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§4.7 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简
单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理与余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin B ，
c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)asin B cos B＝；
＝bsin A， cos C＝
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos Asin B，则A>B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
所以由余弦定理得
cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
2．在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝ .
答案 45°
解析 由正弦定理知＝，
则sin B＝＝＝.
又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.
3．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝ ，△ABC的面积＝ .
答案
解析 易知c＝＝，
△ABC的面积等于×2×3×＝.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝
ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b;[切入点：角转化为边]
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.[关键点：∠BDA和∠BDC互补]高考改编
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.
(1)求A；
(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a.
解 (1)根据正弦定理，
由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，
可得bc＋a2＝b2＋c2，
即bc＝b2＋c2－a2，
由余弦定理可得，cos A＝＝，
因为A为三角形内角，所以A＝.
(2)因为D是线段BC的中点，c＝2，AD＝，所以∠ADB＋∠ADC＝π，
则cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，
整理得a2＝2b2－44，
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4－2b，
所以b2＋4－2b＝2b2－44，
解得b＝6或b＝－8(舍)，
因此a2＝2b2－44＝28，
所以a＝2.
思维升华 解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中
含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定
理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两
边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理
进行判断．
跟踪训练1 (2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线
的长度．
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S ＝.
△ABC
解 (1)∵c＝2bcos B，
则由正弦定理可得sin C＝2sin Bcos B，
∴sin 2B＝sin ＝，∵C＝，
∴B∈，2B∈，
∴2B＝，解得B＝.
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得
＝＝＝，
与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在；
若选择②：由(1)可得A＝，
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin ＝R，
c＝2Rsin ＝R，则周长为a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，
解得R＝2，则a＝2，c＝2，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
＝；
若选择③：由(1)可得A＝，即a＝b，
则S ＝absin C＝a2×＝，
△ABC
解得a＝，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
＝＝.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形形状判断
例2 在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由cos B＝1－2sin2 ，
得sin2 ＝，
所以＝，
即cos B＝.
方法一 由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
方法二 由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，又角C为三角形的内角，
所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
延伸探究 将“＝sin2 ”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解 因为＝，
所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例 3 (2022·沧州模拟)在① sin A，sin C，sin B 成等差数列；② a∶b∶c＝4∶3∶2；
③bcos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三
角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＋
bsin B ＝csin C，c＝1， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 因为a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C，
由正弦定理得a(a－b)＋b2＝c2，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝，
又C∈(0，π)，
所以C＝.
选择①：
因为sin A，sin C，sin B成等差数列，
所以sin A＋sin B＝2sin C，即a＋b＝2c＝2，
由a2＋b2－c2＝a2＋b2－1＝ab，
得(a＋b)2－3ab＝1，所以ab＝1，
故存在满足题意的△ABC，
S ＝absin C＝×1×sin ＝.
△ABC
选择②：
因为a∶b∶c＝4∶3∶2，
所以A>B>C＝，
这与A＋B＋C＝π矛盾，所以△ABC不存在．
选择③：因为bcos A＝1，
所以b·＝1，
得b2＝1＋a2＝c2＋a2，
所以B＝，此时△ABC存在．
又C＝，所以A＝，
所以a＝1×tan ＝，
所以S ＝ac＝.
△ABC
思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝
1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长．
解 (1)在△BEC中，由正弦定理，
知＝.
∵B＝，BE＝1，CE＝，
∴sin∠BCE＝＝＝.
(2)∵∠CED＝B＝，∴∠DEA＝∠BCE，
∴cos∠DEA＝
＝＝＝.
∵A＝，
∴△AED为直角三角形，又AE＝5，
∴ED＝＝＝2.
在△CED中，
CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED
＝7＋28－2××2×＝49.
∴CD＝7.
教师备选
1．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，则该三角形的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 ∵a2＋b2－c2＝ab，
∴cos C＝＝，
又C∈(0，π)，
∴C＝，
由2cos Asin B＝sin C，
得cos A＝＝＝，
∴b2＝a2，即b＝a，又C＝，
故三角形为等边三角形．
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C－ccos(B＋C)＝－.
