2√5 B．3√5 C．2√10 D．3√10
8．在△ABC中，|AB|＝5，|BC|＝6，|AC|＝7，则△ABC的面积是（ ）
15√3
A． B．6√6 C．12 D．12√6
2
sinA
9．在锐角△ABC中，若B＝2A，则 的取值范围是（ ）
sinB1 1 √3 √2 1 1
A．(√2，√3) B．[− ， ] C．( ， ) D．(− ， )
2 2 3 2 2 2
π 2√7
10．在△ABC中，若A= ，cosB= ，b＝2，则a＝（ ）
3 7
A．√3 B．√5 C．3 D．√7
π
11．已知△ABC中，内角A，B，C满足A+sinC＞ +cosB，则（ ）
2
sinC sinB
A．cos2C+cos2B＜cos2A B． + ≥2
cosB cosC
C．b＞acosC D．sin2C+sin2B＜sin2A
12．在△ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2＝a2+c2+ac，则角 B＝
（ ）
π π 3π 2π
A． B． C． D．
6 3 4 3
13．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向
平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA'等于（
）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
3
14．在△ABC中，BD平分∠ABC，且BD交AC于D，若BD=2，cos∠ABC= ，则
5
AB+4BC的最小值为（ ）
9√5 9
A．5 B． C． D．5√5
2 2
15．西昌市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了
C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为 45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝
120°，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ）A．9米 B．12米 C．13√3米 D．15米
二．多选题（共5小题）
（多选）16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，且a2﹣
c2＝2，则下列结论正确的是（ ）
3
A．a＜
2
B．tanA+3tanC＝0
π
C．角B的最大值为
3
D．△ABC的外接圆面积的最小值为
（多选）17．在△ABC中，下列说法正确π的是（ ）
π
A．若a＝2bsinA，则B=
6
B．若A＞B，则sinA＞sin B
C．AB＝2√2，∠B＝45°，若AC=√6，则这样的三角形有两个
D．若b2+c2＞a2，则△ABC为锐角三角形
√3a b
（多选）18．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2＝ca且 = ，
sinA cosB
则下列说法正确的是（ ）
A．B＝30°
→ →
AB CB →
B．( + )⋅AC=0
→ →
|AB| |CB|
C．△ABC为等腰非等边三角形
D．△ABC为等边三角形
（多选）19．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有
（ ）→ → 3
A．若a=√10，b＝2，c＝3，则BA⋅AC=
2
B．若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB＞cosA+cosB
C．若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形
D．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC是等边三角形
（多选）20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立的是（
）
A．c＝a•cosB+b•cosA
A+B
B．2sin2 =1+cosC
2
C．a2﹣b2＝c•（a•cosB﹣b•cosA）
tanA+tanB
D．tanC=
1−tanAtanB
三．填空题（共5小题）
21．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，c＝7，C＝60°，则
sinB＝ ．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为
AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上
时，AN的长度为 ．
23．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，BC=2√7，∠BAC的角平分线交BC于D，则
AD＝ ．
24．已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r＝ ．
25．在△ABC中，a=√7，b＝2，C＝2B，则AB的长为 ．
四．解答题（共3小题）
B+C π
26．在①2acosC＝2b﹣c，②√3bcos =asinB，③asinC=ccos(A− )这三个条
2 6
件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____（填序号）．9
（1）若a=√3，cos(B−C)= ，求△ABC的面积；
10
b+c
（2）求 的取值范围．
a
27．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候
仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，B，C，D三地位于同一水平
面上，这种仪器在B地进行弹射实验，观测点C，D两地相距100m，∠BCD＝60°，在
2
C地听到弹射声音的时间比D地晚 秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为
17
30°．（已知声音的传播速度为340m/s）
求：（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．
28．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA＝2ccosB，
（1）求B；
（2）请指出△ABC不满足下面的哪一个条件并说明理由，根据另外两个条件，求△ABC的面积．
√2
①cosA=− ；②b＝3；③△ABC的周长为9．
2
