文档内容
2025年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（3分）（2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（ ）
1 1
A．﹣3 B．3 C．- D．
3 3
2．（3分）（2025•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2025•天津）估计1+√6的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（3分）（2025•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2025•天津）据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员
流动量达到31492000人次．将数据31492000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.31492×108 B．3.1492×107
C．31.492×106 D．314.92×105
6．（3分）（2025•天津）tan45°-√2cos45°的值等于（ ）
√2
A．0 B．1 C．1- D．1-√2
2
9
7．（3分）（2025•天津）若点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（3，y ）都在反比例函数y=- 的图象上，
1 2 3 x
第1页（共36页）则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1
8．（3分）（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四
十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上
慢马，则可以列出的方程为（ ）
A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12）
C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
2 1
9．（3分）（2025•天津）计算 + 的结果等于（ ）
a2-1 a+1
1 1 1
A． B． C． D．1
a-1 a+1 1-a
10．（3分）（2025•天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当
长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与
边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射
线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
11．（3分）（2025•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，
点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则
线段CC′的长为（ ）
第2页（共36页）12 16 24
A． B． C．4 D．
5 5 5
12．（3分）（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．
动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以
1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设
运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2025•天津）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除
颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
14．（3分）（2025•天津）计算3x﹣x﹣5x的结果为 ．
15．（3分）（2025•天津）计算(√61+1)(√61-1)的结果为 ．
16．（3分）（2025•天津）将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、
第一象限，则m的值可以是 （写出一个即可）．
17．（3分）（2025•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE．
（Ⅰ）线段AE的长为 ；
（Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为
第3页（共36页）．
18．（3分）（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（Ⅰ）线段PA的长为 ；
（Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线
上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，
N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
{3x≤2x+1①
19．（8分）（2025•天津）解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
2x-3≥x-5②
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）（2025•天津）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校a名
学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
第4页（共36页）请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，统计的这组学生每月参加志愿服
务的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数
约为多少？
21．（10分）（2025•天津）已知AB与 O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与 O相交于点
D，E为 O上一点． ⊙ ⊙
（Ⅰ）如⊙图①，求∠CED的大小；
（Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与 O相交于点G，若 O的半径为
3，求ED和EG的长． ⊙ ⊙
22．（10分）（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑 AB的高度（如
图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 A，E，C 依次在同一条水平直线上，
CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪
钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 AB的高度（结
果取整数）．
参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．
第5页（共36页）23．（10分）（2025•天津）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 0.6km，公园离
