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第12章 全等三角形单元测试卷周练卷（解析版）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．如图，△ABC≌△AEF，AC与AF是对应边，那么∠EAC等于（ ）
A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC
【思路引领】运用“全等三角形的对应角相等”即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，AC和AF是对应边，
∴∠BAC＝∠EAF，
即∠BAF+∠FAC＝∠EAC+∠FAC，
∴∠EAC＝∠BAF，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
2．如图的两个三角形全等，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【思路引领】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣58°﹣62°＝60°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠C＝60°，
故选：C．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解
题的关键．
3．如图，在△ABC 和△ABD 中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使
△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠CBE＝∠DBE
【思路引领】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两
三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．
【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，不符合题意；
B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，符合题意；
C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，不符合题意；
D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，不符合题意；
故选：B．
【总结提升】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个直角三角形全等
【思路引领】根据全等三角形的判定定理和等边三角形的性质逐个判断即可．
【解答】A．错误，应为有两边和夹角对应相等的两个三角形全等，所以此项为假命题，不符合题意；
B．正确，有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等为真命题，符合题意；
C．错误，应为应为有两边和夹角对应相等的两个三角形全等，所以此项为假命题，不符合题意；
D．错误，应为两个直角三角形的一条斜边与一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，所以此项为假命题，不符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理和等边三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是
解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠B D．AB＝BC
【思路引领】根据平行线的性质可得∠A＝∠D，再根据等式的性质可得AC＝BD，然后根据SAS来证
明△EAC≌△FDB，即可解答．
【解答】解：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE＝DF，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：A．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝9cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【思路引领】过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥EF于N，求出△DEF的面积，根据三角形的面积公
式求出即可．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥EF于N，
∵△ABC≌△DEF，
∴△ABC的面积和△DEF的面积相等，
∵EF＝9cm，△ABC的面积为18cm2，
1
∴ ×EF×DN＝18，
2∴DN＝4（cm），
∴EF边上的高为4cm，
故选：B．
【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，关键是能根据已知得出△DEF的面积．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的
平分线，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．60° C．30° D．75°
【思路引领】先得出∠CAD＝∠BAD，再根据等腰三角形的判定得出AD＝DB，推出∠B＝∠EAD，进
而得出∠CAD＝∠EAD＝∠B，根据∠CAD+∠EAD+∠B＝90°，即可得出答案．
【解答】解：∵∠BAC＝2∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE是∠ADB的平分线，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∴∠B＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD＝∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故选：C．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正确理解题意是解决问题的关键．
8．如图，AB＝AC，BD＝EC，AF⊥BC，则图中全等三角形有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【思路引领】共有四对．分别为△ABD≌△ACE，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ABE≌△ADC
要从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一个个进行验证，做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，BD＝EC，
∴△ABD≌△ACE．（SAS）
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF．（HL）
∵AB＝AC，AF＝AF，
∴△ABF≌△ACF．（HL）
∵BE＝CD，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABE≌△ADC．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
【总结提升】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、
HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角
对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．右图为边长相等的6个正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．60° B．90° C．100° D．135°
【思路引领】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．
故选：D．
【总结提升】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图
形的能力，难度一般．
10．如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝4，BC＝6，则△ADE的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．无法确定
【思路引领】过点 D 作 DG⊥BC 于 G，过点 E 作 EF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F，先证明
△EDF≌△CDG（AAS），从而得EF＝CG，再证明四边形ABGD为矩形，然后利用EF＝CG＝BC﹣BG
＝BC﹣AD，求得EF的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于G，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F
又∵CD⊥DE
∴∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°
∴∠EDF＝∠GDC∴在△EDF和△CDG中
{
∠F=∠GDC
)
∠EDF=∠GDC
ED=CD
∴△EDF≌△CDG（AAS）
∴EF＝CG
∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC
∴∠BAD＝∠B＝∠DGB＝90°
∴四边形ABGD为矩形
∴BG＝AD＝4
又∵BC＝6
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝6﹣4＝2
△ADE的面积为：AD×EF÷2＝4×2÷2＝4
故选：B．
