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专题 11 坐标系与参数方程
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以
坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)当 时， 是什么曲线？
(2)当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【解析】当k=1时， 消去参数t得 ，故曲线 是圆心为坐标原点，半径为1的
圆．
(2)当k=4时， 消去参数t得 的直角坐标方程为 ．
的直角坐标方程为 ．
由 解得 ．
故 与 的公共点的直角坐标为 ．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关
系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】
已知曲线C ，C 的参数方程分别为
1 2C ： (θ为参数)，C ： (t为参数)．
1 2
(1)将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C ，C 的交点为P，求圆心在极轴上，且
1 2
经过极点和P的圆的极坐标方程．
【解析】(1) 的普通方程为 ．
由 的参数方程得 ， ，所以 ．
故 的普通方程为 ．
(2)由 得 所以 的直角坐标为 ．
设所求圆的圆心的直角坐标为 ，由题意得 ，
解得 ．
因此，所求圆的极坐标方程为 ．
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化
极坐标方程等知识，属于常考题型.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且
t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
(1)求 ；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
【解析】(1)因为t≠1，由 得 ，所以C与y轴的交点为(0，12)；
由 得t=2，所以C与x轴的交点为 ．故 ．
(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为 ，将 代入，
得直线AB的极坐标方程 ．
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
4．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上(其中 ，
)．
(1)求 ， 的值；
(2)求出直线 与圆 的公共点的极坐标．
【解析】(1)由 ，得 ； ，又(0，0)(即(0， ))也在圆C上，
因此 或0．
(2)由 得 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ， ．
所以公共点的极坐标为 ．
1．【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参
数).以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)设点 在直线 上，点 在曲线 上，求 的最小值.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】(1)直线 的普通方程为
曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为
(2)曲线的参数方程为
设点 的坐标为
故 的最小值为 .
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及
三角函数的性质，属于基础题.
2．【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，已知曲线C的极坐标方程为 ＝ ( ＞0)，过点 的直线 的参数方程为
(t为参数)，直线 与曲线C相交于A，B两点．
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线 的普通方程；(Ⅱ)若 ，求 的值．
【答案】(Ⅰ) ， (Ⅱ) ．
【解析】(Ⅰ)根据 可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标
，两式相减消去参数得直线 的普通方程为 ．(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有
，因此将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程
中，
得 ,由韦达定理有 ．解之得： 或
(舍去)
试题解析：(Ⅰ)由 得 ,
∴曲线 的直角坐标方程为 ．
直线 的普通方程为 ．
(Ⅱ)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 中，
得 ,
设 两点对应的参数分别为 ,
则有 ．
∵ ,∴ , 即 ．
∴ ．
解之得： 或 (舍去),∴ 的值为 ．3．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为
( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)设点 ，直线 与曲线 的交点为 、 ，求 的值．
【答案】(1) ； ；(2)4
【解析】(1) 的参数方程消去参数，易得 的普通方程为 ，
曲线 ： ，
即 ，
∴ ，
所以曲线 的直角坐标方程为： .
(2) 的参数方程 ( 为参数)，
设 对应参数为 ， 对应参数为 ，将 的参数方程与 联立得： ，
得： ， ，
所以
即 .
【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方
程，将直线的参数方程代入曲线 的普通方程，得到关于 的一元二次方程，联立写出韦达定理，运用
直线参数方程中参数 的几何意义进行求解.
4．【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以
原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建极坐标系．
(1)求 的极坐标方程；
(2)直线 ， 的极坐标方程分别为 ， ，直线 与曲线 的交点为 、
，直线 与曲线 的交点为 、 ，求线段 的长度．
【答案】(1) ；(2)1．
【解析】(1)由曲线 的参数方程为 得曲线 的直角坐标方程为： ，
所以极坐标方程为 即 ．(2)将 代入 中有 ，即 ，
将 代入 中有 ，即 ，
，
余弦定理得
，
．
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，
属基础题.
5．【2020·山西省太原五中高三其他】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为
参数).以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ( )，将
曲线 向左平移2个单位长度得到曲线 .
(1)求曲线 的普通方程和极坐标方程；
(2)设直线 与曲线 交于 两点，求 的取值范围.
【答案】(1) 的极坐标方程为 ，普通方程为 ；(2)
【解析】(1) ，，即曲线 的普通方程为 ，
依题意得曲线 的普通方程为 ，
令 ， 得曲线 的极坐标方程为 ；
(2)法一：将 代入曲线 的极坐标方程得 ，则
， ， ， 异号
，
， ， ；
法二:设直线 的参数方程为 ( 为参数， 为直线的倾斜角)，代入曲线 的普通方程得
，
则 ， ， ， 异号
，
， .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中
档题.
6．【2020·山西省太原五中高三月考】在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参
数)．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
(1)求 和 的直角坐标方程；
(2)已知 为曲线 上的一个动点，求线段 的中点 到直线 的最大距离．
【答案】(1) ． ．(2)最大距离为 ．
【解析】(1)由 ，得 ，
则曲线 的直角坐标方程为 ，即 ．
直线 的直角坐标方程为 ．
(2)可知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，
设 ， ，
则 到直线 的距离为
，所以线段 的中点 到直线 的最大距离为 ．
【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.
7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他】
在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为 (t为参数)，直线l 的参数方程为
1 2
.设l 与l 的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
1 2
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ，M为l 与
3
C的交点，求M的极径.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)消去参数 得 的普通方程 ；消去参数m得l 的普通方程 .
