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专题 08 解三角形及其应用
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 正、余弦定理及变形
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
内容 ＝＝＝2R b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
cos A＝；
c＝2Rsin C；
变形 cos B＝；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
cos C＝
(3)＝＝2R
【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定
角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形
内角和定理去考虑问题．
知识点2 三角形常用面积公式
1、S＝a·h(h 表示边a上的高)；
a a
2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
知识点3 解三角形中的常用结论
1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2、三角形中的三角函数关系
（1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C；
（3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin .
3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝ b cos C ＋ c cos B ；b＝ a cos C ＋ c cos A ；c＝ b cos A ＋ a cos B .
4、三角形中的大角对大边：在△ABC中， A ＞ B a ＞ b sin A ＞ sin B .
⇔ ⇔
知识点4 测量中几个术语的意义及图形表示
名称 意义 图形表示
在目标视线与水平视线所成的角中，目
仰角与俯角 标视线在水平视线方的叫做仰角，目标
视线在水平视线方的叫做俯角
从某点的指方向线起按顺时针方向到目
方位角 标方向线之间的夹角叫做方位角，方位
角θ的范围是0°≤θ<360°
例：(1)北偏东α： (2)南偏西
α：
正北或正南方向线与目标方向线所成的
方向角
角，通常表达为北(南)偏东(西)α
【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的
不同描述．
（2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之
间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），
并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
【典例1】（2023秋·北京·高三统考开学考试）在 中， ，且 ，则
， ．
【答案】 ；
【解析】由正弦定理 ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，得 .
故答案为： ；
【典例2】（2022秋·云南保山·高三统考）（多选）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，由 ，所以 ，由正弦定理得 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以A正确，
对于BC，由余弦定理得 ， ，整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，因为 ， ，
所以 ，得 ，则 ，不合题意，所以 舍去，
当 时，由 可得 ，所以B正确，C错误，
对于D， ，所以D错误，故选：AB
【典例3】（2023秋·河南·高三郑州外国语学校校考）如图，三角形 的内角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ， ．
（1）求 ．
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）在 中，因为 ，
所以由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ,
（2）因为 ， ，所以 ，
在 中， ， ，
所以由余弦定理得 ，
，
得 ，解得 或
二、判定三角形形状的两种常用途径
1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；
2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
【典例1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在 中内角 的对边分别为 ，若 ，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理，余弦定理及 得，
，即 ，
则 ，即
或 为等腰三角形或直角三角形．故选：D.
【典例2】（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）已知 的三个内角 所对的边分别为 ．
若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【解析】因为 ，
由正弦定理 （ 为 外接圆的直径），
可得 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．即 为等腰三角形.故选：C
【典例3】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考开学考试）在 中， ，
，则 的形状为 ．
【答案】等边三角形
【解析】由正弦定理 ，所以 ，
代入 得 ，∴ ，
所以 ，三角形为等边三角形，
故答案为：等边三角形．
三、解三角形中的最值范围问题
1、三角形中的最值、范围问题的解题策略
（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角
或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点
（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的
范围时可以利用余弦定理进行转化．
（2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
【典例1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求证： ， ， 是等差数列；
（2）求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ，
由正弦定理，得 ，
又由余弦定理，得 ，
则 ，即 ，
所以 ， ， 是等差数列．
（2）由（1）得 ，
又 （当且仅当 时取等号），
因为 ，所以 ，
则 的最大值为 ，则 的最大值为 ．
【典例2】（2023秋·重庆·高三万州第二高级中学校考）在锐角 中，角 的对边分别为 ，
为 的面积， ，且 ，则 的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
∴ ，即 ， 为锐角，
∴ ，又 ，由正弦定理可得 ，
所以
，其中 ， ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
则 ，即： ，
所以 ，又 ，
∴ ，即 ，
故 的周长的取值范围是 .故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，
且 ， ．
（1）若 ，求角 ；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，则 ，
所以 ，得 ，
由正弦定理得 ， ，得 ，
因为 ，所以
（2）由（1）可知 ，
在锐角三角形 中， ， ，
则由余弦定理得 ，
，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为12，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
四、解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
1、求距离、高度问题
（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，
则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得
出所要求的量．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2、求角度问题
（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，
要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
【典例1】（2023·全国·校联考二模）哈尔滨防洪胜利纪念塔，坐落在风景如画的松花江南岸，是为纪念哈
尔滨市人民战胜1957年的特大洪水，于1958年建成的，是这座英雄城市的象征，它象征着20世纪的哈尔
滨人民力量坚不可摧.小明同学想利用镜面反射法测量防洪纪念塔主体的高度.如图所示，小明测量并记录
人眼距离地面高度 ，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与
镜子的距离为 ，将镜子后移 ，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离为 .根据数据可求出防
洪纪念塔 的高度为（ ）（单位： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形如图所示，
由题意可知， ，
易知
设 ，则 化简得 ，
所以防洪纪念塔 的高度为 .故选：B.【典例2】（2023·四川·南部中学校考模拟预测）一艘海轮从 处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏
南 方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是
东偏南 ， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东 ，那么B、C 两点间的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【答案】A
【解析】依题意，如图，在 中，
，
则 ，
由正弦定理得 ，即 ，
因此 （海里），
所以 两点间的距离是 海里．故选：A
【典例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类
保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两
点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得 ， ， ，
，则A、B两点的距离为 m．【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： .