【总结提升】本题考查了全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，属于中档题．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF的长为
【思路引领】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF＝6．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{ AB=DE )
，
∠B=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF＝6．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，关键是得到△ABC≌△DEF．
12．如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D
处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 20 0 m．
【思路引领】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE＝DC，再求出DC的长即可．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴DE＝DC，
∵BC＝1000m，BD＝800m，
∴DC＝BC﹣BD＝200m，
∴DE＝DC＝200m，
即此时这个人到AB的最短距离为200m，
故答案为：200．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
13．已知△ABC≌△PMN，如图，则x＝ 1 9 ，y＝ 1 7 度．【思路引领】只要找准找准全等三角形的对应边、对应角，然后根据全等三角形的性质可得结果，此题
易做．
【解答】解：△MNP中，∠M＝180﹣45﹣118＝17°
∵△ABC≌△PMN，
∴MP＝AB，∠B＝∠M（全等三角形的对应边相等，对应角相等），
∴2x＝AB＝38，
∴x＝19，y＝17°．
【总结提升】本题考查了全等三角形的性质；解决本题的关键是理解全等三角形的性质，全等三角形的
对应边相等，对应角相等．是需要熟记的内容．
14．如图，已知∠DCE＝∠A＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，BE＝8cm，则AD+AB＝ 8 cm．
【思路引领】本题可先根据AAS判定△ADC≌△BCE，从而可得出对应边AD＝BC、AC＝BE，那么所
求两边和即为BE的长，由此可得出所求的解．
【解答】解：∵∠DCE＝∠A＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝90°，∠D+∠DCA＝90°；
∴∠D＝∠ACE；
∵∠A＝90°，BE⊥AC，DC＝EC，
∴△ADC≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BC，AC＝BE；
∴AD+AB＝BC+AB＝AC＝BE＝8cm．
故填8．【总结提升】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．本题利用角互余得到角相等时关键．
15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝7，DE
＝4，则△BCD的面积是 1 4 ．
【思路引领】先根据角平分线的性质得出DF的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝4，
∴DE＝DF＝4，
∵BC＝7，
1 1
∴S△BCD =
2
BC•DF =
2
×7×4＝14．
故答案为：14．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．
16．如图，△ABC的顶点均在坐标轴上，AD⊥BC于E，交y轴于点D，已知B、C的坐标分别为B（0，
3），C（1，0），若AD＝BC，则△ABC的面积为 ．
【思路引领】依据AD⊥BC，BO⊥AC，AD＝BC，即可得到△AOD≌△BOC，进而得出AO＝BO＝3，
1
再根据△ABC的面积= ×AC×BO，即可得到结论．
2
【解答】解：∵AD⊥BC，BO⊥AC，
∴∠OAD＝∠OBC，∠BOC＝∠AOD＝90°，
又∵AD＝BC，∴△AOD≌△BOC，
∴AO＝BO＝3，
又∵CO＝1，
∴AC＝4，
1 1
∴△ABC的面积为 ×AC×BO= ×4×3＝6，
2 2
故答案为：6．
1
【总结提升】本题主要考查了三角形的面积，三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S△ =
2
×
底×高．
17．如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与
△ABC全等，这样的格点三角形可以最多画出 个．
【思路引领】根据全等三角形的判定作出图形即可．
【解答】解：如图，满足条件的三角形共有4个，
故答案为：4．
【总结提升】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等
三角形的判定，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，6），点C在x轴上运动
（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与△AOB
全等时，则点D的坐标为 （ 0 ，﹣ 6 ）或（ 0 ，﹣ 3 ）或（ 0 ， 3 ） ．【思路引领】分三种情况讨论：①当点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上时，
△AOB≌△COD，②当点C在x轴负半轴上，点D在y轴上时，△AOB≌△DOC，③当点C在x轴的
正半轴上，点D在y轴上时，△AOB≌△DOC，分别根据全等三角形的对应边相等，即可得到点C的坐
标．
【解答】解：当点C在x轴负半轴上，点D在y轴负半轴上时，△AOB≌△COD，
∴DO＝BO＝6，
∴D（0，﹣6）；
当点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上时，△AOB≌△DOC，
∴DO＝AO＝3，
∴D（0，3）；
当点C在x轴的正半轴上，点D在y轴负半轴上时，△AOB≌△DOC，
∴DO＝AO＝3，
∴D（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣3）或（0，3）
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定以及坐标与图形性质，解决问题的关键是依据点 D的
不同位置进行分类讨论．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（6分）（2021春•漳州期末）如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，其交点为O，可以做成一
个测量工件内槽宽的工具（卡钳），只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD的长度，请说明理由．
【思路引领】因为是用两钢条AB，CD的中点O中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对
应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．【解答】解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOC与△BOD中，
{
OA=OB
)
∠AOC=∠BOD ，
OC=OD
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC＝BD．
【总结提升】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
20．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AB＝DE
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【思路引领】（1）根据HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
{AB=DE)
，
BC=EF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三
角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，
1
再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
2
（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：AN＝MN．
【思路引领】（1）根据AB∥CD，∠ACD＝114°，得出∠CAB＝66°，再根据AM是∠CAB的平分线，
即可得出∠MAB的度数；
（2）由AB∥CD，得出∠MAB＝∠CMA，AM是∠CAB的平分线，∠MAB＝∠CAM，得出∠CAM＝
∠CMA，得出△ACM为等腰三角形，再由CN⊥AM三线合一求得结论即可．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝66°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
1
∴∠MAB= ∠CAB＝33°；
2
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠MAB＝∠CMA，
∵AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴CA＝CM，又∵CN⊥AM，
∴AN＝MN．
【总结提升】此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质（三线合一）
