文档内容
2025年安徽省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中
只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）（2025•安徽）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．5
2．（4分）（2025•安徽）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记
数法表示为（ ）
A．521.7×108 B．5.217×109
C．5.217×1010 D．0.5217×1011
3．（4分）（2025•安徽）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为
（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2025•安徽）下列计算正确的是（ ）
A．√(-a) 2=-a B．√3 (-a) 3=-a
C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
5．（4分）（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
6．（4分）（2025•安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E
满足ED⊥AC．若DE=√3，则AC的长是（ ）
A．4√3 B．6 C．2√3 D．3
7．（4分）（2025•安徽）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增
第1页（共32页）大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4）
8．（4分）（2025•安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边
AB，CD上移动（不与端点重合），且▱满足AF＝CH，则下列为定值的是（ ）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
9．（4分）（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0
10．（4分）（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点
E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论
错误的是（ ）
A．EC﹣ED的最大值是2√5 B．FB的最小值是√10
C．EC+ED的最小值是4√2 D．FC的最大值是√13
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2025•安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝ ．
12．（5分）（2025•安徽）如图，AB是 O的弦，PB与 O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P
＝50°，则∠PAB的大小为 ⊙°． ⊙
第2页（共32页）13．（5分）（2025•安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，
天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的
左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ．
14．（5分）（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；
n
若余数为0，则m= ；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n
3
进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数
n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数
为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4
进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
2 1
15．（8分）（2025•安徽）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝3．
x2+2x+1 x2-1
16．（8分）（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系xOy，△ABC的顶点和A 均为格点（网格线的交点）．已知点A和A 的坐标分别为（﹣1，﹣3）和
1 1
（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A B C ，使得点A的对应点为A ，请在所给的网格图
1 1 1 1
中画出△A B C ．
1 1 1
第3页（共32页）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2025•安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．
如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员
在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到
0.1m）．
参 考 数 据 ： sin23.8°≈0.40 ， cos23.8°≈0.91 ， tan23.8°≈0.44 ， sin36.9°≈0.60 ， cos36.9°≈0.80 ，
tan36.9°≈0.75．
18．（8分）（2025•安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y
k
= （k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
x
（1）求a与k的值；
（2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积．
第4页（共32页）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2025•安徽）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取
50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行
整理，并绘制统计表，部分信息如下：..．
组别 A B C D E
分组 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤95
人数 3 3 15 a 10
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ ；
（2）这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在 组；
（3）若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作
为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由．
20．（10分）（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，
∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2√3，求AB的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2025•安徽）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙
也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组
件的边长均为20cm．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
第5页（共32页）观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三
角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为（40x+10）cm．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①__个正六边形和②__个正三角形，
长度增加③__cm；从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④__cm．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图 1所示方
式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形
和28个正三角形组件，由40×14+10＝570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正
六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由
5×15+1×28＝103知，方案一每行的成本为103元．
37√3
由于每行宽度为20√3cm（按√3=1.73计算），设拼成s行，则20√3s≤740，解得s≤ ≈21.34，故
3
需铺21行．由103×21＝2163知，方案一所需的总成本为2163元．
方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯
方案二每行的成本为⑤__元，总成本为⑥__元．
【项目实施】
第6页（共32页）根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2025•安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，
