文档内容
3.5 正余弦定理（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 正余弦定理公式选择
【例1-1】（2022·广东广东·一模） 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ，由正弦定理得： ，即 ,
解得： .故选：B
【例1-2】（2022·北京顺义·二模）在 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件
【答案】B
【解析】 中， ，由正弦定理 ， ， ，，所以 ， 可为锐角也可为钝角，所以 或 ，
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件．故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， .若 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由正弦定理可得 ，则 ，
故 或 .因为 ，所以 ，所以 .故选：A
2．（2022·浙江） 中内角 所对的边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得： ，所以 .故选：A.
3．（2022·吉林·长春十一高） 的三个内角 ､ ､ 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
可设 ，由余弦定理可得 .故选：B.4．（2022·四川·树德中学）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【解析】由 得， ，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .故选：C
考点二 边角互化
【例2-1】（2022·海南·模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 由正弦定理可得 ，所以 又
所以 故选:D
【例2-2】（2022·陕西商洛·一模（理）） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，则b=（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 ，
由余弦定理得： ,从而 ，故选：B
【例2-3】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知三角形 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以得 ，
又因为 ，所以 ，进而有 ，
因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，
又 ，消 ，可得 ，所以 ，故选：B.
【例2-4】（2022·甘肃·高台县第一中学）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，因为 ，
由正弦定理，可得 ，即 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由正弦定理可得： ，在 中， ，所以 ，
所以 ，即： ， ， ，可得 ，
同理，当 时，也可得 成立，故选：A.
2．（2022·北京石景山·一模）在 中， ，若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，由余弦定理可知 ，
即 ，得 ，所以 是等边三角形， .故选：C
3．（2022·安徽安庆·二模（文）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理及 得： ，解得 ，
在 中， ， ，于是 为锐角，所以 .故选：C
4．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
， ，且 ，则 ___________.
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，由余弦定理知 ，
所以 ，即 ，解得 .故答案为： .
5．（2022·重庆·高三阶段练习）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，记 外接圆半径
为 ，且 ，则角 的大小为________．
【答案】
【解析】由正弦定理： 故
即
故 ，又 故 故答案为：
考点三 三角形的面积
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
， ，则 的面积 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】根据正弦定理，由 ， ，
由余弦定理可知： ，解得 ，或 （舍去），
因为 ，所以 ，因此 ，
故选：D
【例3-2】（2022·安徽宣城·二模）已知锐角 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
， ，则 的面积是__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以由正弦定理可得 ，由 ，则 ，而三角形ABC为锐角三角形，所以 .
由余弦定理， ，所以 .
故答案为： .
【例3-3】（2022·陕西榆林·三模（理）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 的
△ △
面积为 ， ， ，则 （ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，又 ，
所以 ，又 ，可得 ， ，所以 ，即 .故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若 的面积为
S，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
代入 ，即 ，∵ ，∴ ，即 ，
故选：B.
2．（2022·贵州·模拟预测（理））在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
， ， ，则 的面积为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以由正弦定理可得
所以 ，
因为 所以
因为 ，则 ，则 ，所以 为等边三角形，故 的面积
故答案为：
3．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知
， ， 的面积 ，则 的外接圆的直径为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， 的面积 ，所以 ，解得 ，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 的外接圆的直径为 ，故选：C
4．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文）） 的内角 所对的边分别为 .已知，则 的面积的最大值（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】在 中，由余弦定理， 可化为 .
因为 ,所以 .
由余弦定理， 可化为： ，解得： （a=0舍去）.
因为 ，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）.