易错点1 利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解
的个数。
点拨：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦
定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和
其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 内不严格格单调，此时三角形解的
情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
【典例1】（2022秋·北京·高三校考）在 中，已知 ， ， ，则角 的大小为（
）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】由正弦定理，可得 ，则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 或 .故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，根据下
列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】对于A中，由 ， ，可得 ，所以三角形只有一解；
对于B中，由 ， ， ，可得 ，所以 ，此时三角形有唯一的解；
对于C中，由正弦定理 ，可得 ，
可得 有两解，所以三角形有两解；
对于D中，由余弦定理得 ，可得 有唯一的解，
所以三角形只有一解.故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，若该三角形有两解，则x的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】由 可得
因为 ，所以
要使三角形有两解，所以 且
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为：
易错点2 解三角形时，在 中忽视 的解
点拨：解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当 此时，可以左右两边
约去 ，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。
【典例1】（2022·浙江·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
（1）试判断 的形状，并说明理由；（2）设点D在边AC上，若 ， ，求 的值.
【答案】（1） 为等腰三角形或直角三角形；（2） .
【解析】（1）由已知条件，利用正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
由于 、B、 ，
所以 或 ，所以 或B=C，
所以 为等腰三角形或直角三角形；
（2）在 中，由正弦定理得 ，即 ，
同理在 中，有 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
由（1）可知 或 ，
若 ，则 ， 所以 ,
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即BD平分 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
若 ，则 为直角三角形，BD为斜边，则 ，与题设矛盾，故舍去；综上， 的值为 .
易错点3 忽视对角的讨论
点拨：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当
题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”。
【典例1】（2022秋·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在 中，已知a、b、c分别
是角A、B、C的对边，且满足 ，A、B、C成等差数列，则角C= ．
【答案】 或
【解析】由 ，利用正弦定理得： ，
即 ，∴ ，
∵ ， ， ．
∴ 或 ．
∴ 或 ．
又 成等差数列，则 ，由 ，得 ．
当 时， ；
当 时， ．
∴ 或 ．
故答案为： 或 .
【典例2】（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，点 在边 上， ， ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的面积.【答案】（1） 或 ；（2）4或 .
【解析】（1）在 中 ， ， ，
由余弦定理得，
∴ ，化简得 ，
解得 ，或 .
∴ ，或 .
∴ ，或 ，
综上可得 ，或 .
（2）在 中 ，设 ，则 ，
∵ ，由正弦定理得 ，∴ .
在 中， ， ，
由正弦定理得 ，即 .
化简得
，∵ ，∴ ， .
∴ 或 ，解得 或 .
当 时， ， ，∴ 为等腰直角三角形，
得到 的面积为 ；
当 ， ，在 中由正弦定理得 ，
∴
∴ 的面积为 ，
综上可得 的面积为4或 .
易错点4 忽视解三角形时使用正弦定理边角互化，要注意是否使用齐次式，能否消去2R
点拨：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分
消去2R，或者使用其他方式进行边角互化。
【典例1】（2022秋·江西·高三临川一中校考期中）在 中， 分别为 三边 所对的角.
若 且满足关系式 ，则 外接圆直径为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】 ， ，可得 ，
又 ， ，即 .
，
根据正弦定理可得， ，
， ，
， ，
.
令外接圆的半径为 ，根据正弦定理可得 ，
即外接圆的直径为 .故选：B.【典例2】（2021·陕西榆林·神木中学校考三模）在 中，角 的对边分别是 ，且
.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
， ；
（2）由 ，得 ，
，
又 ， ，
.
易错点5 实际问题中题意不明致误
点拨：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、
坡度的具体含义。
【典例1】（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）如图，一辆汽车在一条水平的公路上
向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北 的方向上，行驶 后到达 处，测得此山顶
在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 ．
【答案】
【解析】如图，在 中， ， ，所以 ，
又 ，由正弦定理有： ，即 ，解得 ，
又 是直角三角形，且 ，所以 ，
所以此山的高度 m.
故答案为： .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建
筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无
限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得
点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯
角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米.
【答案】
【解析】由题意， ，所以 ，
所以在 中， ， ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得，
，
所以 .
故答案为：
【典型3】（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在 处望见在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的 处有一寺庙，此游客骑车向西行 后到达 处，这时塔和寺庙分别在北偏东
30°和北偏西15°，则塔 与寺庙 的距离为 .
【答案】
【解析】如图，在 中，由题意可知 ， ，可得 .
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ .故答案为： .