连接A′E，A′B．
（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；
（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
（i）求证：∠CA′F＝45°；
（ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说
明理由．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点A（x ，y ）和B（x ，y ）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）．
1 1 2 2
1
（i）若a= ，且x ＝x ，比较y 与y 的大小；
2 1 2 1 2
y x x
（ii）当
2= 2
时，若
2
是一个与x 无关的定值，求a与b的值．
y x x 1
1 1 1
第7页（共32页）2025年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． C． A B D B D C C A
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中
只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）（2025•安徽）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．5
【考点】有理数大小比较．
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【专题】数形结合；实数；运算能力．
【答案】A．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣2＜0＜2＜5，
∴最小的数是：﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正
数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（4分）（2025•安徽）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记
数法表示为（ ）
A．521.7×108 B．5.217×109
C．5.217×1010 D．0.5217×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
第8页（共32页）【解答】解：521.7亿＝52170000000＝5.217×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）（2025•安徽）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：如图水平放置的“阳马”的主视图为 ．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（4分）（2025•安徽）下列计算正确的是（ ）
A．√(-a) 2=-a B．√3 (-a) 3=-a
C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
【考点】二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质，立方根的定义，同底数幂乘法及幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：√(-a) 2=|a|，则A不符合题意，
√3 (-a) 3=-a，则B符合题意，
第9页（共32页）a3•（﹣a）2＝a3•a2＝a5，则C不符合题意，
（﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质，立方根，同底数幂乘法及幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解
题的关键．
5．（4分）（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×1＜0，
∴方程无实数根，不符合题意；
B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0，
∴方程无实数根，不符合题意；
D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，当Δ＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根是解题
的关键．
6．（4分）（2025•安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E
满足ED⊥AC．若DE=√3，则AC的长是（ ）
A．4√3 B．6 C．2√3 D．3
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
第10页（共32页）【答案】B
DE √3
【分析】由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，由tanC= = ，求出DC＝3，由线段的中点
DC 3
定义得到AC＝2DC＝6．
【解答】解：∵∠A＝120°，AB＝AC，
1
∴∠B＝∠C= ×（180°﹣120°）＝30°，
2
∵ED⊥AC，
∴∠CDE＝90°，
DE √3 √3
∵tanC＝tan30°= = = ，
DC DC 3
∴DC＝3，
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由锐角的正切定义求出CD的长．
7．（4分）（2025•安徽）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增
大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据一次函数y随x的增大而增大，可知k＞0，分别将点M（1，2）和各选项代入y＝kx+b，
求出k的值，即可确定．
【解答】解：根据题意，得k＞0，
{ k+b=2
把M点和（﹣2，2）代入y＝kx+b得 ，
-2k+b=2
解得k＝0，
故A选项不符合题意；
{k+b=2
把M点和（2，1）代入y＝kx+b得 ，
2k+b=1
解得k＝﹣1，
故B选项不符合题意；
第11页（共32页）{ k+b=2
把M点和（﹣1，3）代入y＝kx+b得 ，
-k+b=3
1
解得k=- ，
2
故C选项不符合题意；
{ k+b=2
把M点和（3，4）代入y＝kx+b得 ，
3k+b=4
解得k＝1，
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．（4分）（2025•安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边
AB，CD上移动（不与端点重合），且▱满足AF＝CH，则下列为定值的是（ ）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．
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【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边
1 1
形，可得S
△EGF
=
2
S平行四边形ABGE ，S
△EHG
=
2
S平行四边形DEGC ，即可求解．
【解答】解：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E，G分别为边AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝BG＝CG，
∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，
1 1
∴S
△EGF
=
2
S平行四边形ABGE ，S
△EHG
=
2
S平行四边形DEGC ，
第12页（共32页）1
∴四边形EFGH的面积=
2
S平行四边形ABCD ，
∴四边形EFGH的面积是定值，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．（4分）（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间，根据对称性可知
1 b
对称轴 ＜- ＜1，故b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误；当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣
2 2a
b+c＞0，故D选项错误；观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误；由对称轴的范围
可各知b＜﹣a，即b+a＜0，故4b+4a＜0①，把点（2，0）代入抛物线中，可得4a＝﹣2b﹣c，再代入
①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0，
整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确．
【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间，
1 b
根据对称性可知对称轴 ＜- ＜1，
2 2a
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误；
当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误；
观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误；
第13页（共32页）由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0，
故4b+4a＜0①，
把点（2，0）代入抛物线中，
得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c，