家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了 6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min
到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．
图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小华离开家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
②填空：小华从公园返回家的速度为 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家
到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y ，小华的妈妈离家的距离为y ，当y ＜y
1 2 1 2
时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
24．（10分）（2025•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，等边△ABC的顶点A（0，2），B（0，﹣
1），点C在第一象限，等边△EOF的顶点E(-√3，0)，顶点F在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图①，点 F 的坐标为 ，点 C 的坐标为
；
（Ⅱ）将等边△EOF沿水平方向向右平移，得到等边△E′O′F′，点E，O，F的对应点分别为E′，O′，
第6页（共36页）F′．设OO′＝t．
①如图②，若边E′F′与边AB相交于点G，当△E′O′F′与△ABC重叠部分为四边形OO′F′G时，试用含
有t的式子表示线段GA的长，并直接写出t的取值范围；
3√3 3√3
②设平移后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
4 2
25．（10分）（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点．
①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标；
②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的 ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当
CE+CF取得最小值为2√6时，求顶点E的坐标． ▱
第7页（共36页）2025年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C B B． A D A A D D
题号 12
答案 C
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（3分）（2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（ ）
1 1
A．﹣3 B．3 C．- D．
3 3
【考点】有理数的除法．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可．
【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2025•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
第8页（共36页）C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：该立体图形的主视图为：
．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正
面看得到的图形是主视图．
3．（3分）（2025•天津）估计1+√6的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先估算√6的取值范围，即可估算出1+√6的取值范围．
【解答】解：∵√4＜√6＜√9，
∴2＜√6＜3，
∴3＜1+√6＜4，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．
4．（3分）（2025•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
第9页（共36页）据此进行判断即可．
【解答】解：选项A、C、D的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部
分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
选项B的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是
轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（3分）（2025•天津）据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员
流动量达到31492000人次．将数据31492000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.31492×108 B．3.1492×107
C．31.492×106 D．314.92×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：31492000＝3.1492×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）（2025•天津）tan45°-√2cos45°的值等于（ ）
√2
A．0 B．1 C．1- D．1-√2
2
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】利用特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可．
√2
【解答】解：原式＝1-√2×
2
＝1﹣1
＝0，
第10页（共36页）故选：A．
【点评】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9
7．（3分）（2025•天津）若点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（3，y ）都在反比例函数y=- 的图象上，
1 2 3 x
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A（﹣3，y ）在第二象限，
1
∴y ＞0，
1
又∵1＜3，
∴y ＜y ＜0，
2 3
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四
十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上
慢马，则可以列出的方程为（ ）
A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12）
C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得
解．
【解答】解：依题意，得：240x＝150（x+12）．
故选：A．
第11页（共36页）【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
2 1
9．（3分）（2025•天津）计算 + 的结果等于（ ）
a2-1 a+1
1 1 1
A． B． C． D．1
a-1 a+1 1-a
【考点】分式的加减法．
菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】先把分式进行通分，再根据同分母分式相加法则进行计算，然后约分即可．
2 a-1
【解答】解：原式= +
(a+1)(a-1) (a+1)(a-1)
a+1
=
(a+1)(a-1)
1
= ，
a-1
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
10．（3分）（2025•天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当
长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与
边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射
线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义．
菁优网版权所有
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】D
第12页（共36页）【分析】由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD．根据
∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，进而可得
∠BDM＝∠BMD，则BM＝BD，即可得出答案．
【解答】解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，
∴∠ADC＝∠BMC，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BM＝BD，
故D选项一定正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
11．（3分）（2025•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，
点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则
线段CC′的长为（ ）
12 16 24
A． B． C．4 D．
5 5 5
【考点】旋转的性质．
菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】连接AD，交CC'于点O，由旋转得AC'＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，则∠AC'D＝90°，
可证明Rt△ACD≌Rt△AC'D，则C'D＝CD＝3，可知AD垂直平分CC'，可得CC'＝2OC，AD⊥CC'．由勾
第13页（共36页）1 1
股 定 理 得 AD=√AC2+CD2=5． 根 据 S = CD⋅AC= AD⋅OC， 可 得 OC
△ACD 2 2
CD⋅AC 3×4 12
= = = ，进而可得答案．
AD 5 5
【解答】解：连接AD，交CC'于点O，
由旋转得：AC'＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，
∴∠AC'D＝90°．
在Rt△AC'D和Rt△ACD中，
{AD=AD
，
AC=AC'
∴Rt△ACD≌Rt△AC'D（HL），
∴C'D＝CD＝3，
∴AD垂直平分CC'，
∴CC'＝2OC，AD⊥CC'．
∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3，
∴AD=√AC2+CD2=5．
1 1
∵S = CD⋅AC= AD⋅OC，
△ACD 2 2
CD⋅AC 3×4 12
∴OC= = = ，
AD 5 5
12 24
∴CC'=2× = ．
5 5
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．
第14页（共36页）动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以
1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设
运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数的最值；平行线之间的距离；一元二次方程的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】当t＝6s时，点M在AD上，求出DM、CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用三
角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，
点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2，列出方程，可判断③．
8 10
【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为 =4s点M在AD上的运动时间为 =5s，点
2 2
N在CB上的运动时间为16s，
①当t＝6s时，点M在AD上，
此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，
∴DM＝AD﹣AM＝6cm，
∴CN＝DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，
此时BM＝2tcm，CN＝tcm，
∴BN＝（16﹣t）cm，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64，
△BMN 2 2
∵﹣1＜0，
∴当t＜8时，S 随t的增大而增大，
△BMN
第15页（共36页）∴当t＝2时，S 取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28，
△BMN
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t(16-t)=-t2+16t=39，
△BMN 2 2
解得：t ＝3，t ＝13（舍去），
1 2
∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD，
1 1
此时S = AB×BN= ×8(16-t)=64-4t=39．
△BMN 2 2
25
解得：t= ，
4
25
∴当t= 时，△BMN的面积为39cm2；
4
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2025•天津）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除
6
颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
13
【考点】概率公式．
菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
6
【答案】 ．
13
【分析】从袋子中随机取出1个球共有13种等可能结果，其中它是绿球的有6种结果，再根据概率公
式求解即可．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球共有13种等可能结果，其中它是绿球的有6种结果，
6
所以从袋子中随机取出1个球，是绿球的概率为 ，
13
第16页（共36页）6
故答案为： ．
13
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结
果数÷所有可能出现的结果数．
14．（3分）（2025•天津）计算3x﹣x﹣5x的结果为 ﹣ 3 x ．
【考点】合并同类项．
菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】﹣3x．