(1)求tan C；
(2)若c＝3，sin Asin B＝，求△ABC的面积．
解 (1)∵acos C－ccos(B＋C)
＝－，
∴acos C＋ccos A＝.
由正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝，
∴sin(A＋C)＝，
即sin B＝，
又∵sin B≠0，
∴cos C＝，
∴sin C＝＝，
tan C＝＝2.
(2)若c＝3，由正弦定理＝＝，
得＝＝＝，
则a＝sin A，b＝sin B，
则ab＝sin A·sin B＝sin Asin B
＝×＝6，
∴S ＝absin C＝×6×＝2.
△ABC
思维升华 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，
通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题
时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再
利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案 D
解析 因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC中，AB＝9，cos B＝，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB
为锐角．
①求BD；
②若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长．
解 ①在△ABD中，由余弦定理得
AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝AD2，
整理得BD2－12BD＋32＝0，
所以BD＝8或BD＝4.
当BD＝4时，cos∠ADB＝＝－，
则∠ADB>，不符合题意，舍去；
当BD＝8时，cos∠ADB＝＝，
则∠ADB<，符合题意，
所以BD＝8.
②在△ABD中，
cos∠BAD＝＝
＝，所以sin∠BAD＝，
又sin∠ADB＝，
所以sin C＝sin(∠ADB－∠CAD)
＝sin(∠ADB－∠BAD)
＝sin∠ADBcos∠BAD －cos∠ADBsin∠BAD
＝×－×
＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝，
即CD＝·sin∠CAD＝×
＝.
课时精练
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据题意及三角形的面积公式知
absin C＝，
所以sin C＝＝cos C，
所以在△ABC中，C＝.
2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(
)
A. B.
C．6 D．5
答案 B
解析 因为sin A＝6sin B，
由正弦定理可得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝62＋12－2×1×6×，
解得c＝.3．(2022·济南质检)已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cos 2A＝
－，则△ABC外接圆半径为( )
A．5 B．3 C. D.
答案 C
解析 因为cos 2A＝－，
所以1－2sin2A＝－，
解得sin A＝±，
因为A∈(0，π)，
所以sin A＝，
又a＝4，所以2R＝＝＝5，
所以R＝.
4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2b，
sin2A－3sin2B＝sin Asin C，则角C等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵sin2A－3sin2B＝sin Asin C，
由正弦定理可得a2－3b2＝ac，
∵c＝2b，
∴a2－3b2＝a·2b＝ab，
由余弦定理可得cos C＝＝＝，
∵0B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
答案 ABD
解析 对于A，由A>B，可得a>b，
利用正弦定理可得sin A>sin B，正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，
∵A＋B>，
∴>A>－B>0，
∴sin A>sin＝cos B，
∴不等式sin A>cos B恒成立，正确；
对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，
利用正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∵A，B∈(0，π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，
∴是假命题，错误；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，
由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，
可得(a－c)2＝0，解得a＝c，
可得A＝C＝B＝60°，故正确．
7．(2022·潍坊质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，a－c＝
2，A＝.则△ABC的面积为 ．
答案
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b＝3，a－c＝2，A＝，
∴(c＋2)2＝32＋c2－2×3c×，
解得c＝5，
则△ABC的面积为
S＝bcsin A＝×3×5×＝.
8．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2
＋c2＝3ac，则b＝ .
答案 2
解析 由题意得S ＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝
△ABC
a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2(负值舍去)．
9．(2022·南平模拟)在①2ccos B＝2a－b，②△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，③cos2A－cos2C
＝sin2B－sin Asin B，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选
择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2且4sin Asin B＝3，求△ABC的面积．
解 (1)若选条件①2ccos B＝2a－b，
则2c·＝2a－b，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝，
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
若选条件②△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，
则(a2＋b2－c2)＝absin C，即sin C＝cos C，
所以tan C＝，
又因为C∈(0，π)，
所以C＝.