再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0，
整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确．
故答案为：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，三项系数与图象的关系，由已知与 x轴的交点情况求对
称轴的范围，不等式的性质，熟练掌握以上知识点的运用是解题关键．
10．（4分）（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点
E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论
错误的是（ ）
A．EC﹣ED的最大值是2√5 B．FB的最小值是√10
C．EC+ED的最小值是4√2 D．FC的最大值是√13
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根
据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．
【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，
过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形
ABGD是矩形，
第14页（共32页）∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF．
∴∠ADE＝∠HDF，
∴△DHF≌△DAE（SAS），
∴∠DHF＝∠DAE＝90°，
∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，
∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，
∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，
∴DE=√12+(4-BE) 2，CE=√32+BE2，
∴EC-ED=√32+BE2-√12+(4-BE) 2，
∴BE最大时，EC﹣ED最大，
当 点 E 与 点 A 重 合 时 ， F 与 H 重 合 时 ， BF 最 小 ， 此 时 EC=√42+32=5， ED ＝ 1 ，
EC-ED=5-1=4≠2√5，故A错误，符合题意；
BF=√H I2+BI2=√12+32=√10，故B正确，不符合题意；
作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作
MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小，
第15页（共32页）∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4，
∴EC+ED的最小值=AC=√42+42=4√2，故C正确，不符合题意；
当E与A重合时，CF=√GH2+CG2=√(3-1) 2+(4-1) 2=√13，
当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图，
∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3，
∵△DHF≌△DAE，
∴FH＝AE＝4，
∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2，
∴FC=√CQ2+FQ2=√22+32=√13，
综上，FC最大值为√13.故D项正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及
几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系
是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
第16页（共32页）11．（5分）（2025•安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝ 6 ．
【考点】有理数的减法；相反数；绝对值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】6．
【分析】先算绝对值，再算减法即可．
【解答】解：原式＝5+1＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查有理数的减法，相反数，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（5分）（2025•安徽）如图，AB是 O的弦，PB与 O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P
＝50°，则∠PAB的大小为 2 0 °．⊙ ⊙
【考点】切线的性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能
力．
【答案】20．
1
【分析】连接OB，由切线的性质得∠OBP＝90°，因为∠P＝50°，所以∠POB＝40°，则∠PAB=
2
∠POB＝20°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，
∵PB与 O相切于点B，
∴PB⊥O⊙B，
∴∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°，
1
∴∠PAB= ∠POB＝20°，
2
故答案为：20．
第17页（共32页）【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地添加辅
助线是解题的关键．
13．（5分）（2025•安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，
天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的
1
左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ．
3
【考点】列表法与树状图法；等式的性质；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
3
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种，
【解答】解：由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g，
把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种，
4 1
∴天平恢复平衡的概率为 = ，
12 3
1
故答案为： ．
3
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及等式的性质．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
第18页（共32页）能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（5分）（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；
n
若余数为0，则m= ；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n
3
进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数
n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数
为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4
进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 2 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 1 1 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）11．
【分析】（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得
第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
1
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或 或0，再验证这三个数是否可经过
2
变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出 n的三个值，再同
理可验证符合题意的n，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵15÷3＝5…0，
15
∴15进行一次变换后得到的数为 =5；
3
∵5÷3＝1…2，
∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6；
∵6÷3＝2…0，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝
3，此时符合题意；
1
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为 ，此时不符
2
第19页（共32页）合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此
时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意；
3
当n除以3的余数为1时，则n= ，不符合题意；
2
当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
2 1
15．（8分）（2025•安徽）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝3．
x2+2x+1 x2-1
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
2x-2
【答案】 ；1．