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：3x﹣x﹣5x＝（3﹣1﹣5）x＝﹣3x．
故答案为：﹣3x．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（3分）（2025•天津）计算(√61+1)(√61-1)的结果为 6 0 ．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】60．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：(√61+1)(√61-1)
＝61﹣1
＝60，
故答案为：60．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16．（3分）（2025•天津）将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、
第一象限，则m的值可以是 2 （答案不唯一） （写出一个即可）．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由平移后的直线经过第三、
第二、第一象限得出m的取值范围即可．
【解答】解：由题知，
将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度后，所得直线的函数解析式为y＝3x﹣1+m，
则平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，m﹣1）．
第17页（共36页）又因为平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
所以m﹣1＞0，
解得m＞1，
所以m的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，熟知“上加下减”的平移法则
是解题的关键．
17．（3分）（2025•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE．
（Ⅰ）线段AE的长为 √5 ；
（Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为
√15
．
3
【考点】矩形的性质．
菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（Ⅰ）√5；
√15
（Ⅱ） ．
3
【分析】（Ⅰ）求出BE＝1，由勾股定理可求AE的长；
（Ⅱ）由SAS可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF=√5，∠BAE＝∠CEF，由等腰直角三角形的性质和锐
角三角函数可求MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵EC＝2BE，BC＝3，
∴BE＝1，EC＝2，
∴AE=√AB2+BE2=√1+4=√5，
故答案为：√5；
（Ⅱ）如图，过点M作MH⊥EF于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，
第18页（共36页）∵F为CD的中点，
∴CF＝DF＝1，
∴BE＝CF＝1，AB＝EC＝2，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴AE＝EF=√5，∠BAE＝∠CEF，
∴∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CEF+∠AEB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠AFE＝45°，AF=√2EF=√10，
∵M为AF的中点，
√10
∴MF= ，
2
∵MH⊥EF，
√5
∴∠MFH＝45°＝∠FMH，MH＝HF= ，
2
∵∠FMN＝75°，
∴∠NMH＝30°，
√5
MH 2 √15
∴MN= = = ，
cos∠NMH √3 3
2
√15
故答案为： ．
3
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，灵活运用这
些性质解决问题是解题的关键．
18．（3分）（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（Ⅰ）线段PA的长为 √2 ；
（Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线
上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，
N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 直线 PA 与射线 BC 的交点为 M ；取圆
第19页（共36页）与网格线的交点 D 和 E ，连接 DE ；取格点 F ，连接 AF ，与 DE 相交于点 O ；连接 BO 并延长，与 AC
相交于点 G ，与直线 PA 相交于点 H ；连接 CH 并延长，与网格线相交于点 I ，连接 A I ，与网格线相交
于点 J ；连接 G J ，与线段 BA 的延长线相交于点 N ，则点 M ， N 即为所求 ．
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
菁优网版权所有
【专题】作图题；三角形．
【答案】（1）√2；（2）直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取
格点F，连接AF，与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；
连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线
相交于点N，则点M，N即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确
定线段AC的中点G，利用网格确定点J为线段AQ的中点，则G，J为三角形的中位线，利用一组平
行线确定点 N为线段AQ的中点，证明△ABH≌△CBH和△AHQ≌△CHM，得出AQ＝CM，即CM＝
2AN，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出△AMQ为等腰三角形，再利用等腰三角形的性
质得出MN⊥AQ．
【解答】解：（1）由勾股定理得PA=√1+1=√2，
故答案为：√2；
（2）如图所示，点M，N即为所求，
作法：直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，
第20页（共36页）与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与
网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点
M，N即为所求．
理由：∵∠DAE＝90°，
∴DE为圆的直径，
∵AF为正方形的对角线，
∴∠DAF＝∠EAF＝45°，
∴AF垂直平分线段DE，
∴点O为圆的圆心，
∴OA＝OC，
又∵AB＝BC，OB＝OB，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∴BG 平分∠ABC，
∴点G为线段AC的中点，
由网格可知点J为线段AI的中点，
∴GJ为△ACI的中位线，
∴GJ∥CI，
∴点N为线段AQ的中点，
∴AQ＝2AN，
∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH，
∴∠QAH＝∠MCH，
又∵∠AHQ＝∠CHM，
∴△AHQ≌△CHM（ASA），
∴AQ＝CM，即CM＝2AN，
