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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
一、温故知新（导）
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是
，又是 ，（如图18.2-11）它具有的性质应该有哪些呢？这是今天我们要学的内容，下面
我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握正方形的概念、性质并会灵活运用；
2、理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系；
3、掌握正方形的判定条件，能灵活运用正方形性质与判定进行推理或计算.
学习重难点
重点：正方形的定义、性质和判定及运用方法；
难点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.
二、自我挑战（思）
1、正方形的定义：有一组 相等，且有一个角是 的平行四边形是正方形.
2、正方形即是矩形又是菱形，它有哪些性质呢？
正方形的性质：（1）边： 条边都相等；
（2）角： 个角都是直角；
（3）对角线：对角线 ，每条对角线平分 .
3、我们知道，正方形是特殊的矩形，特殊的菱形，特殊的平行四边形，特殊的四边形，那么，当矩
形、菱形、平行四边形、四边形满足什么样的条件时，就成为正方形呢？
正方形的判定方法：
（1）有一组邻边 的矩形是正方形；
（2） 有一个角是 的菱形是正方形；
（3）即是矩形，又是菱形，所以是 ；
（4） 有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形是正方形；
（5）对角线 的四边形是正方形.
4、求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD，对角线AC、BD相较于点O，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD且AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形三、互动质疑（议、展）
1、正方形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
2、正方形的每一条对角线平分的一组对角，得到的每一个角是多少度？
3、满足下列条件的四边形是不是正方形？（是的在括号内填是；不是的填否.）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形． （ ）
③对角线相等的菱形是正方形． （ ）
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（ ）
⑤四条边都相等的四边形是正方形．（ ）
⑥四个角都相等的四边形是正方形．（ ）
⑦对角线垂直且相等的四边形是正方形．（ ）
4、实例：
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图18.2-12，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O.
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
5、正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？并列表或用框图表示这些关系.四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形 ABCD
是正方形的是 （ ）
A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA
3、如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN，则四边形
EFMN的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4、边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A'B'C'D'，此时
阴影部分的面积为 cm2．5、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于
M、N两点，若BM＝√2，则正方形ABCD的边长为 ．
6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD=32，求四边形AFDE的面积．
六、用
（一）必做题
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，能使矩形ABCD成为
正方形的是（ ）
A．AC=BC B．∠AOB=60°
C．OA=AD D．BC=CD
2、给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
3、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是
一个菱形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③
D．由①推出③，由③推出②
4、如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的
坐标为（5，0），点E为对角线的交点，则点E的坐标为 （ ） ．
5、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点
O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S =S 中，正确结论的是
△AOB 四边形DEOF
填序号．
（二）选做题
6、如图所示△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠ABC的平分线相交于D点，DE⊥BC于点E，
DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC=6，BC=8，则CE的长为 ．
7、如图，正方形 ABCD 中，AB=4，点 E 是对角线 AC 上的一点，连接 DE．过点 E 作
EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形 DEFG的面积．