x+1
【分析】先将除法化为乘法，然后进行约分，最后代入数值计算即可．
2
=
【解答】解：原式 •（x+1）（x﹣1）
(x+1) 2
2x-2
= ；
x+1
当x＝3时，
2×3-2
原式= = 1．
3+1
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．（8分）（2025•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系xOy，△ABC的顶点和A 均为格点（网格线的交点）．已知点A和A 的坐标分别为（﹣1，﹣3）和
1 1
（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A B C ，使得点A的对应点为A ，请在所给的网格图
1 1 1 1
第20页（共32页）中画出△A B C ．
1 1 1
【考点】作图﹣位似变换．
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【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）画图见解答；点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）见解答．
【分析】（1）利用网格画图，即可得出答案．
（2）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2025•安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．
如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员
在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到
第21页（共32页）0.1m）．
参 考 数 据 ： sin23.8°≈0.40 ， cos23.8°≈0.91 ， tan23.8°≈0.44 ， sin36.9°≈0.60 ， cos36.9°≈0.80 ，
tan36.9°≈0.75．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】AD的长约为37.5m．
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E，根据题意可得：四边形ABCE为矩形，从而可得CE＝AB＝
13.20m，然后先在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角
三角函数的定义求出AD的长，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
由题意得：四边形ABCE为矩形，
所以CE＝AB＝13.20m，
CE
在Rt△ACE中，tan∠CAE= ，
AE
CE 13.20 13.20
所以AE= = ≈ =30.0（m），
tan∠CAE tan23.8° 0.44
AE
在Rt△ADE中，cos∠DAE= ，
AD
AE 30.0 30.0
所以AD= = ≈ =37.5（m），
cos∠DAE cos36.9° 0.80
因此，AD的长约为37.5m．
第22页（共32页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
18．（8分）（2025•安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y
k
= （k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
x
（1）求a与k的值；
（2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
1
【答案】（1）a=- ，k＝6；
2
（2）16．
k
{6a+4=
k 6
【分析】（1）把A点、B点代入y＝ax+4和反比例函数y= ， ，即可求出a和k的值；
x k
2a+4=
2
（2）根据（1）得出一次函数的表达式，进而求出 C点和D点坐标，进而得出OC和OD的长度，即
可求出△COD的面积．
k
{6a+4=
，
6
【解答】解：（1）由题意得，
k
2a+4= ，
2
1
解得a=- ，k=6；
2
1
（2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为y=- x+4，
2
令y＝0，得x＝8，所以OC＝8，
第23页（共32页）令x＝0，得y＝4，所以OD＝4，
1 1
故△COD的面积为 OC⋅OD= ×8×4=16．
2 2
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性
质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2025•安徽）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取
50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行
整理，并绘制统计表，部分信息如下：..．
组别 A B C D E
分组 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤95
人数 3 3 15 a 10
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 1 9 ；
（2）这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D 组；
（3）若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作
为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由．
【考点】中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表；算术平均数．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）19；
（2）D；
（3）该景区5月份的服务质量良好，理由见解答．
【分析】（1）用50分别减去其它四组的频数可得a的值；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据算术平均数定义计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，a＝50﹣3﹣3﹣15﹣10＝19，
故答案为：19；
（2）把50人对景区的服务质量评分从小到大排列，排在第25和第26个数都在D组，
故这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组，
故答案为：D；
（3）由题意知，游客评分的平均数为：
第24页（共32页）50×3+60×3+70×15+80×19+90×10
=76（分），
50
因为76＞75，所以该景区5月份的服务质量良好．
【点评】本题考查频数分布表，算术平均数，中位数以及用样本估计总体，学会用样本估计总体的统
计思想是解题的关键．
20．（10分）（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，
∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2√3，求AB的长．
【考点】圆周角定理；平行线的性质；勾股定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）6．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁
内角互补，两直线平行即可解答；
（2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段
成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可
1
得OE= AD=1，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股
2
定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
第25页（共32页）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
OB EB
∴ = ，
OA DE
∵OA＝OB，
∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
1
∴OE= AD=1，
2
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r ＝3，r ＝﹣2（舍去），
1 2
故AB＝2r＝6．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2025•安徽）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙
也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组
件的边长均为20cm．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三
第26页（共32页）角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为（40x+10）cm．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①__个正六边形和②__个正三角形，
长度增加③__cm；从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④__cm．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图 1所示方
式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形
和28个正三角形组件，由40×14+10＝570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正