2
设 ,由题设得 ，消去k得 .
所以C的普通方程为 .
(2)C的极坐标方程为 .
联立 得 .
故 ，从而 .
代入 得 ，
所以交点M的极径为 .
【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、
线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐
标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
8．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
( 为参数).以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐
标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)在极坐标系中， 是曲线 上的两点，若 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)将曲线 的参数方程化为普通方程为：
即：
根据 ， ， 可得：
曲线 的极坐标方程为：(2)设 ，
则
当 时，
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题，属
于常规题型.
9．【2020·麻城市实验高级中学高三其他】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
( 为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 (其中 为常数).
(1)求曲线 和 的直角坐标方程；
(2)若曲线 和 有且仅有一个公共点，求 的取值范围.
【答案】(1) ； ；(2) .
【解析】(1)由 ，可知曲线 的直角坐标方程为 ，
其中 ，所以曲线 的直角坐标方程为 ，，
由 ，可得 ，由 ， ，
曲线 的直角坐标方程为 ；
(2)由 ，可知 ，
令 ，其图象如下：
由曲线 和 有且仅有一个公共点，所以函数 与 的图象有且仅
有一个公共点，所以由图象可知 .
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及用数形结合思想求参数范围.
10．【2020·辽宁省大连二十四中高三其他】已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos( ) .
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求 的值.
【答案】(1)x2﹣4y2=1( )， ；(2)8.
【解析】(1)曲线C的参数方程为 (t为参数)，
转化为直角坐标方程为x2﹣4y2=1( )
直线l的极坐标方程为ρcos( ) .转化为直角坐标方程为： .
(2)由于直线与x轴的交点坐标为( )，所以直线的参数方程为 (t为参数)，
代入x2﹣4y2=1得到： ，
所以： ，t t=-1，
1 2
则： 8.
【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化，考查了参数方程和普通方程的转化，同时考查
了直线的标准参数的几何意义，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.
11．【2020·重庆高三月考】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)．在以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐
标系中，过极点 的射线与曲线 相交于不同于极点的点 ，且点 的极坐标为 ，其中
．
(1)求 的值；
(2)若射线 与直线 相交于点 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)由题意知，曲线C的普通方程为 ，
因为 ，所以曲线C的极坐标方程为 ，即
.
由 ，得 ，
因为 ，所以 .
(2)由题，易知直线 的普通方程为 ，所以直线 的极坐标方程为
.
又射线 的极坐标方程为 ( )，联立，得 ，解得 .
所以点 的极坐标为 ，
所以 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查极坐标
方程的应用，正确转化方程的形式是解题的关键，属于常考题.
12．【2020·河南省高三三模】在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 (φ为参数)．
1
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ，
2
曲线C 和C 在第一象限交于点A．
1 2
(1)求点A的直角坐标；
(2)直线 与曲线C ，C 在第一象限分别交于点B，C，若△ABC的面积为 ，
1 2
求α的值．
【答案】(1)( )；(2) .
【解析】(1)曲线C 的参数方程为 ( 为参数)，
1
转换为直角坐标方程为 .根据
转换为极坐标方程为 .联立曲线C 和C 得到： ，解得 ，
1 2
即 转换为直角坐标为( )．
(2)连接OA，由(1)得： ，
可得：|OA| ， ，
将直线 与曲线C 和C 联立可得： ， .
1 2
， ，
，所以 ．
则：S ＝S ﹣S ，
△ABC △AOC △AOB
，
，
，
整理得 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.
13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】直线l的极坐标方程为 ，以极点为坐标原
点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为 ( 为参数)
(1)写出C的极坐标方程；
(2)射线 与C和l的交点分别为M，N，射线 与C和l的交点分别为A、B，求四边形
的面积．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)由 消去参数 得圆 的普通方程为 ，所以C的极坐标方
程为 ，即 ；
(2)把 代入直线 的极坐标方程得 ， ， ，
同理 ，
所以 ，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查普通方程与极坐标方程的互化，考查直线极坐标
方程的应用．掌握极坐标的定义是解题关键．
14．【2020·山西省高三月考】在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 ， 为曲线 上异于极点的动点，点 在射线 上，
且 ， ， 成等比数列.
(1)求点 的轨迹 的直角坐标方程；
(2)已知 ， 是曲线 上的一点且横坐标为 ，直线 与 交于 ， 两点，试求
的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)设
则由 成等比数列，可得
即
又 满足 即
化为直角坐标方程为
(2)依题意可得 故 即直线 倾斜角为
直线 的参数方程为
代入圆的直角坐标方程 得故
【点睛】1、求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)
由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关
系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
2、有关直线与曲线相交，求距离的和、差时，注意直线的参数方程中参数几何意义的运用．
15．【2020·山西省高三其他】在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是： ( 是参
数).以原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .
(1)若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，试求实数 值；
(2)设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围.
【答案】(1) 或 ；(2) .
【解析】(1)曲线 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为： ，
直线 的直角坐标方程为： .
所以圆心 到直线 的距离(弦心距) ，
圆心 到直线 的距离为： ，
所以
所以 或 ，
(2)曲线C的方程可化为 ，其参数方程为 ( 为参数)
因为 为曲线C上任意一点，
所以 的取值范围是 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以
及直线和圆的位置关系．