等知识解决问题．
22．（10分）（2018春•盐湖区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD
于D，AE＝5cm，BD＝2cm，
（1）求证：△AEC≌△CDB；
（2）求DE的长．
【思路引领】（1）利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证△AEC≌△CDB；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝CD，CE＝BD，所以DE可求出．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠DCB＝90°，
∵AE⊥CD于E，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCB，
∵BD⊥CD于D，
∴∠D＝90°，
在△AEC和△CDB中，
{
∠CAE=∠DCB
)
∠AEC=∠D=90° ，
AC=BC
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）∵∴△AEC≌△CDB，
∴AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm，
∴DE＝CD﹣CE＝3cm．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据
已知条件判定三角形的全等．23．（14分）（2022秋•东宝区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC
于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求证：BC﹣CD＝2BE；
（3）请直接写出BC+CD与CE之间的数量 BC + CD ＝ 2 CE （不证明）．
【思路引领】（1）由角平分线的性质可得AE＝AF，由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）证明△ACF≌△ACE（AAS），推出CF＝CE，由△ABE≌△ADF，推出BE＝DF，利用线段和差
定义证明即可；
（3）利用（2）中结论，利用线段和差定义证明即可．
【解答】（1）证明：证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE＝AF，∠AEB＝∠AFD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
{AB=AD)
，
AE=AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；
（2）证明：在△ACF和△ACE中，
{∠F=∠AEC=90°
)
∠ACF=∠ACE ，
AC=AC
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴CF＝CE，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，
∴BC﹣CD＝CE+BE﹣（CE﹣DF）＝2BE；
（3）由（2）可知CE＝CF，BE＝DF，∴BC+CD＝CE+BE+CF﹣DF＝2CE．
故答案为：BC+CD＝2CE．
【总结提升】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）（2022秋•鲤城区校级期中）新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动
器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图，某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂
线BD上，转轴中心B到地面的距离BD＝3m．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A
到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当从A处摆动到A'处时，有A'B⊥AB．
（1）求A'到BD的距离；
（2）求A'到地面的距离．
【思路引领】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
{∠ACB=∠A′FB
)
∠2=∠3
AB=A′B
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.8；
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2，
∴A'F＝1.2，
即A'到BD的距离是1.2m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'
∴BF＝AC＝2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，
即A'到地面的距离是1m．
【总结提升】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（14分）（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P
在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运
动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线
段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．
设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的
值；若不存在，请说明理由．【思路引领】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝
∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求
得答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
{
AP=BQ
)
∠A=∠B ，
AC=BP
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
{3=4−t)
则 ，
t=xt
{t=1)
解得 ；
x=1
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
{ 3=xt )
则 ，
t=4−t{t=2
)
解得： 3 ；
x=
2
{t=1)
{t=2
)
综上所述，存在 或 3 ，使得△ACP与△BPQ全等．
x=1 x=
2
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
在解题时注意分类讨论思想的运用．
26．（14分）（2022秋•集贤县期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝
120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E、F．
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证：AE+CF＝EF．（不必证明）
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【思路引领】（1）延长 FC 到点 H，使 CH＝AE，连接 BH，先根据三角形全等的判定定理证出
△BCH≌△BAE，根据全等三角形的性质可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，再根据三角形全等的判定定
理证出△HBF≌△EBF，推出HF＝EF，最后根据线段的等量关系即可得证；
（2）在AE上截取AQ＝CF，连接BQ，先根据三角形全等的判定定理证出△BCF≌△BAQ，根据全等
三角形的性质可得BF＝BQ，∠CBF＝∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF＝QE，最后根据线段
的等量关系即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，延长FC到点H，使CH＝AE，连接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠BCH＝90°，
在△BCH和△BAE中，
¿，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABC﹣∠MBN＝60°，
∴∠CBH+∠CBF＝60°，
即∠HBF＝60°，
∴∠HBF＝∠EBF＝60°，
在△HBF和△EBF中，
{
BH=BE
)
∠HBF=∠EBF ，
BF=BF
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF＝EF，
∵HF＝CH+CF＝AE+CF，
∴AE+CF＝EF．
（2）不成立，EF＝AE﹣CF
证明如下：
如图，在AE上截取AQ＝CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠BCF＝90°，在△BCF和△BAQ中，
{
BC=BA
)
∠BCF=∠A ，
CF=AQ
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF＝BQ，∠CBF＝∠ABQ，
∵∠MBN＝60°＝∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠QBE＝120°﹣60°＝60°＝∠FBE，
在△FBE和△QBE中，
¿，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF＝EQ，
∴AE＝EQ+AQ＝EF+CF，
即EF＝AE﹣CF．
【总结提升】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