六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由
5×15+1×28＝103知，方案一每行的成本为103元．
37√3
由于每行宽度为20√3cm（按√3=1.73计算），设拼成s行，则20√3s≤740，解得s≤ ≈21.34，故
3
需铺21行．由103×21＝2163知，方案一所需的总成本为2163元．
方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯
方案二每行的成本为⑤__元，总成本为⑥__元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
① 1 ；② 6 ；③ 6 0 ；④ 6 0 y +1 0 ；⑤ 12 6 ；⑥ 214 2 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）；列代数式；一元一次不等式的应用．
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第27页（共32页）【专题】整式；推理能力．
【答案】①1；②6；③60；④60y+10；⑤126；⑥2142．
【分析】通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出
长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，
以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似．
【解答】解：项目主题：观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个
正三角形；
由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm，观察图4可得
增加的长度为3个边长，即3×20＝60（cm），
计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的 10cm，每增加一个拼接单元
长度增加60cm，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为（60y+10）cm；
项目分析：计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤740，
移项可得40x≤740﹣10，即40x≤730，
两边同时除以40，解得x≤18.25，
∴每行可以先拼18块拼接单元．
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量，
∵拼18块拼接单元，
∴共用去18个正六边形和2×18＝36个正三角形组件．
由40×18+10＝730知，所拼长度为730cm，
剩余740﹣730＝10cm，无法再摆放组件．
由5×18+1×36＝90+36＝126知，方案二每行的成本为126元．
由于每行宽度为20√3cm（按√3=1.73计算），设拼成s行，
则20√3s≤600，
600
两边同时除以20√3，s≤ =10√3≈17，
20√3
故需铺17行．
计算方案二的总成本126×17＝2142．
方案二所需的总成本为2142元．
项目实施：
两种方案比较可知：2163＞2142．
∴选方案二完成实践活动．
故答案为：①1；②6；③60；④60y+10；⑤126；⑥2142．
第28页（共32页）【点评】本题主要考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2025•安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，
连接A′E，A′B．
（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；
（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
（i）求证：∠CA′F＝45°；
（ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说
明理由．
【考点】四边形综合题．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）√2+1；
（2）（i）见解析过程；
（ii）△A′DG是等腰直角三角形，理由见解析过程．
【分析】（1）由SSS可证△ABE≌△A'BE，可得∠BAE＝∠BA'E＝90°，通过证明△A'DE是等腰直角三
角形，可得A'D＝A'E＝1，即可求解；
（2）（i）由折叠的性质可得BA＝BA′＝BC，可得∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，即可求解；
（ii）由ASA可证△ABE≌△BCN，△ADA′≌△BAG，可得A′D＝AG＝A′G，即可求解．
【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线，
∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA，
∴BE＝BE，
∴△ABE≌△A'BE（SSS），
∴∠BAE＝∠BA'E＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°，
第29页（共32页）∴△A'DE是等腰直角三角形，
∴A'D＝A'E＝1，
∴DE=√2，
∴AD＝AE+DE=√2+1，
∴AB＝AD＝A'B=√2+1；
（2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC，
∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，
1 1
∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B= （180°﹣∠ABA'）+ （180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°，
2 2
∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°；
（ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N，
∵CN⊥BG，CG＝CB，
∴M为BG的中点，
∵AA′⊥BE，
∴CN∥AF，
∴MN是△ABG的中位线，
1
∴BN= AB，
2
∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCN（ASA），
1 1
∴AE=BN= AB= AD，
2 2
∵E为AD的中点，AG＝GA′，
∴EG∥A′D，
∴∠DA′G＝∠EGA＝90°，
同理可证△ADA′≌△BAG（ASA），
∴A′D＝AG＝A′G，
第30页（共32页）∴△A′DG是等腰直角三角形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点A（x ，y ）和B（x ，y ）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）．
1 1 2 2
1
（i）若a= ，且x ＝x ，比较y 与y 的大小；
2 1 2 1 2
y x x
（ii）当
2= 2
时，若
2
是一个与x 无关的定值，求a与b的值．
y x x 1
1 1 1
【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）对称轴是直线x＝2；
1
（2）①y ＞y ；②a= ，b＝﹣4a＝﹣2．
2 1 2
【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；
（2）①根据题意得出函数的解析式，将x ＝x 代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；
1 2
x2-2x x
②将函数值用各自自变量表示，整理 2 2 = 2 得出两自变量的数量关系，即 x ＝a（x ﹣
a(x2-4x ) x 2 1
1 1 1
4）+2，再利用特殊值法即可求出系数的值．
【解答】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得，
16a+4b＝0，即b＝﹣4a，
b
∴- =2，
2a
故所求抛物线的对称轴是直线x＝2．
1
（2）①由（1）可知，抛物线的解析式为y= x2-2x．
2
又∵x ＝x ，
1 2
1 1 1
∴y - y =(x2-2x )-( x2-2x )=(x2-2x )-( x2-2x )= x2 ．
2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1
第31页（共32页）1
∵抛物线y= x2-2x过原点，且点A与原点不重合，
2
∴x ≠0，
1
1
∴ x2 ＞0，
2 1
故y ＞y ；
2 1
②由题意知，y =ax2-4ax ，y =x2-2x ，
1 1 1 2 2 2
y x
∵
2= 2
，
y x
1 1
x2-2x x
∴ 2 2 = 2 ，
a(x2-4x ) x
1 1 1
∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x ≠0，x ≠0．
1 2
x -2
故 2 =1，即x ＝a（x ﹣4）+2．
a(x -4) 2 1
1
x a(x -4)+2 2-4a
∴ 2= 1 =a+ ，
x x x
1 1 1
2-4a
依题意知，a+
是与x 无关的定值．
x 1
1
2-4a
不妨将x ＝1和x
＝2分别代入a+
，可得2﹣3a＝1﹣a，
1 1 x
1
1
解得a= ，
2
1 x 1
经检验，当a= 时， 2= 是一个与x 无关的定值，符合题意．
2 x 2 1
1
1
∴a= ，b＝﹣4a＝﹣2．
2
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数
值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
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