延长BH交QM于点T，
∵AB＝BC，AQ＝CM，
∴BQ＝BM，
∵∠QBH＝∠MBH，
第21页（共36页）∴BT⊥QM，
∵AM为圆的切线，
∴∠OAH＝90°，
∴∠OAB+∠QAM＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
即∠QAM+∠OBA＝90°，
∵∠OBA+∠AQM＝90°，
∴∠QAM＝∠AQM，
∴△AMQ为等腰三角形，
∴MN⊥AQ，
∴点M，N即为所求．
【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形
中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
{3x≤2x+1①
19．（8分）（2025•天津）解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
2x-3≥x-5②
（Ⅰ）解不等式①，得 x ≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x ≥﹣2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣ 2≤ x ≤ 1 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅲ）数轴见解答；（Ⅳ）﹣2≤x≤1．
【分析】先求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集，最后写出不等式组的解集即可．
{3x≤2x+1①
【解答】解： ，
2x-3≥x-5②
（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，
第22页（共36页）；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确
解一元一次不等式（组）的方法．
20．（8分）（2025•天津）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校a名
学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 4 0 ，图①中m的值为 2 5 ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时
间数据的众数和中位数分别为 4 h 和 3 h ；
（Ⅱ）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数
约为多少？
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（I）40，25，4h，3h．
（II）3.2h．
（III）350人．
【分析】（I）用每月参加志愿服务的时为2h的人数除以其所占百分比可得样本容量a，用每月参加志
愿服务的时为3h的人数除以样本容量求得m的值；再根据众数和中位数的定义解答即可；
（II）根据加权平均数公式解答即可；
（III）用总人数乘样本中每月参加志愿服务的时间是4h的人数所占百分比即可．
【解答】解：（I）由题意可知，a＝6÷15%＝40，
第23页（共36页）10
∴m%= ×100%＝25%，即m＝25，
40
3+3
统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数是4h，中位数是 =3（h），
2
故答案为：40，25，4h，3h；
（II）观察条形统计图，
1×5+2×6+3×10+4×14+5×5
∵x= =3.2（h），
5+6+10+14+5
∴这组数据的平均数是3.2h．
（III）∵在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占35%，
∴根据样本数据，估计该校 1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是 4h的学生约占35%，有
1000×35%＝350（人），
∴估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）（2025•天津）已知AB与 O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与 O相交于点
D，E为 O上一点． ⊙ ⊙
（Ⅰ）如⊙图①，求∠CED的大小；
（Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与 O相交于点G，若 O的半径为
3，求ED和EG的长． ⊙ ⊙
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的
位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（I）∠CED的度数为20°；
（Ⅱ）ED的长是3，EG的长是3√3．
【分析】（I）连接OC，由切线的性质得OC⊥AB，而OA＝OB，∠AOB＝80°，所以∠COB＝∠COA
第24页（共36页）1
＝40°，则∠CED= ∠COB＝20°；
2
（Ⅱ）连接OC，因为DG是 O的直径， O的半径为3，所以∠DEG＝90°，DG＝6，由EC∥OA，
得∠EFG＝∠AOB＝80°，而∠⊙CED＝20°，⊙则∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°，所以∠G＝30°，则ED
1
= DG＝3，求得EG=√DG2-ED2=3√3．
2
【解答】解：（I）如图①，连接OC，
∵AB与 O相切于点C，
∴OC⊥A⊙B，
∵OA＝OB，∠AOB＝80°，
1
∴∠COB＝∠COA= ∠AOB＝40°，
2
1
∴∠CED= ∠COB＝20°，
2
∴∠CED的度数为20°．
（Ⅱ）如图②，连接OC，
∵DG是 O的直径， O的半径为3，
∴∠DEG⊙＝90°，DG＝⊙6，
∵EC∥OA，
∴∠EFG＝∠AOB＝80°，
由（I）得∠CED＝20°，
∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°，
1
∴ED= DG＝3，
2
∴EG=√DG2-ED2=√62-32=3√3，
∴ED的长是3，EG的长是3√3．
第25页（共36页）【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等
知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
22．（10分）（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑 AB的高度（如
图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 A，E，C 依次在同一条水平直线上，
CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪
钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 AB的高度（结
果取整数）．
参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
菁优网版权所有
第26页（共36页）【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】世纪钟建筑AB的高度约为40m．
【分析】延长 DF 与 AB 相交于点 G，根据题意可得 DG∥CA，得出 DF＝1.7m，在 Rt△FGB 中，
GB GB GB GB
tan∠GFB= ，可得GF= ．在Rt△DGB中，tan∠GDB= ，可得GD= ，根
GF tan31° GD tan22°