若选条件③cos2A－cos2C＝sin2B－sin Asin B，
则(1－sin2A)－(1－sin2C)＝sin2B－sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝，
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为c＝2，
所以＝＝＝＝，
所以sin A＝a，sin B＝b，
又因为4sin Asin B＝3，所以ab＝4，
△ABC的面积为absin C＝.
10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，
且cos∠ADC＝.
(1)求BD；
(2)若cos∠CAD＝，求△ABC的面积．
解 (1)∵cos∠ADB＝cos(π－∠ADC)
＝－cos∠ADC＝－.
在△ABD中，由余弦定理得
82＝BD2＋72－2·BD·7·cos∠ADB，
解得BD＝3或BD＝－5(舍)．
(2)由已知sin∠ADC＝，sin∠CAD＝，
∴sin C＝sin(∠ADC＋∠CAD)＝×＋×＝.
由正弦定理得
CD＝＝＝，
∴BC＝3＋＝，
∴S ＝×8××＝.
△ABC11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝
(a＋b)2－c2，则sin等于 ( )
A．1 B．－
C. D.
答案 C
解析 因为S＝absin C，
cos C＝，
所以2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C.
又4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
所以2absin C＝2abcos C＋2ab.
因为ab≠0，所以sin C＝cos C＋1.
因为sin2C＋cos2C＝1，
所以(cos C＋1)2＋cos2 C＝1，
解得cos C＝－1(舍去)或cos C＝0，
所以sin C＝1，
则sin＝(sin C＋cos C)＝.
12．(2022·焦作模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC
的周长为15，且(sin A＋sin B)2＋cos2C＝1＋sin Asin B，则cos B等于( )
A. B.
C. D．－
答案 B
解析 因为(sin A＋sin B)2＋cos2C
＝1＋sin Asin B，
所以sin2A＋sin2B＋2sin A·sin B＋1－sin2C
＝1＋sin A·sin B，
所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
又a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，
即a＋c＝2b，a＋b＋c＝15，
由
解得
cos B＝＝＝.
13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝，AB＝3，AD＝2，若AC＝3，则CD为 ．
答案 1或5
解析 因为在△ABC中，∠B＝，AB＝3，
AC＝3，
由正弦定理可得＝，
所以sin∠ACB＝＝＝，
又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，
因此cos∠ACD＝sin∠ACB＝，
在△ACD中，AD＝2，AC＝3，
由余弦定理可得
cos∠ACD＝＝＝，
所以CD2－6CD＋5＝0，
解得CD＝1或CD＝5.
14．(2022·大连模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就
是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝
AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
答案 9
解析 在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝3a2，所以BD＝a，
由托勒密定理可得a(BC＋CD)＝AC·a，
即BC＋CD＝AC，
又∠ABD＝∠ACD＝30°，
所以四边形ABCD的面积
S＝BC·ACsin 30°＋CD·ACsin 30°
＝(BC＋CD)·AC＝AC2＝9.
15．(多选)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以
小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，
为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即 S＝(S为三角形的面积，a，b，c
为三角形的三边)．现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S ＝
△ABC
6，则下列结论正确的是( )
A．△ABC的周长为10＋2
B．△ABC的三个内角满足A＋B＝2CC．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为3
答案 AB
解析 A项，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
所以由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶，
设a＝2t，b＝3t，c＝t(t>0)，
因为S ＝6，
△ABC
所以6＝，
解得t＝2，则a＝4，b＝6，c＝2，
故△ABC的周长为10＋2，A正确；
B项，因为
cos C＝＝＝，
所以C＝，A＋B＝π－＝＝2C，
故B正确；
C项，因为C＝，所以sin C＝，
由正弦定理得2R＝＝＝，
R＝，
C错误；
D项，由余弦定理得
cos B＝＝＝，
在△BCD中，BC＝4，BD＝，
由余弦定理得cos B＝＝，
解得CD＝，D错误．
16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝
a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理
由．
解 (1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cos C＝＝，
所以C为锐角，
则sin C＝＝，因此，
S ＝absin C＝×4×5×＝.
△ABC
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得
cos C＝＝
＝<0，
则0a＋2，
可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.