所以 的面积 .故选：B
考点四 判断三角形的形状
【例4】（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形
的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴ ，又 ，∴ ，
由2cosAsinB＝sinC，得 ∴ ，即 ，又 ，
故三角形为等边三角形.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设 的三个内角 满足 ，又 ，则这
个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【答案】B
【解析】因 的三个内角 ，而 ，则 ，
又 ，由正弦定理得： ，
由余弦定理 得： ，整理得 ，即 ， 是等腰三角形，
所以 是等边三角形.故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则
的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以
即 ，所以 ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，即 是直角三角形.故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】 在 中， ，又由余弦定理知， ，
两式相加得： ，
（当且仅当 时取“ ” ，又 ，
（当且仅当 时成立）， 为 的内角，
， ，又 ， 的形状为等边△．故选： ．4．（2022·全国·高三专题练习）对于 ，有如下四个命题:
①若 ，则 为等腰三角形，
②若 ，则 是直角三角形
③若 ，则 是钝角三角形
④若 ，则 是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
【答案】③④
【解析】对于① 可推出 或 ，故不正确；
②若 ，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得 ，所以 ，是钝角三角形；
④由正弦定理知 ，由于半角都是锐角，所以 ，三角形是等边三角形.
故答案为：③④
考点五 三角形解个数
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，则根据条
件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【解析】对于A选项，由正弦定理可得 ，且 ，故 有两解；
对于B选项，由正弦定理可得 ，且 ，故 只有一解；
对于C选项，由正弦定理可得 ，故 无解；对于D选项，因为 ，则角 为 的最大内角，且 ，故 无解.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在 ABC中， ，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为
△
（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，根据正弦定理有 ，所以 ，
要使三角形有两组解，则 ，且 ，即 ，所以 ，
所以a的值可以为 ．故选：C．
2．（2022·江西上饶·一模） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：① ，
， ；② ， ， ；③ ， ， ；④ ， ， .其
中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】C
【解析】对于①，因为 ，且 ，所以三角形有两解；
对于②，因为 ，且 ，所以三角形一解；
对于③， ，所以三角形有一解；
对于④， ， ， ，则 ，则 ，所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有一解的是②③.故选：C
3．（2022·河南·南阳中学） 中，已知下列条件：① ；② ；③
；④ ，其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．③④【答案】B
【解析】① ，三角形有两解；② ，三角形有两解；③ ，三角形有一解；
④ ，三角形无解.故选：B.
考点六 几何中的正余弦定理
【例6】（2022·广东梅州·二模）在 中，点 在 上， 平分 ，已知 ， ，
(1)求 的长；(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)依题意，由余弦定理得： ，
解得：
(2)依题意，由正弦定理得： ，所以 .
因为 ，所以 为锐角，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
【一隅三反】
1．（2022·广东韶关·一模）如图，在 中， 对边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；(2)已知 ，若 为 外接圆劣弧 上一点，且 ，求四边形 的面积.
【答案】(1) .(2) .
【解析】(1)由正弦定理及已知，得 ，
， ， ， ，
又 ，所以 ，即 ；
(2)由A､B､C､D四点共圆得 ，
设 ，在三角形 中，由余弦定理得
所以 ，而 ，
，
，因此 .
2．（2022·广东·模拟预测）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ，
， 的面积为 ．
(1)求b，c．
(2)O为边AC上一点，过点A作 交BO延长线于点D，若 的面积为 ，求 ．【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵ ， ，∴ ，
，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，∴ ,
∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，∴ ．
(2)设 ， ，则 ，∴ ，
，则 ∽ ．
∴ ，∴ ，
∴ ，解得： 或 （舍去）或0（舍去），
∴ ，
在 中，由余弦定理得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
则 ， ，
又 ，则 ，∴ ．
3．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在 中，D是AC边上一点， 为钝角， ．(1)证明： ；
(2)若 ， ，再从下面①②中选取一个作为条件，求 的面积．
① ； ② ．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为 ，所以 ，故 ；
(2)选① ．因为 ，所以
在 中，由余弦定理可得 ，
由正弦定理可得 所以 ，故 ，
在 中，因为 ，所以 ，
又 ．
选② ，
设 ，则 ，在 中， ，由（1） 得 ，
解得 ，即
在 中，则
, ，
所以 ，
所以 ．
所以 .