据GF+DF＝GD列式计算即可．
【解答】解：如图，延长DF与AB相交于点G，
根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°，
∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m，
GB
在Rt△FGB中，tan∠GFB= ，
GF
GB
∴GF= ，
tan31°
GB
在Rt△DGB中，tan∠GDB= ，
GD
GB
∴GD= ．
tan22°
∵GF+DF＝GD，
GB GB
∴ +32= ．
tan31° tan22°
32×tan22°tan31° 32×0.4×0.6
∴GB= ≈ =38.4．
tan31°-tan22° 0.6-0.4
∴AB＝AG+GB≈1.7+38.4≈40（m），
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关
键．
23．（10分）（2025•天津）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 0.6km，公园离
第27页（共36页）家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了 6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min
到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．
图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小华离开家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
②填空：小华从公园返回家的速度为 0.1 2 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家
到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y ，小华的妈妈离家的距离为y ，当y ＜y
1 2 1 2
时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
【考点】一次函数的应用．
菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
{ 0.1x(0≤x≤6)
【答案】（Ⅰ）①0.1，0.6，1.8；②0.12；③y = 0.6(6＜x≤18) ；
0.1x-1.2(18＜x≤30)
（Ⅱ）12＜x＜24．
【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
（Ⅱ）在同一坐标系中画出小华的妈妈离家的距离为y 与x之间的函数图象并写出y 与x之间的函数
2 2
关系式，求出两函数的交点的横坐标并根据图象得出当y ＜y 时，x的取值范围即可．
1 2
【解答】解：（Ⅰ）①小华在最初的6min内的速度为0.6÷6＝0.1（km/min），
当x＝1时，y＝0.1×1＝0.1，
当x＝18时，y＝0.6，
第28页（共36页）当x＝50时，1.8．
②小华从公园返回家的速度为1.8÷15＝0.12（km/min）．
故答案为：0.12．
③当0≤x≤6时，y＝0.1x，
当6＜x≤18，y＝0.6，
当18＜x≤30时，小华的速度为（1.8﹣0.6）÷12＝0.1（km/min），则y＝0.6+0.1（x﹣18）＝0.1x﹣
1.2，
{ 0.1x(0≤x≤6)
∴当0≤x≤30时，写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式y = 0.6(6＜x≤18) ．
0.1x-1.2(18＜x≤30)
（Ⅱ）妈妈从家到公园所用时间为1.8÷0.05＝36（min），则小华的妈妈离家的距离为y 与x之间的函
2
数图象如图所示：
y 与x之间的函数关系式为y ＝0.05x（0≤x≤36），
2 2
当6≤x≤18时，当y ＝y 时，得0.05x＝0.6，
1 2
解得x＝12，
当18＜x≤30时，当y ＝y 时，得0.1x﹣1.2＝0.05x，
1 2
解得x＝24，
由图象可知，当y ＜y 时，x的取值范围为12＜x＜24．
1 2
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
24．（10分）（2025•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，等边△ABC的顶点A（0，2），B（0，﹣
1），点C在第一象限，等边△EOF的顶点E(-√3，0)，顶点F在第二象限．
√3 3 3√3 1
（Ⅰ）填空：如图①，点F的坐标为 （- ， ） ，点C的坐标为 C( ， ) ；
2 2 2 2
（Ⅱ）将等边△EOF沿水平方向向右平移，得到等边△E′O′F′，点E，O，F的对应点分别为E′，O′，
F′．设OO′＝t．
①如图②，若边E′F′与边AB相交于点G，当△E′O′F′与△ABC重叠部分为四边形OO′F′G时，试用含
第29页（共36页）有t的式子表示线段GA的长，并直接写出t的取值范围；
3√3 3√3
②设平移后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
4 2
【考点】四边形综合题．
菁优网版权所有
【专题】几何综合题；压轴题．
√3 3 3√3 1 √3 9√3 3√3
【答案】（Ⅰ）（- ， ），C( ， )；（Ⅱ）① ＜t＜√3；② ≤S≤ ．
2 2 2 2 2 16 4
【分析】（Ⅰ）作FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求
解即可；
（Ⅱ）①平移的性质，得到∠F'E'O'＝∠OEF＝60°，O'E'=OE=√3，求出OE'的长，解直角三角形
求出OG的长，线段的和差表示出AG的长，当点F'落在y轴上之后，直至点E与点O重合之前，重叠
部分为四边形，求出t的范围即可；
3√3 3√3
②分 ≤t＜√3，t=√3和√3＜t≤ 三种情况进行讨论求解即可．
4 2
【解答】解：（Ⅰ）作 FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H，
∵△OEF，△ABC均为等边三角形，
1 1
∴OG= OE，OF＝OE，AH= AB，AC＝AB，
2 2
∵A（0，2），B（0，﹣1），E(-√3，0)，
第30页（共36页）∴OF=OE=√3，AC＝AB＝2+1＝3，OA＝2，
√3 3
∴OG= ，AH= ，
2 2
3 1 3√3
∴FG=√OF2-OG2= ，OH＝OA﹣AH= ，CH=√AC2-AH2= ，
2 2 2
√3 3 3√3 1
∴F（- ， ），C( ， )，
2 2 2 2
√3 3 3√3 1
故答案为：（- ， ），C( ， )；
2 2 2 2
（Ⅱ）①∵平移，
∴∠F'E'O'＝∠OEF＝60°，O'E'=OE=√3，
∵OO'＝t，
∴OE'=O'E-OO'=√3-t，
∴OG=OE'⋅tan60°=√3(√3-t)=3-√3t，
∴AG=OA-OG=2-3+√3t=√3t-1，
√3
当点F'落在y轴上时，此时，点O为O'E'的中点，则：t= ，
2
当点E'与点O重合时，t=√3，
√3
∴当△E'O'F′与△ABC重叠部分为四边形OO'F′G时， ＜t＜√3；
2
3√3
②当 ≤t＜√3时，则重叠的部分为四边形OO'F′G，
4
如图，作F'M⊥x轴，
3
由（1）和（2）①可知：F'M= ，OG=3-√3t，OE'=√3-t，
2
1 3 1 √3 3√3
∴S=S -S = ×√3× - ⋅(√3-t)(3-√3t)=- (t-√3) 2+ ，
ΔO'E'F' ΔOE'G 2 2 2 2 4
第31页（共36页）3√3 √3 3√3 3√3 21√3
∴当t= 时，S的值最小，为- ×( -√3) 2+ = ，
4 2 4 4 32
21√3 3√3
∴ ≤S＜ ，
32 4
设BC交x轴于点N，则：ON=OB⋅tan60°=√3=O'E'，
∴当t=√3时，此时点E'于O重合，O'与N点重合，重叠的部分恰为△O'E'F'，
1 3 3√3
∴S= ×√3× = ，
2 2 4
3√3
当√3＜t≤ ，S随着t的增大而减小，
2
3√3
∴当t= 时，S有最小值，此时点C'O'⊥x轴，如图：
2
3√3 √3
此时重叠部分为五边形，O'N= -√3= ，
2 2
∵∠CNO'＝∠BNO＝90°﹣∠ABC＝30°，∠E'O'F'＝60°，
∴∠NQO'＝90°，
1 √3 3
∴O'Q= O'N= ，QN =√3O'Q= ，
2 4 4
1 √3 3 3√3
∴S = × × = ，
ΔO'NQ 2 4 4 32
∵∠ACB＝60°，∠CQP＝∠NO'Q＝90°，
第32页（共36页）∴∠F''PG＝∠CPQ＝30°，
∴∠F''GP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
√3 √3
由平移可得：F'F″=NO'= ，F'F''∥NO'= ，
2 2
∴∠F'F''G＝∠O'E'F''＝60°
∴∠F''F'G＝30°＝∠F''PG，
√3
∴F''P＝F'F''=
2
1 √3 3 3√3
同法可得：S = × × = ，
ΔF'GP 2 4 4 32
3√3 3√3 3√3 9√3
S=S -S -S = - - = ；
ΔO'E'F″ ΔO'NQ ΔF″GP 4 32 32 16
9√3 3√3
综上： ≤S≤ ．
16 4
【点评】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最
值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
25．（10分）（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点．
①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标；
②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的 ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当
CE+CF取得最小值为2√6时，求顶点E的坐标． ▱
【考点】二次函数综合题．
菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（I）（1，4）；
5 13√2
（II）①(√2，-1)；②( ， )．
2 4
【分析】（I）待定系数法求解析式，即可求解；
（II）①根据a＝﹣2，得出抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴
于点H，证明△ADH≌△CAO（AAS），进而得出点D的坐标为（b+1，﹣1），代入解析式，解方程，
即可求解；
②在 x 轴上点 A 的左侧取点 G，使 GA＝AC，连接 GC．在 Rt△AOC 中，根据勾股定理，AC2＝
第33页（共36页）AO2+OC2，得出GA=AC=√1+c2，根据题意，点A和点B关于直线/对称，点F在直线l上，得AF＝
BF．根据平行四边形的性质得出当点 F在线段BC上时，CE+CF取得最小值2√6，即BC=2√6，勾
股定理可得m2+c2＝24，进而代入c2＝m2﹣2m，求得点B（4，0），C(0，2√2)，可得直线BC的解
√2 3 5√2
析式为y=- x+2√2，．求得点F的坐标为( ， )，根据平移的性质即可得出点E的坐标为
2 2 4
5 13√2
( ， )．
2 4
【解答】解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）；
（II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a，
又∵a＝﹣2，点C（0，c），
∴OC＝c＝b+2，AO＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2，
如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H，
∴∠AHD＝90°，
∴∠HAD+∠ADH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠HAD＝90°，
第34页（共36页）∴∠ADH＝∠CAO，
又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°，
∴△ADH≌△CAO（AAS），
∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2，
∵OH＝AH﹣AO，
∴OH＝b+2﹣1＝b+1，
∴点D的坐标为（b+1，﹣1），
∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上，
∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2，
整理得，b2+2b﹣1＝0，
解得b =-1+√2，b =-1-√2，
1 2
∵b＞0，
∴b =-1-√2，不合题意，舍去，
2
∴b=-1+√2，
∴点D的坐标为(√2，-1)；
②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0，
∴c＞0，m＞1，
在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC．
∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA．
∵∠CAB＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠CGA．
第35页（共36页）∴CG＝CB，则GO＝OB．
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2，
∴AC=√1+c2，
∴GA=√1+c2，
∴GO=GA+AO=√1+c2+1．
又∵点B（m，0），得OB＝m．
∴√1+c2+1=m，即c2＝m2﹣2m，
根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF．
又∵ ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF．
∴CE+▱CF＝BF+CF≥BC．
∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值2√6，即BC=2√6，
在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2，
∴m2+c2＝24．
将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24．
解得m ＝4，m ＝﹣3（舍），
1 2
∴c=2√2，
∴点B（4，0），C(0，2√2)，
√2
∴直线BC的解析式为y=- x+2√2．
2
设点F的横坐标为x ，则4﹣x ＝x ﹣（﹣1），
0 0 0
3
得x = ，
0 2
3 5√2
∴点F的坐标为( ， )．
2 4
∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移2√2个单位得到的，
5 13√2
∴点E的坐标为( ， )．
2 4
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
第36页（共36页）
